我們的生活離不開數學，每天的日常生活中處處都有數學的影子，這是數學最基礎的運用。數學課程也具有基礎性、普及性和發展性，能通過對數學課程的學習，掌握適應現代生活及進一步學習必備的知識和技能。
數學是一切自然科學的基礎。比如計算飛船“擺脱”地球引力的速度，是數學；生產精密儀器的時候不斷調整數據更精準，是數學；物理座標需要數字記錄，物體運動軌跡需要建立數學模型，是數學；化學反應的進行速度、反應程度，以及反應過程的吸熱放熱、化學方程式的表達，也需要數學。上至天文，下至地理，所有涉及到計算的自然科學，全都與數學有關，而這些自然學科又相互融合，不斷髮展，衍生出各行各業。足可見數學之用的廣泛性。
2021年4月21日，教育部印發義務教育課程標準（2022年版），現就《義務教育數學課程標準（2022年版）》談談數學組老師的研讀心得。
一、數學何以重要
數學，是每一個學生必學的一門學科，數學知識我們每天也在用。對大多數人來説，國小學到的數學知識亦足夠，隨着年級的升高，我們會發現所學的數學知識越來越抽象，似乎離我們的生活越來越遠，而數學的盡頭是“哲學”。這也正體現了數學“化繁為簡”這一學科特點。數學通過對現實世界的抽象化，以符號式就能高度概括出事物之間的關係，以及必然聯繫，在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮着不可替代的作用。
對於“數學是什麼”，課標在一開始就給出了概括性的定義：數學是研究數量關係和空間形式的科學，是培養孩子理性思維的重要學科。數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。數學承載着思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數學素養是現代社會每一個公民應當具備的基本素養。而在國小階段，數學教育承載着落實立德樹人的根本任務，實施素質教育的功能。通過數學課程學習激發學習數學的興趣，養成獨立思考的習慣和合作交流的意願；發展實踐能力和創新精神，增強社會責任感，梳理正確的世界觀、人生觀、價值觀。
二、課標哪裏有“變”
（一）確立核心素養在課程目標中的導向作用
新課標一個最引人注目的變化就是確立核心素養在課程目標中的導向作用，把培養學科核心素養提到一個前所未有的高度。
首先，我們需要明晰“核心素養”是什麼。數學課程要培養的學生核心素養，主要包括三個方面，見圖1；國小階段數學核心素養的表現，見圖2。
圖1核心素養的內涵
若用隱喻的方式來形容數學核心素養的“三會”，可以這樣理解：“會用數學的眼光觀察現實世界”，即用數與量，圖與形來觀察現實世界。如一瓶水，用語文的眼光觀察是“水”字的結構和筆順這些語文元素，用數學的眼光觀察是瓶子的容積和水的體積這些數學元素。
“會用數學的思維思考現實世界”，即將問題簡化、抽象化，使得方法和思維可遷移運用到其他學科乃至生活中。如我們日常整理房間，就藴含着數學中的歸納與分類的方法與思想。“會用數學的語言表達現實世界”，數學語言是連接着數學思維與現實世界的媒介，數學語言的特點是簡潔、清晰、符號化。如我們學習的數，＋-x÷＞＜=，字母表示數，解決問題的算式等，就是教孩子用數學語言表達現實世界及其與事物的關係。
圖2核心素養的主要表現
新課標中的課程目標以學生髮展為本，以核心素養為導向，進一步強調使學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（簡稱“四基”），發展運用數學知識與方法去發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態度和價值觀。課程目標的素養導向，有利於轉變將知識、技能的獲得等同於學生髮展的目標取向，引領教學實踐及教學評價從核心素養視角來促進和觀察學生的全面發展。用核心素養來表述課程目標，讓課標“目中有人”。此舉以“立”帶“破”，讓教師在教授“有用”之知識中貫穿“大用”之學識。
（二）設計體現結構化特徵的課程內容
在新課標的課程內容板塊，首先映入眼簾的是國小由原來的兩個學段調整為三個學段（見圖3），且每個學段都有學業目標和評價標準。
此外，各學段的主題變化較大。課程內容的結構化體現了學習內容的整體性，反映了學科本質的一致性、表現學生學習的階段性。課程內容結構化，必然要求要以結構化的方式來組織教學內容，如以主題、項目、任務來組織結構化的課程內容，這也是我校目前各學科對於新課改的落地舉措。
正如許多專家所指出的，內容結構化並不意味着可以忽視或無視知識點，而是要在知識結構中去重新認識和定位知識點的意義與價值，要在學生的主動活動中實現知識點的教育價值。
