一、教材分析
《等比數列前n項和》選自北師大版高中數學必修5第一章第3節的內容。等比數列的前n項和是“等差數列及其前n項和”與“等比數列”內容的延續，也是函數的延續，它實質上是一種特殊的函數；公式推導中藴涵的數學思想方法如分類討論等在各種數學問題中有着廣泛的應用，如在“分期付款”等實際問題中也經常涉及到。具有一定的探究性。
二、學情分析
在認知結構上已經掌握等差數列和等比數列的有關知識。在能力方面已經初步具備運
用等差數列和等比數列解決問題的能力；但學生從特殊到一般、分類討論的數學思想還需要進一步培養和提高。在情感態度上學習興趣比較濃，表現欲較強，但合作交流的意識等方面尚有待加強。並且讓學生在探究等比數列前n項和的過程中體會合作交流的重要性。
三、教學目標分析：
知識與技能目標：
（1）能夠推導出等比數列的前n項和公式；
（2）能夠運用等比數列的前n項和公式解決一些簡單問題。
過程與方法目標：提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力。體會公式探求
過程中從特殊到一般的思維方法、錯位相減法和分類討論思想。
情感與態度目標：培養學生勇於探索、敢於創新的精神，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗。
四、重難點的確立
《等比數列的前n項和》是這一章的重點，其中公式推導所使用的“錯位相減法”是高中數學數列求和方法中最常用的方法之一，它藴含了多種重要的數學思想，因此，本節課的教學重點為等比數列的前n項和公式的推導及其簡單應用．而等比數列的前n項和公式的推導過程中用到的方法學生難以想到，因此本節課的難點為等比數列的前n項和公式的推導。
五、教學方法
為突出重點和突破難點，我將採用的教學策略為啟發式和探究式相結合的教學方法，教學手段採用計算機進行輔助教學。
六、教學過程
為達到本節課的教學目標，我把教學過程分為如下6個階段：
1、創設情境：
創設一個西遊記後傳的情景，即高老莊集團，由於資金短缺，決定向猴哥進行貸款，猴哥每天給八戒投資1萬元，以後每天比前一天多1萬，連續30天，但有一個條件：第一天返還1分，第二天返還2分，第三天返還4分後一天返還數為前一天的2倍．假如你是高老莊集團企劃部的高參，請你幫八戒決策．這是一個懸念式的實例，後面的“假如”又把學生帶入了實例創設的情境，營造了積極、和諧的學習氣氛，使學生產生學習心理傾向，並進一步瞭解數學來源於生活．
2、探究問題，講授新課：
根據創設的情景，在教師的誘導下，學生根據自己掌握的知識和經驗，很快建立起兩個等比數列的數學模型。提出如何求等比數列前n項和的問題，從而引出課題。通過回顧等差數列前n項和公式的推導過程，類比觀察等比數列的特點，引導學生思考，如果我們把每一項都乘以2，則每一項就變成了它的後一項，引導學生比較這兩個式子有許多相同的項的特點，學生自然就會想到把兩式相減，進而突破了用錯位相減法推到公式的難點。教師再由特殊到一般、具體到抽象的啟示，正式引入本節課的重點等比數列的前n項和，請學生用錯位相減法推導出等比數列前n項和公式。得出公式後，學生一起探討兩個問題，一是當q=1時Sn又等於什麼，引導學生對q進行分類討論，得出完整的等比數列前n項和公式，二是結合等比數列的通項公式，引導學生得出公式的另一形式。
3、例題講解：
我們在講解例題時，不僅在於怎樣解，更在於為什麼這樣解，而及時對解題方法和規律進行概括，有利於發展學生的思維能力。本節課設置如下兩種類型的例題：
1）例1是公式的直接應用，目的是讓學生熟悉公式會合理的選用公式
2）等比數列中知三求二的填空題，通過公式的正用和逆用進一步提高學生運用等比數列前n項和的能力。
4．形成性練習：
練習基本上是直接運用公式求和，三個練習是按由易到難、由簡單到複雜的認識規律和心理特徵設計的，有利於提高學生的積極性。學生練習時，教師巡查，觀察學情，及時從中獲取反饋信息。對學生練習中出現的獨到解法提出表揚和鼓勵，對其中偶發性錯誤進行辨析、指正。通過形成性練習，培養學生的應變和舉一反三的能力，逐步形成技能。
5．課堂小結
本節課的小結從以下幾個方面進行：(1)等比數列的前n項和公式
(2)推導公式的所用方法——從特殊到一般的思維方法、錯位相減法和分類討論思想。通過師生的共同小結，發揮學生的主體作用，有利於學生鞏固所學知識，也能培養學生的歸納和概括能力。進一步完成認知目標和素質目標。
6.作業佈置
針對學生素質的差異進行分層訓練，既使學生掌握基礎知識，又使學有餘力的學生有所提高，從而達到拔尖和“減負”的目的。並可佈置相應的研究作業，思考如何用其他方法來推導等比數列的前n項和公式，來加深學生對這一知識點的理解程度。
一、教學背景分析
1．教學內容分析
