教學目標
1.掌握角的平分線的性質定理和它的逆定理的內容、證明及應用。
2.理解原命題和逆命題的概念和關係，會找一個簡單命題的逆命題。
3.滲透角平分線是滿足【】特定條件的點的集合的思想。
教學重點和難點
角平分線的性質定理和逆定理的應用是重點。
性質定理和判定定理的區別和靈活運用是難點。
教學過程設計
一、角平分錢的性質定理與判定定理的探求與證明
1，複習引入課題。
（1）提問關於直角三角形全等的判定定理。
（2）讓學生用量角器畫出圖3－86中的∠AOB的角
平分線OC.
2.畫圖探索角平分線的性質並證明之。
（1）在圖3－86中，讓學生在角平分線OC上任取一
點P，並分別作出表示P點到∠AOB兩邊的距離的線段
PD，PE.
（2）這兩個距離的大小之間有什麼關係？為什麼？學生度量後得出猜想，並用直角三角形全等的知識進行證明，得出定理。
（3）引導學生敍述角平分線的性質定理（定理1），分析定理的條件、結論，並根據相應圖形寫出表達式。
3.逆向思維探求角平分線的判定定理。
（1）讓學生將定理1的條件、結論進行交換，並思考所得命題是否成立？如何證明？請一位同學敍述證明過程，得出定理2——角平分線的判定定理。
（2）教師隨後強調定理1與定理2的區別：已知角平分線用性質為定理1，由所給條件判定出角平分線是定理2.
（3）教師指出：直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程。
4.理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合。
（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）.
（2）在角的內部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其它位置，滲透集合的完備性）.
由此得出結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。
二、應用舉例、變式練習
練習1填空：如圖3－86（1）∵OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA於D
PE⊥OB於E.∴---------（角平分線的性質定理）.
（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）
例1已知：如圖3－87（a）， ABC的角平分線BD和CE交於F.
（l）求證：F到AB，BC和 AC邊的距離相等；
（2）求證：AF平分∠BAC；
（3）求證：三角形中三條內角的平分線交於一點，而且這點到三角形三邊的距離相等；
（4）怎樣找△ABC內到三邊距離相等的點？
（5）若將“兩內角平分線BD，CE交於F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD，CE交於F，如圖3-87（b），那麼（1）～（3）題的結論是否會改變？怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點？共有多少個？
説明：
（1）通過此題達到鞏固角平分線的性質定理（第（1）題）和判定定理（第（2）題）的目的。
（2）此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交於某一點，再證明這點在第三條直線上。
（3）引導學生對題目的條件進行類比聯想（第（5）題），觀察結論如何變化，培養髮散思維能力。
練習2已知△ABC，在△ABC內求作一點P，使它到△ABC三邊的距離相等。
練習3已知：如圖 3－88，在四邊形 ABCD中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC.求證：點 C在∠DAB的平分線上。
例2已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA於 C，ED⊥OB於 D.求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD.
分析：證明第（1）題時，利用“等角的餘角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質定理得到 OC＝OD.這樣處理，可避免證明兩個三角形全等。
練習4 課本第54頁的練習。
説明：訓練學生將生活語言翻譯成數學語言的能力。
三、互逆命題，互逆定理的定義及應用
1.互逆命題、互逆定理的定義。
教師引導學生分析角平分線的性質，判定定理的題設、結論，使學生看到這兩個命題的題設和結論正好相反，得出互逆命題、互逆定理的定義，並舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子。教師強調“互逆命題”是兩個命題之間的關係，其中任何一個做為原命題，那麼另一個就是它的逆命題。
2.會找一個命題的逆命題，並判定它是真、假命題。