（三）學業質量的評價方式更加豐富數學學習活動的實踐性與豐富性對數學學業質量的評價方式提出了更多的需求，除了常用的的紙筆測試以外，表現性評價、增值性評價、過程性評價等方式的應用也更加綜合和貼近學生髮展實際。我校在對學生的綜合評價中就加入了表現性評價的新型方式，還引入了多元主體評價，自主評價等操作方法，反饋更全面客觀，導向更加明確科學，更加綜合且真實地為每一位學生畫像，引領學生的核心素養全面發展（見圖4）。
三、我們如何應“變”
從課標文本來看，學生素養髮展，貫穿課標全文本，隱含在課程內容及教學實踐中，體現在課程學習結果的具體描述中。要促成素養落地，需要更多教育協同方的共同努力。
（一）數學要整體性和一致性學習在數與代數中，新課標把原來的四個主題變為了“數與運算”和“數量關係”兩個主題，把負數、方程、反比例移到了國中，這是不是意味着國小數學更輕鬆了？這個改動，按照史寧中教授的説法，其實是“更注重數學學習的整體性和一致性”的體現。他認為，數學的學習必須要能“串起來”，也就是孩子學到的知識要能有遷移。1。要呈現有結構的概念
給孩子一個新概念，不僅要講是什麼，更要講怎麼比較，要有概念之間的區別和聯繫，能讓孩子學會從一個知識點遷移到另一知識點，還能漸漸通過理解把這些知識點串起來。2。要能將方法學以致用教孩子的方法要讓孩子覺得“有用”“好用”，在過去的國小數學中，用字母表示數的內容很少，並沒有讓孩子形成代數思想。課標提出加強孩子的代數思維，就是用字母一般性代表數，讓孩子建立初步的“符號意識”，為以後學習方程打下基礎。讓孩子學會用抽象符號表示對象，會是將來數學學習的重點。中國教育學會副會長史寧中教授提出了孩子學代數的兩個層次：兩匹馬→□□上面這個式子代表了感性具體→感性一般，叫做簡約階段。
這個式子代表了感性一般→理性具體，叫做符號階段。
讓孩子學會用抽象的符號表示對象，會是將來數學的重點。
比如，孩子需要學會用符號表示對象的性質：
當n是正整數的時候，2n是偶數。
還要學會用符號來表示對象的關係：
小明的爸爸比小明大30歲，如果小明a歲，爸爸b歲，那就可以寫成：b=a+30
還可以用符號表示對象的規律：
一輛汽車以平均每小時60公里的速度行駛，t小時後行駛了s公里。可以寫成：s=60t
用符號表示對象的性質、關係和規律，是每個孩子都要培養的數學思維。未來也會從低年級開始滲透，比如讓孩子接觸這種式子：5-□□=2←→5=2+□□
用符號表示對象的性質、關係和規律，是每個孩子都應該培養的數學思維，如何引導孩子把一個個具象的內容，轉化成抽象的符號，不僅僅是老師的任務，家長也可以在生活中多舉例，以幫助孩子完成思維轉換。
3、更加註重跨學科的實踐數學與其他學科的融合點比較多，比如語文課本里的曹衝稱象，也能跨進數學課例，孩子通過重現曹衝稱象的故事，能夠自己探索“總量等於分量之和”這樣的數學概念。通過綜合與實踐這個主題是希望把數學知識與日常生活聯繫得更緊密，讓孩子們學會用數學的眼光看生活和傳統文化。（二）更加重視對高階思維的發展對比2011年課標中4-6年級的要求，能看到新課標對孩子的思維能力的要求是有所提高的。數學知識的學習量變少，但是對於數學知識的概念和性質的理解卻更為重要，更關注概念+性質的理解。以往的數學題目可以靠背，考的是記憶層面。如：三角形內角和等於什麼？但是未來的題目，將會更側重考察孩子的數學思維層面，如：如果它不是直角三角形，那麼它至多有幾個鈍角？也就是説，以後的題目將會更靈活，而不是讓孩子簡單地套公式，就能得出答案。所以新課標提出，要讓孩子學會用推理的方式得到答案，重視推演的過程，是非常有必要的。經過國小數學學習，孩子們能探索出數與運算的一致性，形成符號意識、運算能力和推理意識，以形成更加高階的思維方式；並能運用基本的數量關係，以及幾何直觀、邏輯推理和其他學科知識、方法，分析與解決問題，形成模型意識和初步的創新意識。
生活處處皆數學。我們也可以嘗試在孩子提出的問題中尋找數學規律，引導他們進一步思考，為什麼測核酸要10個人一組、為什麼買彩票很難中獎、為什麼井蓋是圓形的……這些都是我們身邊的數學。數學之“用”不僅僅是書本知識與應試技能，“聚焦核心，面向未來”是對數學新課標研讀的總結。背公式、刷題的時代已一去不復返，知識最為重要的力量是對人身心潛能的激發和學習機制的改造，是對人性、人的精神世界的涵養，這時候，知識的內涵也從書本上的概念、原理、公式變成人在社會現實互動中的視野、立場和方法，變成了面對問題時的智慧與膽識，此時的知識才真正成為了個體力量，也就是真正的核心素養落地。數學之“大用”不僅在於啟智增慧，更要能立德樹人，把育人藍圖變成現實，培育一代又一代有理想、有本領、有擔當的時代新人，為實現中華民族偉大復興作出新的、更大的貢獻！
聚焦核心概念落實核心素養
——《義務教育數學課程標準（2022年版）》內容結構化分析
《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）在課程理念、目標、內容等方面都有明顯變化，明確落實立德樹人的根本任務，體現了數學學科育人價值的課程理念，確定了核心素養導向的課程目標。課程內容的結構化是課程修訂的重要理念，在這一理念下數學課程內容的結構和具體內容都有調整，理解和把握課程內容的結構化特徵有助於準確把握《標準》，並有效落實於教學實踐。