本節課是高中數學（北師大版必修5）第一章第3節第二課時，是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續，與函數等知識有着密切的聯繫，也為以後學數列的求和，數學歸納法等做好鋪墊。而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今後學習和工作中必備的數學素養，如在“分期付款”等實際問題中也經常涉及到。本節以數學文化背境引入課題有助於提升學生的創新思維和探索精神，是提高數學文化素養和培養學生應用意識的良好載體。
2．學情分析
從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是，本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有着本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對於q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在後面使用的過程中容易出錯。教學對象是高二理科班的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由於年齡的原因，思維儘管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不完全。
二．教學目標
依據新課程標準及教材內容，結合學生的認知發展水平和心理特點，確定本節課的。教學目標如下：
1、知識與技能目標: 理解等比數列前n項和公式推導方法；掌握等比數列前n項和公式並能運用公式解決一些簡單問題。
2．過程與方法目標：感悟並理解公式的推導過程，感受公式探求過程所藴涵的從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質，初步提高學生的建模意識和探究、分析與解決問題的能力。
3、情感與態度目標：通過經歷對公式的探索過程，對學生進行思維嚴謹性的訓練，激發學生的求知慾，鼓勵學生大膽嘗試、勇於探索、敢於創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受數學的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美和數學的嚴謹美。
三．重點，難點
教學重點：等比數列前“等比數列的前n項和”項和公式的推導及其簡單應用。
教學難點：公式的推導思想方法及公式應用中q與1的關係。
四．教學方法
啟發引導，探索發現，類比。
五． 教學過程
（一）藉助數學文化背境提出問題
在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為讚賞，對他説：我可以滿足你的任何要求。西薩説：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往後每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來後，國王大吃一驚。為什麼呢？
【設計意圖】：設計這個數學文化背境目的是在引入課題的同時激發學生的興趣，調動學習的積極性。故事內容也緊扣本節課的主題與重點。
問題1：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？
引導學生寫出麥粒總數“等比數列的前n項和”
（二）師生互動，探究問題
問題2：“等比數列的前n項和”
有些學生會説用計算器來求（老師當然肯定這種做法，但學生很快發現比較難求。）
問題3：同學們，我們來分析一下這個和式有什麼特徵？
（學生會發現，後一項都是前一項的2倍）
問題4：如果我們把（1）式每一項都乘以2，就變成了它的後一項，那麼我們若在此等式兩邊同以2，得到（2）式：
“等比數列的前n項和”
比較（1）(2）兩式，你有什麼發現？（學生經過比較發現：（1）、（2）兩式有許多相同的項）
問題5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什麼呢？。（學生會發現：“等比數列的前n項和”
【設計意圖】：這五個問題層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學生容易接受為什麼要錯位相減，經過繁難的計算之後，突然發現上述解法，也讓學生感受到這種方法的神奇。
問題6：老師指出這就是錯位相減法，並要求學生縱觀全過程，反思為什麼（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設計意圖】：經過繁難的計算之苦後，突然發現上述解法，讓學生對錯位相減法有一個深刻的認識，也為探究等比數列求和公式的推導做好鋪墊。
（三）類比聯想，構建新知
這時我再順勢引導學生將結論一般化。
問題7：如何求等比數列“等比數列的前n項和”的前“等比數列的前n項和”項和“等比數列的前n項和”：
即:“等比數列的前n項和”
（學生相互合作，討論交流，老師巡視課堂，並請學生上台板演。）
