1、二次根式：式子 （ ≥0）叫做二次根式。
2、最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：
⑴被開方數中不含開方開的盡的因數或因式； ⑵被開方數中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3、同類二次根式：
二次根式化成最簡二次根式後，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。
4、二次根式的性質：
（1)（ ）2= ( ≥0）； (2)
5、二次根式的運算：
（1）因式的外移和內移：如果被開方數中有的因式能夠開得盡方，那麼，就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方數是代數和的形式，那麼先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方後移到根號裏面。
（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合併同類二次根式。
（3)二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數相乘（除），所得的積（商）仍作積(商）的被開方數並將運算結果化為最簡二次根式。
= • (a≥0，b≥0)； (b≥0，a>0)。
（4）有理數的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用於二次根式的運算。
【典型例題】
1、概念與性質
例1下列各式1) ，
其中是二次根式的是_________（填序號）。
例2、求下列二次根式中字母的取值範圍
（1） ；(2)
例3、在根式1) ，最簡二次根式是( )
A.1) 2) B.3) 4) C.1) 3) D.1) 4)
例4、已知：
例5、（2009龍巖）已知數a，b，若 =b-a，則 ( )
A. a>b B. a2、二次根式的化簡與計算
例1. 將 根號外的a移到根號內，得 ( )
A. ； B. - ； C. - ； D.
例2. 把(a-b)-1a-b 化成最簡二次根式
例3、計算：
例4、先化簡，再求值：
，其中a= ，b= 。
例5、如圖，實數 、在數軸上的位置，化簡 ：
4、比較數值
（1）、根式變形法
當 時，①如果 ，則 ；②如果 ，則 。
例1、比較 與 的大小。
（2）、平方法
當 時，①如果 ，則 ；②如果 ，則 。
例2、比較 與 的大小。
（3）、分母有理化法
通過分母有理化，利用分子的大小來比較。
例3、比較 與 的大小。
（4）、分子有理化法
通過分子有理化，利用分母的大小來比較。
例4、比較 與 的大小。
（5）、倒數法
例5、比較 與 的大小。
（6）、媒介傳遞法
適當選擇介於兩個數之間的媒介值，利用傳遞性進行比較。
例6、比較 與 的大小。
（7）、作差比較法
在對兩數比較大小時，經常運用如下性質：
① ；②
例7、比較 與 的大小。
（8）、求商比較法
它運用如下性質：當a>0，b>0時，則：
① ； ②
例8、比較 與 的大小。
5、規律性問題
例1. 觀察下列各式及其驗證過程：
， 驗證： ；
驗證: 。
（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想 的變形結果，並進行驗證；
（2)針對上述各式反映的規律，寫出用n(n≥2，且n是整數）表示的等式，並給出驗證過程。
1、下列圖像中可能是反比例函數y= 的圖像的共有 ( )
2、在同一直角座標系下，直線y=x+1與雙曲線y= 的交點的個數為 ( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.不能確定
3、反比例函數y=- 的圖像是_______，該函數圖像在第_______象限。
4、已知反比例函數y= 的圖像經過點(1，-2)，則這個函數的表達式是_______.
5、已知雙曲線y= 經過點(-1，2)，那麼k的值等於_______.
6、在平面直角座標系中，分別畫出下列函數的圖像：
(1)y= (2)y=-
7、反比例函數y= 的圖像經過點（-2，3)，則k的值為 ( ）
A.6 B.-6 C. D.-
8、反比例函數y= 的圖像大致是 ( )
9、如圖，點P(-3，2)是反比例函數y= (k≠0)的圖像上
一點，則反比例函數的解析式為 ( )
A.y=- B.y=-
C.y=- D.y=-
10、函數y=- 的圖像上所有點的橫座標與縱座標的乘積是_______.
11、已知點P為函數y= 圖像上一點，且P到原點的距離為2，則符合條件的點P有__個
12、分別在座標系中畫出下列函數的圖像：
(1)y= (2)y=-
13、反比例函數y= 的圖像經過點(-2，4)，求它的解析式，並畫出函數圖像，圖像分佈在哪幾個象限？
14、設某一直角三角形的面積為18 cm2，兩條直角邊的長分別為x(cm)，y(cm)。
（1）寫出y(cm)與x（ cm）的函數關係式；
（2）畫出該函數的圖像；
（3）根據圖像，求解：①當x=4 cm時，y的值；②x等於多少時，該直角三角形是等腰直角三角形？
參考答案
1.B 2.C 3.雙曲線 二、四 4.y=- 5.-3 6.略
7.C 8.C 9.D 10.-5 11.4 12.略 13.y=- 圖像略 分佈在二、四象限 14.(1)y= (2)略 (3)①y=9 ② x=6
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