一、《標準》內容結構化的特徵分析
為體現核心素養導向的課程目標，根據課程內容結構化整合的理念，《標準》在內容結構上進行了調整，在“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四個領域下整合或調整了學習主題。
國小由原來的兩個學段調整為三個學段，各學段的主題變化較大。國中階段的主題變化不大，某些表述有所調整，如事件的概率改成隨機事件的概率。“綜合與實踐”領域雖沒有內容主題，但變化較大的是以跨學科主題學習為主，並將部分知識內容融入其中。
（一）內容結構化體現了學習內容的整體性
課程內容的結構化通過主題整合的方式呈現，體現了學習內容的整體性。
在“數與代數”領域，國小三個學段的主題由原來的“數的認識”“數的運算”“常見的量”“探索規律”“式與方程”“正比例、反比例”六個整合為“數與運算”和“數量關係”兩個。這不只是形式上的變化，更是從學科本質和學生學習視角對相關內容的統整，更好地體現了學科內容的本質特徵和學生學習的需要。“數與運算”主題將數的認識和數的運算兩個核心內容進行整合，將數與運算作為一個整體進行組織，體現二者之間的密切關聯。國小階段的運算都是數的運算，包括整數、小數、分數運算。數與運算不可分，數的認識包含數的抽象表達、數的大小比較等，自然數從小到大就是一個累加的過程，從1開始每增加一個後繼（+1）就得到一個新的數，其中藴含了加的運算，數的大小比較也與運算密切相關。運算的重點在於理解算理、掌握算法，算理的理解最終都要追溯到數的意義。如加法運算，整數和小數的加法是相同數位上的數相加，分數的加法是相同分母的分數直接相加，也就是分數單位相同的分數相加，即分母不變、分子相加。整數、小數、分數的加法計算都可以理解為相同計數單位的個數相加。將數與運算整合成一個主題，有助於從整體上理解數和運算，為學生從整體上把握和理解數學知識與方法，形成數感、符號意識、運算能力、推理意識等核心素養提供基礎。“數量關係”主題突出了問題解決的內容載體和問題解決能力培養。常見的數量關係、式與方程、正比例、反比例和探索規律等內容得到整合（方程移到第四學段），這些內容的本質都是數量關係。從數量關係的視角理解和把握這些內容的教學，有助於從整體上認識這些內容的核心概念。數量關係的重點在於用數和符號對現實情境中數量之間的關係和規律進行表達，凸顯用數學模型解決現實情境中的問題。在數量關係主題下，包含了用四則運算的意義解決實際問題，理解和運用常見的數量關係解決問題，從數量關係的角度理解字母表示關係和規律、比和比例等內容。國中第四學段的“數與式”也是數與運算的延伸，本質上是數的認識擴展，以及數與式的運算。“方程與不等式”“函數”兩個主題要求學生較為系統地學習數量關係，並進一步學習變量之間的數量關係，探索事物的變化規律。從這個意義上説，義務教育階段的“數與運算”和“數與式”構成了一個統整的主題；“數量關係”和“方程與不等式”“函數”構成了一個統整的主題。
在“圖形與幾何”領域，國小三個學段的主題整合為“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”。圖形的認識重點是圖形特徵的探索與描述，圖形的測量是對圖形大小的度量，圖形的認識與圖形測量需要從整體上把握。圖形的認識是對物體形狀的抽象圖形進行表示，重點是認識圖形的特徵。圖形特徵的認識與圖形的測量有密切關係，如長方形相對的邊相等這一特徵，需要通過測量確認其正確性。圖形的測量離不開對圖形的認識，圖形測量的過程與結果都與具體圖形的特徵密切相關。探索圖形的周長、面積、體積的問題，一定要與具體的圖形建立聯繫，對圖形特徵的把握直接影響圖形測量的學習。如學生在學習長方形面積時，在一個長和寬都是整釐米的長方形中，擺滿面積單位（1平方釐米的小正方形），面積單位的個數就是其面積。這樣的操作之所以可行，與長方形的四個角都是直角有關。探討平行四邊形面積就沒有這麼簡單，直接擺小正方形就行不通，要將平行四邊形轉化成長方形才可以。圖形的認識和測量的整合，凸顯了兩個主題內容之間的內在聯繫，有助於學生從整體上理解和掌握這些內容，並使學生形成知識與方法的遷移。圖形的位置與圖形的運動也是有密切關係的內容。在國小，圖形的位置重點是用一對有序數對描述一個點的位置（距離和方向也可以看作一對數），圖形的運動主要是圖形的平移、旋轉和軸對稱。要認識到圖形運動本質上是圖形上點的位置的變化，這種變化主要是平移或旋轉，確定圖形運動前的位置與運動後的位置的關係，瞭解其中的變化和不變，也就是點的位置的變或不變，所以圖形的運動與圖形的位置有密切的關係。國中第四學段“圖形的性質”是“圖形的認識與測量”的延伸，學生要以抽象的方式進一步探索國小階段涉及的圖形，從基本事實出發推導圖形的幾何性質和定理，理解和掌握尺規作圖的基本原理和方法。“圖形的變化”和“圖形與座標”是國小階段“圖形的位置與運動”的延伸，學生要進一步學習圖形在軸對稱、旋轉和平移時的變化規律和變化中的不變量，以及用代數的方法表達圖形的特徵，體現數形結合。義務教育階段圖形與幾何的相關主題構成一個整體。