注：學生已有上面問題的處理經驗，肯定有不少學生會想到“錯位相減法”，教師可放手讓學生探究。
將“等比數列的前n項和”兩邊同時乘以公比“等比數列的前n項和”後會得到“等比數列的前n項和”，兩個等式相減後，哪些項被消去，還剩下哪些項，剩下項的符號有沒有改變？這些都是用錯位相減法求等比數列前“等比數列的前n項和”項和的關鍵所在，讓學生先思考，再討論，最後師在突出強調，加深印象。
兩式作差得到“等比數列的前n項和”時，肯定會有學生直接得到“等比數列的前n項和”，不忙揭露錯誤，後面再反饋這個易錯點，從而掌握公式的本質。
【設計意圖】：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的成就感。增強學習數學的興趣和學好數學的信心。
問題8:由 “等比數列的前n項和” 得 “等比數列的前n項和”對不對呢？這裏的“等比數列的前n項和”能不能等於1呀？等比數列中的公比能不能為1？那麼“等比數列的前n項和”時是什麼數列？此時“等比數列的前n項和”？你能歸納出等比數列的前n項和公式嗎？ （這裏引導學生對“等比數列的前n項和” 進行分類討論，得出公式，同時為後面的例題教學打下基礎。）
再次追問：結合等比數列的通項公式“等比數列的前n項和” ，如何把“等比數列的前n項和” 用“等比數列的前n項和” 、“等比數列的前n項和” 、“等比數列的前n項和” 表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）
公式：
“等比數列的前n項和”
注：公式的理解
知三求二：n q a1 an Sn ；
n的含義：項數（通項公式是qn－1）；
q的含義：公比（注意q=1，分類討論）；
錯位相減法：乘公比（作用是構造許多相同項）後錯開一項後再減。
【設計意圖】：通過反問學生歸納，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環節非常重要，儘管僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。
（四）討論交流，延伸拓展
問題9: 探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？
“等比數列的前n項和”（學生討論交流，老師指導。依學生的認知水平可能會有以下幾種方法）
（1）錯位相減法
“等比數列的前n項和”（2）提出公比q
“等比數列的前n項和”（3）累加法
【設計意圖】：以疑導思，激發學生的探索慾望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍。 這有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源於課本，又高於課本，對學生的思維發展有促進作用。
（五） 應用公式，深化理解
例1：在等比數列{ an }中，
（1）已知a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn；
（2）已知a1=8，q=1/2，an =1/2，求Sn；
（3）已知a1=－1.5，a4=96，求q與S4；
（4）已知a1=2，S3＝26，求q與a3。
【設計意圖】：初步應用公式，理解等比數列的基本量也可“知三求二”，體會方程思想。
例2：等比數列{ an }中，已知a3＝3/2，S3＝9/2，求a1與q。
【設計意圖】：注意公式中的分類討論思想。
例3：求數列{n+ }的前n項和。
【設計意圖】：將未知問題轉化為已知問題，進一步體會等比數列前n項和公式的應用。
練習1：求等比數列“等比數列的前n項和”前8項和；
練習2：a3= ，S9= ，求a1和q；
練習3：求數列{n+an}的前n項和。
（先由學生獨立求解，然後抽學生板演，教師巡視、指導，講評學生完成情況，尋找學生中的閃光點，給予適時的表揚。)
【設計意圖】：通過練習，深化認識，增加思維的梯度的同時，提高學生的模式識別能力，滲透轉化思想．
（六）總結歸納，加深理解
問題10:這節課你有什麼收穫？學到了哪些知識和方法？
【設計意圖】：以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然後老師再從知識點及數學思想方法等方面總結。以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。
（學生小結歸納，不足之處老師補充説明。）
1．公式：等比數列前n項和
當q≠1時，Sn= =
當q=1時， Sn=na1
2．方法：錯位相減法（乘以公比）
3．思想：分類討論（公式選擇）
（七）故事結束，首尾呼應
最後我們回到故事中的問題，可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這麼多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產量的459倍，顯然國王兑現不了他的承諾了。