例3寫出下列命題的逆命題，並判斷（1）～（5）中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題：
（1）兩直線平行，同位角相等；
（2）直角三角形的兩鋭角互餘；
（3）對頂角相等；
（4）全等三角形的對應角相等；
（5）如果|x|＝|y|，那麼x＝y；
（6）等腰三角形的兩個底角相等；
（7）直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。
説明：注意逆命題語言的準確描述，例如第（6）題的逆命題不能説成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”。
3.理解互逆命題、互逆定理的有關結論。
例4 判斷下列命題是否正確：
（1）錯誤的命題沒有逆命題；
（2）每個命題都有逆命題；
（3）一個真命題的逆命題一定是正確的；
（4）一個假命題的逆命題一定是錯誤的；
（5）每一個定理都一定有逆定理。
通過此題使學生理解互逆命題的真假性關係及互逆定理的定義。
四、師生共同小結
1.角平分線的性質定理與判定定理的條件內容分別是什麼？
2.三角形的角平分線有什麼性質？怎樣找三角形內到三角形三邊距離相等的點？
3.怎樣找一個命題的逆命題？原命題與逆命題是否同真、同假？
五、作業
課本第55頁第3，5，6，7，8，9題。
課堂教學設計説明
本教學設計需2課時完成。
角平分線是符合某種條件的動點的集合，因此，利用教具，投影或計算機演示動點運動的過程和規律，更能展示知識的形成過程，有利於學生自己觀察，探索新知識，從中提高興趣，以充分培養能力，發揮學生學習的主動性
問題1：你能舉出1～2個實例或實物，説明它們也具有上面所説的特性嗎？
説明：學生自己舉例有助於他們感性地認識中心對稱的意義。然後，教師指出：具有這種特性的圖形叫做中心對稱圖形，並介紹對稱中心，對稱點等概念。
問題2：你能給“中心對稱”下一個定義嗎？
説明與建議：學生下定義會有困難，教師應及時修正，並給出明確的定義，然後指出定義中的三個要點：（l）有一個對稱中心——點；（2）圖形繞中心旋轉180度；（3）旋轉後與另一圖形重合。把這三要點填入引導性材料中的空表內，在頂空格內寫上“中心對稱”字樣，以利於寫“軸對稱”進行比較。
練一練：在圖4.7－3中，已知△ABC和△EFG關於點O成中心對稱，分別找出圖中的對稱點和對稱線段。
説明與建議：教師可演示△ABC繞點O旋轉180度後與△EFG重合的過程，讓學生説出點E和點A，點B和點F，點C和點G是對稱點；線段AB和EF、線段AC和EG，線段BC和FG都是對稱線段。教師還可向學生指出，圖4.7－3中，點A、O、E在一條直線上，點C、O、G在一條直線上，點B、O、F在一條直線上，且AO=EO，BO=FO，CO＝GO。
問題3：從上面的練習及分析中，可以看出關於中心對稱的兩個圖形具有哪些性質？
説明與建議：引導學生總結出關於中心對稱的兩個圖形的性質：定理l---關於中心對稱的兩個圖形是全等形；定理2——關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分。
問題4：定理2的題設和結論各是什麼？試説出它的逆命題。
説明與建議：學生解答此題有困難，教師要及時引導。特別是敍述命題時，學生常常照搬“對稱點”、“對稱中心”這些詞語，教師應指出：由於沒有“兩個圖形關於中心對稱”的前提，所以不能使用“對稱點”、“對稱中心”這樣的詞語，而要改為“對應如”、“某一點”。最後，教師應完整地敍述這個逆命題---如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，並且被這一點平分，那麼這兩個圖形關於點對稱。
問題5：怎樣證明這個逆命題是正確的？
説明與建議：證明過程應在教師的引導下，師生共同完成。由已知條件——對應點的連線都經過某一點，並且被這一點平分，可以知道：若把其中一個圖形繞着這點旋轉180度，它必定於另一個圖形重合，因此，根據定義可以判定這兩個圖形關於這一點對稱。這個逆命題即為逆定理。根據這個逆定理，可以判定兩個圖形關於一點對稱，也可以畫出已知圖形關於一點的對稱圖形。
練一練：訪畫出圖4．7－4中，線段PQ關於點O的對稱線段P′Q′。
（畫法如下：（1）連結PO，延長PO到P′，使OP′＝OP，點P′就是點P關於點O的對稱點，（2）連結QO，延長QO到Q′，使Q′Q=OQ，點Q′就是點Q的對稱點，則PQ′就是線段PQ關於O點的對稱線段。教師應指出：畫一個圖形關於某點的中心對稱圖形，關鍵是畫“對稱點”。比如，畫一個三角形關於某點的中心對稱三角形，只要畫出三角形三個頂點的對稱點，就可以畫出所要求的三角形。）
課本例題
説明：（l）教師應讓學生讀題分析，給每個學生印發一張印有圖4.7-5的紙，讓學生動手畫圖。（2）畫好圖後讓學生總結：畫多邊形的中心對稱圖形只要畫出多邊形各頂點的對稱點，即能畫出所求的對稱圖形。
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