在“統計與概率”領域，國小三個學段的主題調整為“數據分類”“數據的收集、整理與表達”和“隨機現象發生的可能性”三個，重點強調數據的處理。收集、整理與表達是數據處理的主要方式，更有助於學生數據意識的形成。原課標中的“分類”調整為“數據分類”，與“數據的收集、整理與表達”一致，二者構成一個整體，都是以數據為研究對象，前者是後者必要的準備。學生可以從整體上理解統計離不開數據，二者都是用恰當的方法處理數據，從而逐步形成數據意識。國中第四學段的主題“抽樣與數據分析”和“隨機事件的概率”是國小三個學段主題的延伸，五個主題構成一個整體。
“綜合與實踐”領域強調解決實際問題和跨學科主題學習，以主題式學習和項目式學習的方式設計與組織。義務教育階段對這一領域進行了整體設計，同樣構成一個整體。
（二）內容結構化反映學科本質的一致性
內容結構化通過學習主題的重組實現，四個領域下的主題不僅體現了內容的整體性，還反映了主題內學科本質的一致性。學科本質一致性以主題的核心概念為統領，以一個或幾個核心概念貫穿整個主題，在不同學段表現的水平不同，但本質特徵具有一致性，指向的核心素養也具有一致性。以“數與代數”領域為例，對於“數與運算”主題，“數的意義與表達”“加的意義”“相等”“運算律”等是核心概念（大概念、大觀念或關鍵概念），其中最重要的概念是“數的意義與表達”，整數、小數、分數的認識與運算都與相應數的意義與表達密切相關。“數的認識”中從整數到分數、小數，都是從數量到數的抽象，核心的概念就是其意義和用抽象符號表達的方式。自然數表達為“十進制計數法”，用0、1……9這十個符號和以十為基底的位值製表達所有的數，如235表達的是2個“百”、3個“十”和5個“一”，分數和小數也是用抽象的方式表達。“數的運算”中，算理和算法的理解最終都追溯到數的意義，同樣具有一致性。在“數與運算”主題下，幾乎所有的問題都可以用這樣一個或幾個核心概念去理解，這樣少量的幾個核心概念反映了這一主題的學科本質。在對該主題內容持續的學習過程中，學生會不斷利用這些概念並通過遷移解決新的問題，相關的核心素養“數感”“符號意識”“推理意識”“運算能力”不斷得到發展。國中第四學段的“數與式”是國小階段“數與運算”主題的延續，數的認識拓展到有理數。運算不僅包括數的運算，還拓展到式的運算，但主題的學科本質是一致的，幾個核心概念也貫穿在主題內容之中，學生核心素養的發展也具有一致性。
對主題學科本質的分析，特別是主題核心概念的確定，是值得研究的重要話題。上面僅是對“數與運算”主題學科本質一致性的簡要分析。對“數量關係”“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”“數據的收集、整理與表達”等主題學科本質一致性的理解，以及相關核心概念的提煉，需要在教學實踐中不斷探索。
（三）內容結構化表現學生學習的階段性
根據學生髮展年齡特徵和學習循序漸進的需要，義務教育階段課程內容各學習主題以螺旋式上升的方式被安排在四個學段。不同學段提出了相應的水平要求，表現了學生學習的階段性特徵，這體現在各主題不同學段的“內容要求”“學業要求”和“學段目標”之中。以“數與代數”領域“數量關係”主題為例，在國小三個學段表述為“數量關係”，國中第四學段的“方程與不等式”和“函數”則是國小階段數量關係的延伸和發展，在體現內容的整體性和學科本質一致性的同時，四個學段內容的選擇和設計呈現明顯的階段性。對比第三學段“數量關係”主題和第四學段“方程與不等式”主題的部分學業要求，就可以發現它們的階段性特徵（見表1）。
從數量關係的角度看，兩個主題的學科本質具有一致性，但有明顯的階段性特徵。例如，關於等式的基本性質，第三學段的要求是“在具體問題中感受等式的基本性質”，第四學段則是“掌握等式的基本性質”；關於代數思維，第三學段的要求是“在具體情境中，用字母或含有字母的式子表示數量之間的關係、性質和規律”，第四學段則是“根據具體問題中的數量關係列出方程，理解方程的意義”。瞭解各主題的階段性要求，不僅對特定學段內容的理解和教學要求有重要意義，而且有助於教師瞭解同樣主題在不同學段的特徵，從而分析學生的學習基礎和未來學習的需求。階段性特徵也體現在同一主題下對不同學段核心素養的要求上。例如，“數量關係”和“方程與不等式”主題，第三學段重點強調幾何直觀、模型意識（在內容要求中）和初步的應用意識，第四學段強調建立模型觀念。
二、課程內容結構化的現實意義