【設計意圖】：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助於學生克服疲倦、繼續積極思維。
（八）課後作業，分層練習
（1）閲讀本節內容，預習下一節內容；
（2） 書面作業：習題P30 8 。10；
（3）拓展作業：求和：“等比數列的前n項和”
【設計意圖】：出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有餘力的學生有思考的空間。
1、導言：
本節課是由印度國王西拉謨與國際象棋發明家的故事引入的，發明者要國王在他的棋盤上的64格中的第1格放入1粒麥粒，第2格放入2粒麥粒，第3格放入4粒麥粒，第4格放入8粒麥粒……問應給發明家多少粒麥粒？
這樣引入課題有以下三點好處：
（1）利用學生求知好奇心理，以一個小故事為切入點，便於調動學生學習本節課的趣味性和積極性。
（2）故事內容緊扣本節課教學內容的主題與重點。
（3）有利於知識的遷移，使學生明確知識的現實應用性。
2、講授新課：
本節課有兩項主要內容，等比數列的前n項和公式的推導和等比數列的前n項和公式及應用。
等比數列的前n項和公式的推導是本節課的難點。
依據如下：
（1）從認知領域上講，它在陳述性知識、程序性知識與策略性知識的分類中，屬於學生最高需求層次的掌握策略與方法的策略性知識。
（2）從學科知識上講，推導屬於學科邏輯中的“瓶頸”，突破這一“瓶頸”則後面的問題迎刃而解。
（3）從心理學上講，學生對這項學習內容的“熟悉度”不高，原有知識薄弱，不易理解。
突破難點方法：
（1）明確難點、分解難點，採用層層推導延伸法，利用學生已有的知識切入，淺化知識內容。比如可以先求麥粒的總數，通過設問使學生得到麥粒的總數為，然後引導學生觀察上式的特點，發現上式中，每一項乘以2後都得它的後一項，即有，發現兩式右邊有62項相同，啟發同學們找到解決問題的關鍵是等式左右同時乘以2，相減得和。從而得知求等比數列前n項和……+的關鍵也應是等式左右各項乘以公比q，兩式相減去掉相同項，得求和公式，也掌握了這種常用的數列求和方法——錯位相減法，説明這種方法的用途。
（2）值得一提的是公式的證明還有兩種方法：
方法二：由等比數列的定義得：運用連比定理，
後兩種方法可以啟發引導學生自行完成。這樣學生從各種途徑，用多種方法推導公式，從而培養學生的創造性思維。
等比數列前n項和公式及應用是本節課的重點內容。
依據如下：
（1）新大綱中有較高層次的要求。
（2）教學地位重要，是教學中全部學習任務中必須優先完成的任務。
（3）這項知識內容有廣泛的實際應用，很多問題都要轉化為等比數列的求和上來。
突出重點方法：
（1）明確重點。利用高一學生求知積極性和初步具有的數學思維能力，運用比較法來突出公式的內容（彩色粉筆板書）：，強調公式的應用範圍：中可知三求二。
（2）運用糾錯法對公式中學生容易出錯的地方，即公式的條件，以精練的語言給予強調，並指出q=1時，。再有就是有些數列求和的項數易錯，例如的項數是n+1而不是n。
（3）創設條件、充分保證。設置低、中、高三個層次的例題，即公式的直接應用、公式的變形應用和實際應用來突出這一重點。對應用題師生要共同分析討論，從問題中抽象出等比數列，然後用公式求和。
一、教材分析
1.從在教材中的地位與作用來看
《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，它不僅在現實生活中有着廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今後學習和工作中必備的數學素養。
2.從學生認知角度看
從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有着本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對於q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在後面使用的過程中容易出錯。
3.學情分析
教學對象是剛進入高中的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由於年齡的原因，思維儘管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。
4.重點、難點
教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用。
教學難點：公式的推導方法和公式的靈活運用。
公式推導所使用的“錯位相減法”是高中數學數列求和方法中最常用的方法之一，它藴含了重要的數學思想，所以既是重點也是難點。
二、目標分析
知識與技能目標：
