做數學 愛數學
摘要：新課程理念下的數學應該是在一定情景之下的問題發現、探究與解決。因此，新課程下的數學教學是創設適合的問題情景，在問題情景之下發揮學生自主參與、積極探究的主體意識，引導學生髮現問題，提出問題，解決問題，再提出新問題，再解決新問題的過程。在這個過程中，學生以問題為主線進行數學學習，掌握必要的數學知識，在互動的過程中使學生的技術和能力得到提高，從而形成適應未來社會的良好數學素質。
關鍵詞：做數學；“問”;“玩”;“悟”;“用”
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2013)24-0047
新一輪基礎教育課程改革以提高學生的綜合素質為主旨，將數學的合作學習和自主探究學習作為主要的學習方式，因此，在當前形勢下，學生學習數學的過程應該是師生互動和生生互動的多邊活動的過程。其能力的形成和素質的提高主要在做與合作，做與交流中形成。
一、“做”數學，引導學生“問”
“問”是“探”之開端和主線，為了讓學生能“問”，教師應該創設適合學生實際和認識水平的問題情景，讓學生從中找到必要的數學信息，去發現需要解決的問題。因此，問題情景是“做”數學的起點、開端和主線。能否創設對學生具有挑戰性和吸引力的問題情景是學生學好數學的關鍵。
例如，教學“圓的周長”的兩位教師，有兩種不同的理念，便有了兩種不同的“做”法。
方法一：教師為學生提供硬紙板做成的大小不同的圓片，要求先測量圓的直徑，再一一在直尺上滾動一週，並記錄其周長，然後引導學生去發現圓周長和直徑的關係。
方法二：教師先通過多媒體創設情景，然後提供材料，多種材料製作的圓片和紙片上的圓形，讓學生去探索圓的周長和直徑的關係。
顯然，方法一是讓學生在教師的指令下去驗證圓的圓長和直徑的關係，是重結論的“記”數學活動。而方法二則是在一定情景之下，從問題意識為線索的“做”數學活動。這裏問題情景的創設在於學生在探究問題的過程中不斷產生認知衝突：“圓形的應用無處不在，而用硬紙做的用滾動或細繩的方法可以測量，但軟布做的圓不能這樣測量，怎麼辦？”問題的解決和方法、知識的侷限性的矛盾不斷得到激活，旅發學生的探求慾望和熱情，在小組合作學習中，通過相互啟發，探索，可以用摺疊的方法。但對畫在紙上的圓這種方法又受到了挑戰。學生自然會轉入周密的探索之中。這樣，整個活動的過程就是學生質疑問難的過程，體現了發現問題、提出問題、解決問題的過程。
二、“做”數學，引導學生“玩”
少年兒童的天性就是好“玩”，新課程的數學也要一改過去那古板的面孔，讓學生好好地“玩”!
“玩”數學就是學生在積極情感體驗下以特質或物質活動方式去感知事物。有了問題意識的玩，“玩”就有了方向。如果説“問”是學習的起點和主線，那麼“玩”就是探尋主線的活動方法。“玩”數學不僅是學生的認知過程，而且是師生之間、生生之間的活動和情感交流的過程。情感活動屬於動力系統，它能促使主體積極主動的參與。“玩”數學的獨特之處就在於學習主體處於愉悦的、積極的心理狀態下，主動自覺地去“做”。它和被動的“記”數學相比，是變“要我學”為“我要學”。“我要學”是基於學生對學習的內在需要，而“我要學”則是基於外在的誘因和強制。學生學習數學的內在需要主要是表現在對學習的興趣。興趣有直接和間接之分。直接興趣直接指向活動本身，間接興趣指向活動的結果。學生有了學習的興趣，學習活動不再是一種負擔，而是一種享受、一種愉快的體驗，才會越學越想學，越學越願意學、越愛學。
“玩”必須是在自主探索的基礎上，小組合作之下的“玩”。在這種情景之下的“玩”，才能使數學學習的課堂，變成數學研究和人與人合作交流的場所，才能提高學生適應未來社會的必備素質。
三、做數學，引導學生“悟”
“悟”是數學以及其他任何學習的重要階段。
“悟”一般是在感覺和知覺的基礎上產生的一種領悟或感悟，是人的智慧和品質發展的一種最重要的形式，如果“玩”是動手、動眼的外在的動，則“悟”是動腦動心的內在的動。玩可以為“悟”提供外部信息，而“悟”則可以使“玩”得以昇華。如果只是“玩”，則只是停留在感知的層面上，“玩”和“悟”互動的過程才是“做”數學的最佳途徑。
“悟”不僅是一個過程，也是數學學習的重要結果。當學生有所“悟”的時候，才是真的有所收穫。而“悟”不能由別人説出或代替，而必須是在主觀努力之下的自身的一種體驗和頓悟。教師只能通過合理的情景創設，合理的原形啟發，引導他們自己去經歷知識的發現過程和方法的形成過程，而不是簡單的告訴，也不是簡單的暗示或引誘，要採取手段充分調動學生的思維來“悟”。
四、“做”數學，引導學生“用”