《標準》強調，課程內容的組織“重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑”，這是本次課程修訂的重要理念。義務教育數學課程的結構化特徵，在內容設計上體現了整體性、一致性和階段性。為什麼要對內容進行結構化整合？內容結構化有什麼現實意義？下面對此作一些簡要分析。
課程內容組織有多種模式，遵循學科的邏輯、學生髮展的邏輯抑或解決社會問題的取向，不同設計理念構成不同樣態的課程結構。課程內容的結構化是綜合考慮各方面因素進行的課程組織方式。重視學科結構，是以學科邏輯為主線，以有助於學生理解和促進學生髮展為目標的課程設計理念。“學科結構的學説對於課程的規劃和組織具有指導作用和實際影響。內容的連貫與綜合、教學方法和學習方式都與所採用的結構概念聯繫着。”許多教育學者對其有明確的論述，如布魯納在《教育過程》一書中對學科結構的價值、意義和方法作了系統闡述，施瓦布強調學科內容結構在課程教學設計中的作用。縱觀學科結構研究的理論，結合本次課程修訂提倡的理念，數學課程內容的結構化具有以下幾個方面的意義。
（一）有助於更好地理解和掌握學科的基本原理
課程內容的結構化，目的在於體現學習內容之間的關聯，使學生更好地理解一個學科的基本原理，進而促進其對學習內容的掌握和能力的發展。將學科內容恰當地組織起來，進而形成適應學生理解和遷移的知識結構，避免學生簡單孤立地學習知識與方法，使其在學習過程中建立起合理的結構體系，這是課程內容結構化的基本理念。布魯納認為，“簡單地説，學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的”。例如，在數學中，“代數學就是把已知數同未知數用方程式連接起來，使得未知數成為可知的一種方法。解這些方程式所包含的三個基本法則，是交換律、分配律和結合律。學生一旦掌握了這三個基本法則所體現的思想，他就能認識到，要解的‘新’方程式完全不是新的，它不過是一個熟悉的題目的變形罷了。就遷移來説，一個學生是否知道這些運算法的正式名稱，比起他是否能夠應用它們來，是次要的”。學習內容的這種關聯是通過學科的核心概念實現的，在結構化的內容體系中，知識之間不是孤立的互不相干的，學科知識之間是相互關聯的，打通知識之間關聯的鑰匙就是學科的基本原理。布魯納強調教學要注重基本觀念的運用，認為“一門課程在它的教學過程中，應反覆回到這些基本觀念，以這些觀念為基礎，直至學生掌握了與這些觀念相適應的一整套體系為止”。學科結構化的目的是使學習者瞭解所學內容的關聯，而不是對個別知識的掌握。學習者從內容的關聯中體會其中的核心概念（或基本觀念），並將這些核心概念在其後的學習中反覆運用和強化。施瓦布對學科結構也有類似的觀點，認為“學科結構是部分地由規定的概念體系所構成”“不同的學科具有極其不同的概念結構”。近年來有關學科的大概念、大觀念，學科核心概念的進階等方面的研究重點，都與學科結構的理念一脈相承。
前面分析的《標準》內容結構整體性特徵體現了這樣的理念，一個主題內知識與方法之間構成一個整體，這些內容通過核心概念建立起聯繫，使具體內容的學習不再單一而碎片化，而是強調在具體內容中體現基本原理的核心概念的理解和運用。例如，數與運算中“數的意義與表達”“相等”“運算律”等是核心概念，這些核心概念是學習相關內容的關鍵，在學習具體內容時，學習者將不斷地回到這些核心概念，從而在整體上理解掌握相關的內容。
（二）有助於實現知識與方法的遷移
內容結構化使得零散的內容通過核心概念建立關聯。核心概念（關鍵概念、大概念、大觀念）可以把主題內零散的內容聯繫起來，促進知識與方法的遷移。“核心概念是可以把領域或主題內，甚至跨越不同領域、不同主題的更為基本的概念、方法和問題聯繫起來的具有支配性的概念，是促進有意義的、聯繫緊密的知識的一個實用而強大的工具。例如，‘等分’這個核心概念（一個整體可以被分為大小相等的幾個部分）為兒童發明用於公平分配物品的非正式方法提供了概念基礎，等分（類比公平分配的非正式的形式）就為理解包括除法、分數、度量和平均分在內的正式概念奠定了基礎。”內容結構化可以通過核心概念更好地理解和掌握一類內容中基本的概念和方法。核心概念幫助學生更好地理解和強化更多的知識與方法，並將其運用於新場景的學習之中，實現知識與方法的遷移。學生學到的是以核心概念為線索的一套學科內容體系，而不是簡單的零碎的知識和技能。在布魯納有關學科結構的理論中，人們所熟知的“任何學科的基本原理都可以用某種形式教任何年齡的任何人”的觀點，聽起來似乎有些極端，但從內容結構化的視角理解，這裏的基本原理並不是形式化的術語表達的抽象的學科概念，而是支撐某一類知識體系的核心概念，這些核心概念的表現形式可以處於不同層次和不同水平。對於不同年齡的學生，可以用恰當的方式使他們在不同水平上認識其表達方式，如數學中的“相等”是一個核心概念，對於用“=”來表達相等的關係就有不同水平，有研究將其分為“機械的操作型，靈活的操作型，基礎的關係型，互相比較型”等不同水平。