理解並掌握等比數列前n項和公式的推導過程、公式的特點，在此基礎
上能初步應用公式解決與之有關的問題。
過程與方法目標：
通過對公式推導方法的探索與發現，向學生滲透特殊到一般、類比與轉
化、分類討論等數學思想，培養學生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。
情感與態度價值觀：
通過對公式推導方法的探索與發現，優化學生的思維品質，滲透事物之
間等價轉化和理論聯繫實際的辯證唯物主義觀點。
三、過程分析
學生是認知的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，儘可能地讓學生去經歷知識的形成與發展過程，結合本節課的特點，我設計瞭如下的教學過程：
1.創設情境，提出問題
在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為讚賞，對他説：我可以滿足你的任何要求。西薩説：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往後每一格都是前一格的。兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來後，國王大吃一驚。為什麼呢？
設計意圖：設計這個情境目的是在引入課題的同時激發學生的興趣，調動學習的積極性。故事內容緊扣本節課的主題與重點。
此時我問：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導學生寫出麥粒總數。帶着這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然後再求和。這時我對他們的這種思路給予肯定。
設計意圖：在實際教學中，由於受課堂時間限制，教師捨不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學生的認知規律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什麼不相加而馬上相減呢？在整個教學關鍵處學生難以轉過彎來，因而在教學中應捨得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學生學習的障礙。同時，形成繁難的情境激起了學生的求知慾，迫使學生急於尋求解決問題的新方法，為後面的教學埋下伏筆。
2.師生互動，探究問題
在肯定他們的思路後，我接着問：1，2，22，…，263是什麼數列？有何特徵？應歸結為什麼數學問題呢？
探討1：，記為(1)式，注意觀察每一項的特徵，有何聯繫？(學生會發現，後一項都是前一項的2倍)
探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的後一項，(1)式兩邊同乘以2則有，記為(2)式。比較(1)(2)兩式，你有什麼發現？
設計意圖：留出時間讓學生充分地比較，等比數列前n項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經地義”的，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應着力在這兒做文章，從而抓住培養學生的辯證思維能力的良好契機。
經過比較、研究，學生髮現：(1)、(2)兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：.老師指出：這就是錯位相減法，並要求學生縱觀全過程，反思：為什麼(1)式兩邊要同乘以2呢？
設計意圖：經過繁難的計算之苦後，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數學的信心。
3.類比聯想，解決問題
這時我再順勢引導學生將結論一般化，
這裏，讓學生自主完成，並喊一名學生上黑板，然後對個別學生進行指導。
設計意圖：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。
對不對？這裏的q能不能等於1?等比數列中的公比能不能為
1q=1時是什麼數列？此時sn=?(這裏引導學生對q進行分類討論，得出公式，同時為後面的例題教學打下基礎。)
再次追問：結合等比數列的通項公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出來？(引導學生得出公式的另一形式)
設計意圖：通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環節非常重要，儘管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。
4.討論交流，延伸拓展
課題：等比數列前項和的公式
