【教學目標】
（1）理解一元二次方程的概念
（2）掌握一元二次方程的一般形式，會判斷一元二次方程的二次項係數、一次項係數和常數項。
（2）會用因式分解法解一元二次方程
【教學重點】
一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式
【教學難點】
因式分解法解一元二次方程
【教學過程】
（一）創設情景，引入新課
實際例子引入：列出的方程分別為X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0
由學生説出這幾個方程的共同特徵，從而引出一元二次方程的概念。
（二）新授
1：一元二次方程的概念。（一個未知數、最高次2次、等式兩邊都是整式）
2：一元二次方程的一般形式（形如aX+bX+c=0)
任一個一元二次方程都可以轉化成一般形式，注意二次項係數不為零
3：講解例子
4：利用因式分解法解一元二次方程
5：講解例子
6：一般步驟
（三）小結
（四）佈置作業
教學目標：
1、經歷抽象一元二次方程概念的過程，進一步體會是刻畫現實世界的有效數學模型
2、理解什麼是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能將一元二次方程轉化為一般形式，正確識別二次項係數、一次項係數及常數項。
教學重點
1、一元二次方程及其它有關的概念。
2、利用實際問題建立一元二次方程的數學模型。
教學難點
1、建立一元二次方程實際問題的數學模型．
2、把一元二次方程化為一般形式
教學方法：指導自學，自主探究
課時：第一課時
教學過程：
（學生通過導學提綱，瞭解本節課自己應該掌握的內容）
一、自主探索：（學生通過自學，經歷思考、討論、分析的過程，最終形成一元二次方程及其有關概念）
1、請認真完成課本P39—40議一議以上的內容；化簡上述三個方程。。
2、你發現上述三個方程有什麼共同特點？
你能把這些特點用一個方程概括出來嗎？
3、請同學看課本40頁，理解記憶一元二次方程的概念及有關概念
你覺得理解這個概念要掌握哪幾個要點？你還掌握了什麼？
二、學以致用：（通過練習，加深學生對一元二次方程及其有關概念的理解與把握）
１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？
①②③
④x2+2()x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=0
2、判斷下列方程是不是關於x的一元二次方程，如果是，寫出它的二次項係數、一次項係數和常數項。
（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
3、若關於x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，則k的值是多少？
4、關於x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什麼條件下它是一元二次方程？在什麼條件下它是一元一次方程？
5、以－2、3、0三個數作為一個一元二次方程的係數和常數項，請你寫出滿足條件的不同的一元二次方程？
三、反思：（學生，進一步加深本節課所學內容）
這節課你學到了什麼？
四、自查自省：（通過當堂小測，及時發現問題，及時應對）
1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1個B、2個 C、3個D、4個
（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、將方程－5x2+1=6x化為一般形式為____________________.其二次項是_________，係數為_______，一次項係數為______，常數項為______。
3、關於x的方程(m2－4)x2+(m+2)x+2m+3=0，當m__________時，是一元二次方程；當m__________時，是一元一次方程。
作業：必做題：習題7.1
選做題：（挑戰自我）p41隨堂練習
1、已知關於的方程是一元二次方程，則為何值？
2、。當m為何值時，方程(m+1)x+1+27mx+5=0是關x於的一元二次方程？
3、關於的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-1=0有一根為，則的值多少？
4、某校為了美化校園，準備在一塊長32米，寬20米的長方形場地上修築若干條道路，餘下部分作草坪，並請全校同學參與設計，現在有兩位學生各設計了一種（如圖），根據兩種設計各列出方程，求圖中道路的寬分別是多少，使圖(1)，(2)的草坪面積為540米2.？
（1）（2）
板書設計：一元二次方程
定義：一個未知數整式方程可以化為
一般形式ax2+bx+c=0(a、b、c為常數，a≠0)
二次項一次項常數項
係數為a係數為b
教學反思
這次我參加了區裏組織的優質
課比賽，這次的優質課採用市裏要求的1/3模式，這對於我們來説具有一定的挑戰性。所謂“1/3模式”，就是把課堂教學時間大致分為3個部分，1/3的時間個人自主學習，1/3的時間小組合作學習，1/3的時間全班交流討論。在1/3模式中，整個教學過程由教師和學生共同參與，每個環節1/3的時間只是大致的劃分，可根據學習內容靈活安排。這就對教師提出了較高的要求。
首先要準備好學案。學案就是學生學習的依據。在學案裏，教師要提出明確的學習要求。學習要求可包括以下方面：完成學習任務的時間、學習內容的範圍、完成學習任務所要達到的程度、自主學習成果展現的形式等。這就要求教師要提前考慮周全，對於學生學習的要求要一次性提出，內容上有梯度。學生自主學習時，教師要深入學生當中，觀察學生的學習狀況，檢查學習任務完成的情況，有針對性的指導和幫助教師對自主學習方法和途徑的指導要適度，既要滿足學生完成學習任務的需要，又不能擠佔學生自主探究的空間