《義務教育課程方案（2022年版）》提出的“加強課程內容的內在聯繫，突出課程內容結構化，探索主題、項目、任務等內容組織方式”正是反映了課程設計的結構化理念。早在20世紀90年代，北京的特級教師馬芯蘭就以結構化的思想梳理了國小數學的核心概念，並以核心概念為線索，“由十幾個最基本的概念為知識的核心，把國小中的主要數學知識聯繫了起來。‘和’這個概念則是知識的核心的核心。在學生學習‘10以內數的認識’時就開始以滲透的手段逐步建立‘和’的概念，通過滲透‘和’的概念學習‘10以內數的認識’‘加、減計算’‘理解加減關係’‘加減求未知數’‘簡單應用題的結構’”。馬芯蘭通過數學內容的結構化，以核心概念為線索構建學習內容體系，對“數與代數”領域中的540多個概念之間的從屬關係進行了深入研究，將起決定作用的十幾個核心概念提煉出來，形成了一個完整的知識結構體系。用較少的時間使學生理解核心概念，可提高國小數學教學質量和效率，通過知識與方法的遷移實現國小數學教學減負增效。
近年來有許多關於“大概念”及其在學科課程教學中作用的研究，促進人們深入地思考其理論與實踐。“廣義的大概念指的是，在認知結構化思想指導下的課程設計方式，是為避免課程內容零散龐雜，用居於學科基本結構的核心概念或若干居於課程核心位置的抽象概念整合相關知識、原理、技能、活動等課程內容要素，形成有關聯的課程內容組塊。狹義的大概念同樣是出於課程結構化的目的，同時強調學生對核心概念本質的理解，特指對不同層級核心概念理解後的推論性表達。”這裏提到的“大概念”“核心概念”都與課程的結構化密切相關，只有在具有結構化特徵的學科內容主題中，核心概念才有可能得到凸顯，發揮引領、深化的作用，帶來持續發展。
以核心概念為線索的課程內容結構化，有助於課程實施者更好地把握課程內容本質，在分析和提煉學習主題核心概念的基礎上，理解具體學習內容的學科本質，使學生深刻理解和掌握學習內容，並在此基礎上實現知識與方法的遷移，從而促進學生核心素養的形成。結構化的課程內容可以促進課堂教學的改革，實現“用少量主題的深度覆蓋去替換學科領域中對所有主題的表面覆蓋，這些少量主題使得學科中的關鍵概念得以理解”。這樣的教學設計之所以能夠實現少量主題的深度覆蓋替換所有主題的表面覆蓋，是因為利用知識與方法的遷移，而在遷移中發揮作用的則是“關鍵概念”，這裏的關鍵概念與核心概念是一致的。
（三）有助於準確把握核心概念的進階
學習進階的研究是針對學科的核心概念或大概念展開的，在物理、化學、生物等科學類學科中有大量的研究。數學學科的學習進階研究在國外由來已久。儘管數學學科學習進階研究與科學領域的有所不同，但在本質上具有共同的特徵。國內對於數學學科學習進階的研究雖然剛剛起步，但也有學者對數與代數、統計與概率等主題中核心概念的進階有系列的研究。學習進階研究重點關注四個必備的要素：大概念及對大概念的解析；界定清晰的各進階層級；檢驗學生所處水平的測評工具；促進學生髮展的教學干預手段。從某種意義上説，學習進階的研究可以看作布魯納學科結構理論的延續與教學實踐的支持。布魯納認為，教授學科基本結構有四個重要意義：一是懂得基本原理，使得學科更容易理解；二是使學習的內容更容易記憶；三是更容易實現知識和方法的遷移；四是縮小高級知識與低級知識之間的差別。這些關於學科結構重要性的觀點，與學習進階的基本要素有異曲同工之處。就學科內容結構化的現實意義而言，我們還需在上述學科結構的四個意義的基礎上增加一條，就是結構化的內容對於學生形成核心素養的重要意義。以核心概念為主線的結構化學習主題，有助於課程實施者從學習進階的視角整體理解學生不同階段的學習內容，明確每一個階段完成的學習任務所達成相關核心概念的階段性水平。隨着學習進程的遞進，學習內容不斷擴展，相關核心概念的水平不斷提升，從而使學生的核心素養逐步形成。結構化的內容會使學生的學習變得更輕鬆，更持久，“一個人越是具有學科結構的觀念，就越能毫不疲乏地完成內容充實和時間較長的學習情節”。在這樣的學習過程中，學習建立積極的情感體驗，而持久的學習經歷也有助於活動經驗的積累和核心素養的形成。內容結構化，凸顯學習主題的整體性和一致性，並通過主題中起重要作用的核心概念來實現。
內容結構化的階段性特徵凸顯學習進階的進程，學習進階的階段性特徵通過關鍵內容的教學體現出來。課程內容的結構化提供了以核心概念為線索的促進學習進階的路徑，透過關鍵內容的深度學習實現核心概念的理解與進階。以“數與運算”主題為例，“數的意義與表示”可以看作一個核心概念，其核心要義是如何從數量抽象為數，如何將數用符號表達出來。在義務教育階段的四個學段中，學生學習有關數的內容時都與這個概念建立關聯。第一學段認識20以內的數、百以內的數、萬以內的數；第二學段認識十進制計數法，初步認識分數和小數；第三學段認識分數和小數的意義，自然數的性質（奇數與偶數、質數與合數）；第四階段認識有理數。每一個階段雖然認識具體的數不同，但其學科本質都指向核心概念“數的意義與表示”，都是用抽象的符號和計數單位表達數。例如，35表示的是3個十（十位），5個一（個位）；35表示的是3個1/5（分數單位）；-35表示與35相反的量。每一種抽象的符號表達，都與具體的數量關聯。如何建立起這種關聯，學生在不同階段對於這種關聯的理解水平如何，以及如何引導學生理解與掌握這種關聯，都需要通過結構化的學習內容來實現。把握其中的核心概念，並在學生學習進階過程中實現內容與方法的遷移，進而促進學生核心素養的發展，是整體提升教學質量的關鍵。課程內容的結構化為實現教學方式的變革提供了可能。