在提倡教育改革的今天，對學生進行思維技能培養已成了我們非常重要的一項教學任務。研究性學習已在全國範圍內展開，等比數列就是一個進行研究性學習的好題材。在我們學校可以按照Intel未來教育計劃培訓的模式，學完本節課後，教師可以給學生布置一個研究分期付款的課題，讓學生利用網絡資源，多方查找資料，並通過完成多媒體演示文稿和網頁製作來共同解決這一問題。這樣不僅培養了學生主動探究問題、解決問題的能力，而且還提高了他們的創新意識和團結協作的精神。
等比數列前n項和一節是人教社高中數學必修教材試驗修訂本第一冊第三章第五節的內容，教學對象為高一學生，教學時數2課時。
第三章《數列》是高中數學的重要內容之一，之所以在新大綱裏保留下來，這是由其在整個高中數學領域裏的重要地位和作用決定的。
1、數列有着廣泛的實際應用。例如產品的規格設計、儲蓄、分期付款的有關計算等。
2、數列有着承前啟後的作用。數列是函數的延續，它實質上是一種特殊的函數；學習數列又為進一步學習數列的極限等內容打下基礎。
3、數列是培養提高學生思維能力的好題材。學習數列要經常觀察、分析、猜想，還要綜合運用前面的知識解決數列中的一些問題，這些都有利於學生數學能力的提高。
本節課既是本章的重點，同時也是教材的重點。等比數列前n項和前面承接了數列的定義、等差數列的知識內容，又是後面學習數列求和、數列極限的基礎。
本節的重點是等比數列前n項和公式及應用，難點是公式的推導。
一、教材分析
1、從在教材中的地位與作用來看
《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，從教材的編寫順序上來看，等比數列的前n項和是第一章“數列”第六節的內容，它是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續、與前面學習的函數等知識也有着密切的聯繫。就知識的應用價值上來看，它不僅在現實生活中有着廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今後學習和工作中必備的數學素養。就內容的人文價值上來看，等比數列的前n項和公式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納、猜想，有助於培養學生的創新思維和探索精神，是培養學生應用意識和數學能力的良好載體。
2、從學生認知角度來看
從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有着本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對於q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在後面使用的過程中容易出錯。
3、學情分析
教學對象是剛進入高二的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但對問題的分析缺乏深刻性和嚴謹性。
4、重點、難點
教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用。
教學難點：公式的推導方法和公式的靈活運用。
公式推導所使用的“錯位相減法”是高中數學數列求和方法中最常用的方法之一，它藴含了重要的數學思想，所以既是重點也是難點。
二、目標分析
1、知識與技能目標：理解等比數列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數列的前n項和公式並能運用公式解決一些簡單問題。
2、過程與方法目標：通過公式的推導過程，培養學生猜想、分析、綜合的思維能力，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質。
3、情感態度與價值觀：通過經歷對公式的探索，激發學生的求知慾，鼓勵學生大膽嘗試、勇於探索、敢於創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美。用數學的觀點看問題，一些所謂不可理解的事就可以給出合理的解釋，從而幫助我們用科學的態度認識世界。
三、教學方法與教學手段
本節課屬於新授課型，主要利用計算機輔助教學，採用啟發探究，合作學習，自主學習等的教學模式。
四、教學過程分析
學生是認知的主體，也是教學活動的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，引導學生去經歷知識的形成與發展過程，結合本節課的特點，我按照自主學習的教學模式來設計如下的教學過程，目的是在教學過程中促使學生自主學習，培養自主學習的習慣和意識，形成自主學習的能力。
1、創設情境，提出問題
一個窮人到富人那裏去借錢，原以為富人不願意，哪知富人一口答應了下來，但提出瞭如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，以後每天所借的錢數都比上一天多1萬；但借錢第一天，窮人還1分錢，第二天還2分錢，以後每天所還的錢數都是上一天的兩倍，30天后互不相欠。窮人聽後覺得挺划算，本想定下來，但又想到此富人是吝嗇出了名的，怕上當受騙，所以很為難。”請在座的同學思考討論一下，窮人能否向富人借錢？