《數學課程標準》指出，要使學生初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強運用數學的意識，要鼓勵學生“面對實際問題時，能主動嘗試着從數學的角度運用所學的知識和方法，尋找解決問題的策略。”可見，數學應用是數學教學首要的和基本的目標，也是當前數學課程改革的要點之一。
數學只有回到生活中，才會顯示其價值，展示其魁力。學生只有回到生活中去用數學，才能真正實現“人人學有價值的數學”。在數學教學中，教師要善於在現實生活中採擷教學實例，把社會生活中的題材引入到數學課堂教學之中，讓學生在發現問題、解決問題、實踐活動的過程中，建立“用數學”的意識，培養“用數學”的能力，體驗“用數學”的樂趣。還要引導學生從現實生活中發現數學問題，建立“用數學”的意識。數學來源於生活，生活中處處有數學。
《數學課程標準》指出：“教學中，要創設與學生生活環境、知識背景密切相關的，又是學生感興趣的學習情景，讓學生在觀察、操作、猜測、交流、反思等活動中逐步體會數學知識的產生、形成和發展的過程，獲取積極的情感體驗，感受數學的力量，同時掌握必要的基礎知識和基本技能。”讓學生參與一定的含有數學問題的實踐活動，在提高“用數學”的能力的同時，體驗“用數學”的樂趣。在數學教學中，教師有目的、有計劃地組織學生參與具有生活實際背景的數學實踐活動，通過運用所學的數學知識解決一些簡單的實際問題，既能鞏固所學的教學知識，又能開闊學生的數學視野。
例如，數學《找規律》後，筆者讓學生分小組為黑板報設計有規律的花邊，為“學習園地”設計有規律的花邊，比一比哪個小組設計的花邊新穎、漂亮，讓學生在生活中運用規律的知識，在比賽中獲得成工的體驗。教學《認識到鐘錶》(人教版第一冊)後，筆者指導學生為自己設計合理的作息時間表，並嚴格按作息時間表起牀、吃飯、上學、放學、做作業、睡覺、教育學生珍惜時間，做時間的主人。教學《統計》(人教版第一冊)後，筆者指導學生為自己設計合理的作息時間表，並嚴格按作息時間表起牀、吃飯、上學、放學、做作業、睡覺，教育學生珍惜時間，做時間的主人，教學《統計》(人教版第四冊)後，筆者引導學生調查本班同學每天看電視的時間，製作統計圖表，提出問題並解決問題，談談自己的看法。使學生學會在生活中運用統知識，並學會自我控制、自主管理。通過一系列的實踐活動，讓學生髮現數學就在身邊，從而提高用數學思維看待實際問題的能力，提高收集、整理信息的能力，體驗在生活中“用數學”帶來的樂趣。
運用數學知識解決問題的能力，對於個人乃至整個民族、整個人類適應和促進未來生活具有重要的意義。因此，作為一名數學教師，在數學教學過程中，我們應該在新課程理念指導下，既要聯繫生活中的實際問題，又要挖掘數學知識的生活內涵。讓數學教學更多地聯繫實際，更貼近生活，做到生活材料數學化，數學教學生活化，促使學生能夠主動聯繫生活實際，在實際背景中運用數學，能夠主動運用數學的思想方法解決問題。
總之，引導學生“做”數學，整個過程是教師與學生，學生與學生之間的多邊活動的過程，整個過程是在相互的合作交流之中完成的，在這個過程中，教師必須發揮其能動作用，恰到好處地去引導，充分發揮各自角色的主觀能動作用，從而提高學生教學學習的能力，最終提高學生的綜合素質。
(作者單位：江西省樂平鳴山中學 333300)
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高等數學與初等數學的區別與聯繫
摘要 從產生的歷史、研究對象和研究方法3個方面説明，使高等數學的初學者能夠在初等數學即常量數學的基礎上順利進入高等數學即變量數學的學習。
關鍵詞 高等數學；初等數學；數學史；研究對象；研究方法
中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1671-489X(2011)15-0047-02
Difference and Relation from Advanced Mathematics Comparing with Primary Mathematics//Yang Limin, Zhao Songqing
Abstract This paper shows the difference and relation from advanced mathematics comparing with primary mathematics by Mathematical History, Investigative object and Investigative method. Fresher who want to study advanced mathematics need to know them.