三、內容結構化帶來的挑戰與契機
課程內容結構化對課程實施提出了新的要求，同時也為教科書編寫和教學改進等提供了契機。內容結構化體現了內容統整的理念，避免了知識的碎片化。在內容要求和學業要求中，將關聯密切的知識內容統整，體現了核心概念為主線的內容一致性。內容結構化為教育者引導學生從整體上深刻理解主題的內容和方法，促進學生能力的發展和核心素養的形成提供了條件。在教學活動中，要充分考慮學科的核心概念，從體現核心概念的關鍵內容入手，促進學生對其學科本質的理解，形成知識與方法的遷移，逐步發展學生的核心素養。
（一）內容編排以主題的核心概念為線索
《標準》對領域下的主題進行了整合，凸顯了數學學科的本質，體現了主題內容的一致性，為教科書編寫和教學設計提供了更多選擇和組織的空間。
首先，主題的整合將帶來教科書呈現上的變化。《標準》除“綜合與實踐”領域外，國小階段和國中階段分別列出七個和八個學習主題，如“數與代數”領域包括“數與運算”“數量關係”“數與式”“方程與不等式”“函數”五個主題。每個主題都構成一個整體，其中藴含了反映主題學科本質的核心概念，這些核心概念在不同學段具有一致性和階段性。例如，國小的“數與運算”主題和國中的“數與式”主題具有共同特徵，其學科本質具有一致性，“數的意義和表示”“相等”“運算律”等作為統領的核心概念體現在不同學段的相關內容之中，而在不同學段又具有階段性特徵，抽象的程度不同，表徵的水平就有所不同。教科書的呈現既要考慮將其作為一個整體進行設計與組織，也要體現其階段特徵。對於“數與運算”主題，現有的教材大多是將數的認識和數的運算分成不同的單元進行設計。有教材將“100以內數的認識”和“100以內數的加減法”安排在一下和二上的不同單元。依據《標準》對“數與運算”主題的整體理解，可以考慮將100以內數的認識和加減法運算安排在同一單元，使學生在理解數的意義的同時，探索100以內加減法的算理和算法，從而在整體上理解和掌握這個內容。數與運算的結合，不僅促進學生對算理和算法的理解掌握，反過來也可以幫助學生從運算的角度進一步理解數的意義，有助於學生數感、符號意識、運算能力、推理意識等核心素養的形成。當然，並不是所有的數與運算內容都要採取整合的方式來編排，即使分成不同的單元進行組織和設計，也可以用整體的觀點理解相關內容，以把握數與運算的關聯。“圖形與幾何”領域將“圖形的認識”與“圖形的測量”主題整合為“圖形的認識與測量”主題，強調圖形的認識與測量關聯，從整體上認識圖形與測量。與其相關的核心概念可能包括“圖形的特徵”“圖形大小的度量”等。幾何中的測量都是對圖形的測量，圖形測量的本質是確定圖形的大小，從一維、二維到三維，分別用長度、面積、體積表達。對一個圖形完整的認識，包括對其特徵（如長方形的邊和角及其關係）的認識，也包括對這個圖形的周長、面積等度量的認識。例如，三角形的兩邊之和大於第三邊，可以從邊的長度的測量視角進行探索。將圖形的認識與測量整合成一個主題，為圖形與幾何的學習提供了更廣闊的空間，不僅可以把周長和麪積這樣的測量問題整合起來進行分析和理解，也可以嘗試將圖形的認識與測量問題整合起來進行教材的組織和教學設計。
其次，具體內容主題歸屬的變化有助於課程實施者準確理解其學科本質。《標準》對一些內容調整了主題歸屬，如“用字母表示數”和“百分數”由原來“數的認識”主題下分別調整到“數量關係”和“數據的收集、整理與表達”主題下。用字母表示數在以往的標準和教學中只是作為數的進一步抽象，數是數量的抽象，字母又是對數的更一般的表達，是更高層次的抽象。《標準》將用字母表示數調整到“數量關係”主題下，重點將用字母表示數理解為事物之間關係和規律的一般性表達，其內容要求是“在具體情境中，探索用字母表示事物的關係、性質和規律的方法，感悟用字母表示的一般性”，學業要求為“能在具體情境中，用字母或含有字母的式子表示數量之間的關係、性質和規律，感悟用字母表示具有一般性”。從數量關係角度來理解字母表示數的學科本質，其教學的重點和意義與以往相比就會產生變化，從某種意義上彌補了國小階段不學簡易方程帶來的缺失，有助於發展學生初步的代數思維。“百分數”的內容移到“數據的收集、整理和表達”這個主題下，凸顯了百分數的統計意義。以往百分數在“數的認識”主題下，學生更多是從數的意義理解百分數，將百分數看作特殊的分數。但百分數主要用於解決實際問題，從統計意義上理解百分數更能清晰地瞭解其來龍去脈。百分數的內容要求是“結合具體情境，探索百分數的意義，能解決與百分數有關的簡單實際問題，感受百分數的統計意義”。這些內容主題歸屬的變化，有助於課程實施者準確理解具體內容的本質，為合理的教學設計創造條件。