啟發引導學生數學地觀察問題，構建數學模型。
學生直覺認為窮人可以向富人借錢，教師引導學生自主探求，得出：
窮人30天借到的錢：（萬元）
窮人需要還的錢：？
2、學生探究，解決情境
（2）教師緊接着把如何求？的問題讓學生探究，
①若用公比2乘以上面等式的兩邊，得到
②
若②式減去①式，可以消去相同的項，得到：
（分) ≈1073(萬元） ＞ 465（萬元）
由此得出窮人不能向富人借錢
【設計意圖】留出時間讓學生充分地比較，等比數列前n項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是很顯然的事，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應着力在這兒做文章，從而培養學生的辯證思維能力。
解決情境問題：經過比較、研究，學生髮現：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就可以消去了，得到： ≈1073（萬元） ＞ 465（萬元） 。老師強調指出：這就是錯位相減法，並要求學生縱觀全過程，反思：為什麼（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設計意圖】經過繁難的計算之苦後，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了，讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數 學的信心，同時也為推導一般等比數列前n項和提供了方法。
3、類比聯想，解決問題
這時我再順勢引導學生將結論一般化，設等比數列為，公比為q，如何求它的前n項和？讓學生自主完成，然後對個別學生進行指導。
一般等比數列前n項和：
即
方法：錯位相減法
這裏的q能不能等於1？等比數列中的公比能不能為1？q=1時是什麼數列？此時sn=？
在學生推導完成之後，我再問：由得
【設計意圖】在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。
4、小組合作，交流展示
探究1、求和
探究2、求等比數列的第5項到第10項的和。
方法1： 觀察、發現：。
方法2：此等比數列的連續項從第5項到第10項構成一個新的等比數列。
探究3：求的前n項和。
【設計意圖】採用變式教學設計題組，深化學生對公式的認識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數學認知結構的形成。通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養學生自主學習的意識。解題時，以學生分析為主，教師適時給予點撥。
5、總結歸納，加深理解
以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然後老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結。
1、等比數列的前n項和公式
2、數學思想： （1）分類討論 （2）方程思想
3、數學方法： 錯位相減法
【設計意圖】以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。
6、當堂檢測
（1）口答：
在公比為q的等比數列中
若，則________，若，則________
若=3，=81，求q及 ，
若 ，求及q。
（2）判斷是非：
① （ ）
② （ ）
③若③且，則
（ ）
【設計意圖】對公式的再認識，剖析公式中的基本量及結構特徵，識記公式，並加強計算能力的訓練。
7、課後作業，分層練習
必做： P30習題 1—3 A組 第1題，
選作題1：求的前n項和
（2）思考題：能否用其他方法推導等比數列前n項和公式
【設計意圖】佈置彈性作業以使各個層次的學生都有所發展。 讓學有餘力的學生有思考的空間，便於學生開展自主學習。
五、評價分析
本節課通過推導方法的研究，使學生掌握了等比數列前n項和公式。錯位相減：變加為減，等價轉化；遞推思想：縱橫聯繫，揭示本質；學生從中深刻地領會到推導過程中所藴含的數學思想，培養了學生思維的深刻性、敏鋭性、廣闊性、批判性。同時通過展示交流，學生點評，教師總結，使學生既鞏固了知識，又形成了技能，在此基礎上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養了學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培養了學生勇於探索、不斷創新的思維品質，形成學習能力。