其次，學習氛圍是合作學習成功的關鍵之一，教師要營造安全的心理環境、充裕的時空環境、熱情的幫助環境、真誠的激勵環境，只就要求教師在語言上也要有較高水平，會發動學生，會調動學生的積極性，讓課堂氣氛活躍起來，讓學生充分發揮自己的水平。
再是，由於課堂上主要是以學生為主。這就要求教師儘量少講，要充當好組織者、引導者、傾聽者的角色，不要急於發表自己的觀點，只要學生能講的教師就不要講，要避免因為教師呈現自己的觀點而打破學生的討論。學生説完的東西，如果沒有問題，教師就不要重複。教師對學習內容要點的講解要有的放矢，能起到畫龍點睛的作用。要在學生原有的水平上進行提升，有助於學生加深對知識的理解。
我們只有在教學中不斷的學習，不斷的改進自己，才能保證我們的課堂很精彩，是名副其實的優質課。
教學目標
1. 瞭解整式方程和的概念；
2. 知道的一般形式，會把化成一般形式。
3. 通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源於實踐又反過來作用於實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。
教學重點和難點：
重點：的概念和它的一般形式。
難點：對的一般形式的正確理解及其各項係數的確定。
教學建議：
1. 教材分析：
1）知識結構：本小節首先通過實例引出的概念，介紹了的一般形式以及中各項的名稱。
2）重點、難點分析
理解的定義：
是 的重要組成部分。方程 ，只有當 時，才叫做。如果 且 ，它就是了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：
（1）的條件是確定的，如方程 （ ），把它化成一般形式為 ，由於 ，所以 ，符合的定義。
（2）條件是用“關於 的”這樣的語句表述的，那麼它就隱含了二次項係數不為零的條件。如“關於 的 ”，這時題中隱含了 的條件，這在解題中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系數的 項，且出現“關於 的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關於 的方程 ”，這就有兩種可能，當 時，它是一元一次方程 ；當 時，它是，解題時就會有不同的結果。
教學目的
1.瞭解整式方程和的概念；
2.知道的一般形式，會把化成一般形式。
3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源於實踐又反過來作用於實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。
教學難點 和難點：
重點：
1.的有關概念
2.會把化成一般形式
難點： 的含義。
教學過程 設計
一、引入新課
引例：剪一塊麪積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪？
分析：1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。
2.這個問題用什麼數學方法解決？(間接計算即列方程解應用題。
3.讓學生自己列出方程 ( x（x十5）＝150 )
深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎？你能叫出這個方程的名字嗎？
二、新課
1.從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上國中代數研究的主要對象是方程。這部分內容從七年級一直貫穿到九年級。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)
2.什麼是—元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關於未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來説它與一元一次方程沒有什麼區別、也就是説首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個、這還取決於未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做。(板書的定義)
3.強化的概念
下列方程都是整式方程嗎？其中哪些是一元一次方程？哪些是？
(1)3x十2＝5x—3： (2)x2＝4
(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2； (4)(x—1)(x—2)＝x2十8
從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然後再查看這個方程未知數的最高次數是否是2。
4. 概念的延伸
提問：很多嗎？你有辦法一下寫出所有的嗎？
引導學生回顧的定義，分析項的情況，啟發學生運用字母，找到的一般形式
ax2+bx+c=0 (a≠0)
1）.提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎？為什麼？(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）.講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的係數名稱。
3）.強調：的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。
強化概念（課本P6）