Key words advanced mathematics; primary mathematics; mathematical history; investigative object; investigative method
Author’s address College of Science, China University of Petroleum, BEijing, China 102249
高等數學是理、工、經、管類各專業大學生的一門重要專業基礎課，近年來有些文科專業如英語、法律也開設相應的文科高等數學課程，説明高等數學的廣泛應用性得到越來越多人的認識。如何學好高等數學是人們共同關注的問題。由於高等數學與初等數學所處歷史時期不同，使得它們的研究對象、研究方法有着很大的不同。這使得有些學生在開始學習高等數學時有些迷茫，不明白數學怎麼突然變了樣子，導致不易入門，對高等數學產生牴觸情緒，學不好高等數學。注意是學好高等數學的重要環節，可以讓學生順利進入高等數學的學習，為專業課程的學習打好基礎。
1 初等數學與高等數學處在不同歷史時期[1]
數學來源於人類的生產實踐，又隨着人類社會的發展而發展，數學是研究現實世界的數量關係與空間幾何形狀的科學，數學是研究數與形的科學。因此，數學發展經歷了幾個歷史時期。
1.1 數學的萌芽時期
遠古時代至公元前6世紀，人類處於原始社會。社會實踐活動主要是打獵與採集野果，形成整數概念，建立簡單運算，產生幾何上一些簡單知識。這一時期的數學知識是零碎的，沒有命題的證明和演繹推理。國小數學的內容基本是這一時期的數學成果。
1.2 常量數學時期
公元前6世紀至17世紀上半葉，人類處於原始社會和封建社會，對自然的認識主要限於陸地，依靠感觀認識世界。所以這時期數學研究的主要是常量和不變的圖形，形成比較系統的知識體系、比較抽象的並有獨立的演繹體系的學科。中國古代數學名著《九章算術》和古希臘的《幾何原本》是代表作。中學數學課程的主要內容基本上是這一時期的成果。
1.3 變量數學時期
公元17世紀上半葉至19世紀20年代，人類處於封建社會末期資本主義初期，經歷了著名的文藝復興。為了通商的需要，人類開始大規模地、看不見陸地地航海，所以，這時期數學研究的主要內容是數量的變化及幾何變換。笛卡爾的解析幾何學、牛頓-萊布尼茨的微積分及圍繞微積分的理論和應用而發展起來的一大批數學分支，使數學進入一個繁榮的時代。大學的高等數學課程的主要內容基本上是這一時期的成果。
1.4近代數學時期
19世紀20年代至20世紀40年代，微積分基礎的嚴格化、近世代數的問世、非歐幾何的誕生、集合論的創立都是這一時期的成就。空前的創造精][神和嚴格化是其主要特點。這些理論已進入大學高年級及研究生的學位課程中。
1.5 現代數學時期
20世紀40年代至今，以數學理論為基礎的計算機的發明使數學得到空前廣泛的應用，泛函分析、模糊數學、分形幾何、混沌理論等新興數學分支產生。這些理論已進入大學高年級及研究生的學位課程中。
2 初等數學與高等數學的研究對象不同
以圖形對照的形式説明二者的區別和聯繫，如圖1所示(左側為初等數學的研究內容，右側為高等數學的研究內容)。
3 舉3個例説明高等數學與初等數學在思想方法上的區別與聯繫
【例1】曲線的切線
初等數學給出圓的切線是與圓只有一個交點的直線，曲線的切線顯然不能照此定義，曲線的切線定義為割線的極限位置。如曲線的切線斜率是多少？(見圖2)
割線斜率的定義與計算屬初等數學的內容，在割線斜率的基礎上考慮M點沿曲線無限靠近P(0,5)點，從而得到P點的切線的斜率，這一定義與方法屬高等數學的內容。
【例2】曲邊形的面積
求由x軸，x=1，y=x2所圍圖形的面積。
如圖3所示，用曲邊三角形內n個小矩形的面積和來近似曲邊三角形的面積，得出面積的近似值。
曲邊三角形面積近似值的求法與計算屬初等數學的內容，在近似值基礎上讓n趨於無窮從而求得準確值的方法屬高等數學的內容。
【例3】無限項求和
上述3個例子，例1體現了微分學的思想，例2體現了積分學的思想，例3體現了無窮級數的思想。從例子可看出：用初等數學的方法解決這類問題，只能得到近似值，得不到最終答案；要得到精確答案，必須在一個無限變化的過程中來考察問題，這正是高等數學的思想方法。
總之，高等數學與初等數學的區別在於研究對象和方法上的不同：初等數學研究的是規則、平直的幾何對象和均勻有限過程的常量，亦稱常量數學，思想方法上片面、孤立、靜止地考慮問題；高等數學在初等數學的基礎上研究的是不規則、彎曲的幾何對象和非均勻無限變化過程的變量，思想方法上是在變化運動會考慮問題，也就是極限的方法。
高等數學與初等數學因其所處歷史時期不同，因此研究對象不同，研究方法不同。人們要隨着這種不同轉變學習時的思想方法，把初等數學的片面、孤立、靜止的思想方法轉變成在變化運動會考慮問題的極限方法，這樣就能很快適應高等數學的學習，迅速入門，學好高等數學。
參考文獻
[1]克萊因。古今數學思想(二)[M].朱學賢，等，譯。上海：上海科學技術出版社，2002:51-55
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