六、教學設計説明
1、情境設置生活化。
本着新課程的教學理念，考慮到高二學生的心理特點，讓學生學生初步瞭解“數學來源於生活”，採用故事的形式創設問題情景，意在營造和諧、積極的學習氣氛，激發學生主動探究的慾望。
2、問題探究活動化。
教學中本着以學生髮展為本的理念，充分給學生想的時間、説的機會以及展示思維過程的舞台，通過他們自主學習、合作探究，展示學生解決問題的思想方法，共享學習成果，體驗數學學習成功的喜悦。通過師生之間不斷合作和交流，發展學生的數學觀察能力和語言表達能力，培養學生思維的發散性和嚴謹性。
3、辨析質疑結構化。
在理解公式的基礎上，及時進行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習。通過總結、辨析和反思，強化了公式的結構特徵，促進學生主動建構，有助於學生形成知識模塊，優化知識體系。
4、鞏固提高梯度化。
例題通過公式的正用和逆用進一步提高學生運用知識的能力；由教科書中的例題改編而成，並進行適當的變式，可以提高學生的模式識別的能力，培養學生思維的深刻性和靈活性。
5、思路拓廣數學化。
從整理知識提升到強化方法，由課內鞏固延伸到課外思考，變“知識本位”為“學生本位”，使數學學習成為提高學生素質的有效途徑。以生活中的實例作為思考，讓學生認識到數學來源於生活並應用於生活，生活中處處有數學。
6、作業佈置彈性化。
通過佈置彈性作業，為學有餘力的學生提供進一步發展的空間，有利於豐富學生的知識，拓展學生的視野，提高學生的數學素養。
七．教學反思
學生的根據高二學生心理特點、教材內容、遵循因材施教原則和啟發性教學思想，本節課的教學策略與方法我採用規則學習和問題解決策略，即“案例—公式—應用”，案例為淺層次要求，使學生有概括印象。公式為中層次要求，由淺入深，重難點集中推導講解，便於突破。應用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學，反饋驗證本節教學目標的落實。
其中，案例是基礎，使學生感知教材；公式為關鍵，使學生理解教材；練習為應用，使學生鞏固知識，舉一反三。
在這三步教學中，以啟發性強的小設問層層推導，輔之以學生的分組小討論並充分運用直觀完整的板書和計算機課件等教輔用具、手段，改變教師講、學生聽的填鴨式教學模式，充分體現學生是主體，教師教學服務於學生的思路，而且學生通過“案例—公式—應用”，由淺入深，由感性到理性，由直觀到抽象，不僅加深了學生理解鞏固與應用，也培養了思維能力。
這節課總體上感覺備課比較充分，各個環節相銜接，能夠形成一節完整就為系統的課。本節課教學過程分為導入新課、公式推導、合作探究、課堂小結、當堂檢測、佈置作業。本節課總體上講對於內容的把握基本到位，對學生的定位準確，教學過程中留給學生思考的時間，以學生為主體。
亮點之處：
學生成為課堂的主體，教師要甘當學生的綠葉
由於數學的抽象、思維嚴謹等特點，學生往往對於一些較為複雜或者變化多樣的題目容易望而生畏，出現懶得動腦思考、動筆去做的現象。教師也常因為時間的限制不可能給學生過多的時間去做“無用功”。在本節課上我放手讓學生去思考，讓學生去摸索。不怕學生出錯，就是讓學生能夠在摸索中增強思維能力、解題技能和計算經驗。特別是在例3中，教師針對題目做了簡要的分析和提示，讓學生去嘗試着解題。張漫同學的板書詳盡，將思路方法概括表述出來，過程完整。只是結果出現了一個小錯誤，教師在點評過程中給予指出，同時也個結果錯誤也是學生經常犯的。
根據高一學生心理特點、教材內容、遵循因材施教原則和啟發性教學思想，本節課的教學策略與方法我採用規則學習和問題解決策略，即“案例—公式—應用”，簡稱“例—規”法。
案例為淺層次要求，使學生有概括印象。
公式為中層次要求，由淺入深，重難點集中推導講解，便於突破。
應用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學，反饋驗證本節教學目標的落實。
其中，案例是基礎，是學生感知教材；公式為關鍵，是學生理解教材；練習為應用，是學生鞏固知識，舉一反三。
在這三步教學中，以啟發性強的小設問層層推導，輔之以學生的分組小討論並充分運用直觀完整的板書、棋盤教具和計算機課件等教輔用具、手段，改變教師講、學生聽的填鴨式教學模式，充分體現學生是主體，教師教學服務於學生的思路，而且學生通過“案例—公式—應用”，由淺入深，由感性到理性，由直觀到抽象，加深了學生理解鞏固與應用，有利於培養學生思維能力，落實好教學任務。
1、知識目標：理解等比數列前n項和公式的推導方法，掌握等比數列前n項和公式及應用。
2、能力目標：培養學生觀察問題、思考問題的能力，並能靈活運用基本概念分析問題解決問題的能力，鍛鍊數學思維能力。
3、思想目標：培養學生學習數學的。積極性，鍛鍊學生遇到困難不氣餒的堅強意志和勇於創新的精神。
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