1.説出下列的二次項係數、一次項係數、常數項：
（1）x2十3x十2＝O （2）x2—3x十4＝0； (3)3x2-5＝0
（4）4x2十3x—2＝0； (5)3x2—5＝0； (6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項係數、一次項係數、常數項：
(1)6x2＝3-7x； (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2
課堂小節
(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一（如果方程未知數的最高次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；
(2)要知道的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)並且注意的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；
(3)要很熟練地説出隨便一箇中一二次項、一次項、常數項：二次項係數、一次項係數。
課外作業 ：略
[教材分析]
中學階段我們研究的多項式函數中有二次函數，研究的幾何圖形中有二次曲線。因此一元二次方程便成為了方程中研究的重要內容。一元二次方程有根與係數關係，求根公式向我們揭示了兩根與係數間的密切關係，而根與係數還有更進一步的發現，這一發現在數學學科中具有極強的實用價值，本節內容既是代數式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知識的進一步深化，又藴含有豐富的數學思想方法，也為學生們將來的學習打下了必要的基礎。
[學生分析]
進入了八年級下半學期，隨着年齡的增長以及實驗幾何向論證幾何的逐步推進，學生們的邏輯推理能力已有了較大提高。因此在學過了一元二次方程的解法後，自主探究其根與係數的關係是完全可能的。再加上我所執教的學生，他們有着較強的認知力與求知慾，
基於以上思考，我在設計中擴大了學生的智力參與度，也相對放大了知識探索的空間。
[教學目標]
在學生探求一元二次方程根與係數關係的活動中，經歷觀察、分析、概括的過程以及“實踐——認識——再實踐——再認識”的過程，得出一元二次方程根與係數的關係。
能利用一元二次方程根與係數的關係檢驗兩數是否為原方程的根；已知一根求另一根及係數。
理解數學思想，體會代數論證的方法，感受辯證唯物主義認識論的基本觀點。
[教學重難點]
發現並掌握一元二次方程根與係數的關係，包括知識從特殊到一般的發生發展過程
[教學過程]
(一)複習導入
請學生求解表格內的方程，完成解法的交流以及求根公式的複習，求根公式向我們揭示了兩根與係數間的關係，那麼一元二次方程根與係數間是否還有更深一層的聯繫呢？由此疑問，導入新課。
(二)探求新知
數學學科中由數到式的結構編排，讓我們想到了從兩根運算上的最簡組合：和差積商展開進一步研究。初探新知中，我將學生們分成兩組，分別對二次項係數為 1 的一元二次方程兩根進行和差積商的運算，之後將結果彙總展示，共同觀察與係數的聯繫。我在這些方程中安排了兩個無理根方程。當學生們發現這兩個無理根在求和，求積後，竟變成了有理數，而且每一組兩根和(積)都與係數有着密切的聯繫，此時的他們不難對兩根和與兩根積產生關注，經歷了對二次項係數為1的一元二次方程兩根和差積商的研究後，確定了課題並獲得猜想：“兩根和等於一次項係數的相反數， 兩根積等於常數項。”對於這一猜想，會有學生提出不同看法，他們提出研究二次項係數非 1 的一元二次方程。學生的質疑啟動再探新知。直接研究一元二次方程兩根和、兩根積與係數的關係。這一環節中我不再給出具體的方程要求研究，故除了部分同學自定義方程求根求和求積後產生猜想，還有部分同學對仍保留在板書部分的求根公式着手進行兩根和，積的運算。這兩種方案齊頭並進，當前者通過不斷驗證來説明他們猜想的可靠度時，後者通過論證，在嚴格意義下，説明了此結論的正確性。對於論證中學生出現的問題，我們在第一時間內揪錯指正，
在知識初探與再探後，學生獲得了新知，得到了一元二次方程根與係數的關係，
三、訓練感悟
我將之前從學生那裏收集來的錯解對照表中方程，詢問檢驗其正誤的方法。學生根據已有經驗，將其代入方程，進行檢驗。為尋求更為簡便的方法，引出作用一，利用根與係數的關係，不解方程檢驗兩數是否為原方程的根。我再給出兩例，便於鞏固練習，更明確了只有當兩數和(積)同時滿足方程兩根和(積)的時侯，才是正確的根。當學生們正為找到了一種行之有效的檢驗方法，高興不已的時候。突然間，表格中的數據丟失了，我分別隱去了方程的一根及b,c,a三個係數。為了將材料修復，學生小組展開熱烈的討論。有了上一題的經驗，學生們會利用根與係數關係，不解方程，求出另一根及係數。也會使用代入求解的方法解題，通過新舊方法的比較，在訓練中獲得感悟：方法的選擇在於簡便，學生們在選擇了恰當的方法後，修復了材料也鞏固了新知。
四、總結提升
由學生回顧知識的發生發展及應用過程，以“我的收穫” 與“我的疑惑”交流心得。我再幫助學生整理所學知識，引導領會數學的思想。我還會自豪的告訴他們，數學家們還發現了存在於一元n次方程中的根與係數的普遍關係，這一內容將在高數中有所涉及，激勵奮進
五、分層作業
現在的設計較之以往，有所繼承，有所變革。
1、研究啟動入口不同
過去我總是先給出若干具體方程要求學生求根，並計算兩根和(積)，作出猜想。這樣的數學後曾有學生問我：“老師為什麼會想到兩根和(積)與係數的關係，而不是其它？”這種疑問的產生一定與過去設計指定了學生的活動過程有關，為了給學生的活動指向更為寬泛，讓兩根和積與係數的研究更顯合理， 現在的設計中主要體現了由數到式的研究，從兩根和差積商的重組合再有所觀察，有所挑選，方才定位於兩根和(積)作進一步的探究。這種設計正是從數學內部下了功夫，由知識線索的連貫性，師生共同理順了實驗對象的來龍去脈，從數學本身上培養了學生的觀察、分析、概括的綜合能力。
2、探究部分兩步走
我將二次項係數為1，非 1的一元二次方程分兩次出現，分別放置與知識初探和再探兩個環節，這樣設計的原因有二：學生的認知能力總是有所差異的，如果將這些方程合二為一加以研究的話，一部分同學對別人獲得的正確猜想是瞬間接受，卻缺乏思維的參與。事實上，研究事物往往從簡單到複雜，在這裏，當a=1 時，易找規律，當 a ≠1後造成的認知衝突，更是激發了這一猜想的完善。其實這一串， 由實驗——猜想——再實驗——再猜想的思維過程，既符合認知規律，也是一種研究性學習的示範，一種創造性能力的培養。為了讓每一個學生都親身參與其中，真正感受由“實踐——認識——再實踐——再認識” 這一客觀世界認知論的基本規律。便是我如此設計的原因之一。原因二：研究入口處，利用兩根和差積商的結果，優選出對和積的研究。初探中二次項係數為 1 的方程兩根計算足以起到這一篩選作用。因此在下一環節的再探新知中，便自然關閉了對兩根差與商相對較為繁瑣的計算，直接由兩根和積入手研究與係數的關係，提高了研究的效率。
3、再探新知放手走
我沒有再給出任何具體的方程以供研究，這裏的放手，引出了學生不同的操作方法。一部分學生把注意力轉放在求根公式上展開直接論證，就連另一部分學生自定義方程數據研究的方式也各不相同，他們有的翻開筆記本查閲之前解方程的資料；有的反湊特殊值方程；更有的會從中提煉出代數論證的方法；當然也有藉助於計算器完成了繁瑣的計算。
放手的探究，為了給學生更大的思維空間，讓學生有更多方法的選擇，從而展開自主的學習。
[尾聲]
但原學生們帶着對數學的興趣與喜愛，在學的海洋裏，奮勇搏擊。而作為一名青年教師的我，亦將在教學的舞台上，不斷求索。多由學生所想來引導；多設角度空間去探究；多從細節處滲透數學思想，充分利用數學課堂來達成文化傳承與發展創新的協調統一。
【知識與技能】
1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，瞭解公式法的概念。
2.會熟練應用公式法解一元二次方程。
【過程與方法】
通過複習配方法解一元二次方程，引導學生推導出求根公式，使學生進一步認識特殊與一般的關係。
【情感態度】
經歷探索求根公式的過程，培養學生抽象思維能力，滲透辯證唯物主義觀點。
【教學重點】
求根公式的推導和公式法的應用。
【教學難點】
一元二次方程求根公式的推導。
一、情境導入，初步認識
用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0
解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）無解
二、思考探究，獲取新知
如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？
問題 已知ax2+bx+c=0（a≠0），試推導它的兩個根
【分析】因為前面具體數字的題目已做得很多，現在不妨把a,b,c也當成具體數字，根據上面的解題步驟就可以推導下去。
探究 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的係數a,b,c而定，因此：
（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b2-4ac≥0時，將a,b,c代入式子 就得到方程的根，當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根。
（2） 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式。
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
【教學説明】教師可以引導學生利用配方法推出求根公式，體驗獲取知識的過程，體會成功的喜悦，可讓學生小組展示。
例1 用公式法解下列方程：
①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2
③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0
解：①x1=1+ ,x2=1-
②x1=2,x2=-
③x1=2,x2=
④無解
【教學説明】（1）對②、③要先化成一般形式；（2）強調確定a,b,c的值，注意它們的符號；（3）先計算b2-4ac的值，再代入公式。
三、運用新知，深化理解
1.用公式法解下列方程：
（1）x2+x-12=0
（2）x2- x- =0
（3）x2+4x+8=2x+11
（4）x（x-4）=2-8x
（5）x2+2x=0
（6）x2+2 x+10=0
解：（1）x1=3,x2=-4;
（2）x1= ,x2= ；
（3）x1=1,x2=-3;
（4）x1=-2+ ，x2=-2- ；
（5）x1=0,x2=-2;
（6）無解。
【教學説明】用公式法解方程關鍵是要先將方程化為一般形式。
四、師生互動，課堂小結
1.求根公式的概念及其推導過程。
2.公式法的概念。
3.應用公式法解一元二次方程。
1.佈置作業：從教材相應練習和“習題22.2”中選取。
2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分。
在學習活動中，要求學生主動參與，認真思考，比較觀察，交流與表述，體驗知識的獲取的過程，激發學生的學習興趣，利用師生的雙邊活動，適時調試，從而提高學習效率。
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