（二）內容分析凸顯學科本質的整體特徵
分析學習內容是合理進行教學設計和課堂實施的前提，其重點在於對學科內容的整體理解。課程內容結構化為整體上理解相關內容的學科本質提供了線索，有助於確定一類學習內容的核心概念、關鍵內容和重點難點。以“小數除法”為例，在現行某版本的教材中，這個內容單元和相關的前後知識安排如表2所示。
學習內容的單元分析一般是將單元作為整體，分析這個單元內容的本質及其不同內容之間的關係，確定單元的重點和難點等。從主題視角看單元內容的本質及其關聯，並且將本單元內容與前後相關的單元內容建立聯繫，會對其本質有更清晰的認識和理解。“小數除法”這個單元的主題是“數與運算”，主要內容是小數除法的計算方法。從教材內容的具體分析可以看出，前三個內容是不同類型的小數除法，體現這個內容的核心概念是“計數單位個數‘累加’”。從計算方法的角度確定哪個具體內容（例題）是重點，有助於學生理解小數除法的算理和算法。而後三個內容“近似計算”“循環小數”“混合運算”不屬於計算方法，近似計算和混合運算都與問題的情境有直接關係，從某種意義上講涉及問題解決能力，其核心概念與計算方法不同。《標準》在第二學段“數與代數”領域對“數量關係”主題有“能在簡單的實際情境中，運用四則混合運算解決問題”的學業要求。而循環小數在本質上是數的認識的擴展，之所以在小數除法單元中呈現，原因之一就是解決類似1÷3這樣的問題時出現了循環小數，其重點不是除法的問題，是數的表示的拓展，是如何表達循環小數和循環小數在具體情境中怎樣取捨的問題，其核心概念是“數的意義與表達”。這兩類問題雖然不是該單元的重點，但與小數除法的計算有關，可以看作小數除法的應用，其本質是問題解決和數的表達。施教者在對內容進行縱向整體分析時還要了解前後單元的相關內容。從表2可以看到，四年級與小數除法相關的內容有整數除法、運算律和小數的意義等，五下進一步學習的分數除法，與整數除法和小數除法的算理相關。數的運算的重點在於理解算理、掌握算法，與算理直接相關的核心概念是“計數單位的‘累加’”，這一核心概念在四年級和五下都會在不同的運算單元中重複出現。從這個意義上講，這些相關內容在學科本質上具有一致性。將能夠突出地體現核心概念一致性的內容作為關鍵內容組織教學，有助於實現知識和方法的遷移，使這些相關內容在整體上形成一個“大單元”。內容結構化有助於從整體上把握內容的關聯，清晰地梳理數的運算內容的線索，以及不同階段“數與運算”主題之間的聯繫。將對主題學科本質的整體理解運用到具體的內容分析之中，有助於深刻理解具體學習內容的核心概念，以及單元內容的重點和關鍵內容的確定。
（三）教學活動突出關鍵內容的單元整體設計
內容結構化促進課堂教學改進的持續研究，從關鍵內容入手的單元整體教學設計是實現核心素養導向目標的重要路徑。《標準》結構化的內容設計在領域下以主題的形式呈現，具體內容要求呈現學科知識與核心素養兩條線索。主題的整合更加凸顯學科內容的本質特徵，以及相關內容之間的聯繫。通過教學內容的縱向分析，可以從整體上把握學習內容的發展脈絡、學科本質的一致性特徵以及內容之間的關聯，同時把握一個主題內容重點體現的核心概念以及藴含的核心素養。教學設計與組織應當採用單元整體教學設計的思路，從整體的視角分析內容本質和學生學情，聚焦核心概念，確定核心素養導向的學習目標，針對單元中的關鍵內容設計與實施體現深度學習的教學活動。下面以小數除法為例，藉助表2作簡要分析。
首先，基於自然單元內容的整體分析，形成以核心概念為線索的反映該單元與前後相關單元之間聯繫的內容的整體理解。以教材的自然單元為形，以單元和單元之間內容本質與核心概念為魂，從自然單元入手進行內容分析，既容易操作，又可以從自然單元分析中將學習內容延伸、拓展，實現對學習內容的整體理解。表2顯示“小數除法”單元的核心內容是“數與運算”主題中的小數除法，其重點是理解算理、掌握算法。小數除法的算理和算法與整數除法有密切關係，需要追溯到整數除法，特別是有餘數除法的教學，教學設計時有必要考慮喚起學生這方面的認知，特別是核心概念“計數單位個數‘累加’”的運用。小數意義的理解對於小數除法算理的理解不可缺少，教學中應採用恰當的方式幫助學生運用小數意義理解算理。除了這個主題外，第四至第六三個內容又涉及數的認識和問題解決等，教學中應與相關的核心概念關聯，採取不同的教學策略。
其次，確定單元中的關鍵內容。關鍵內容是能更好地體現所學內容的學科本質和核心概念的內容，並且藴含着相關的核心素養。表2中第一至第三個內容是不同類型的小數除法問題，這些內容中能較為集中地體現小數除法的算理和算法的內容可以作為教學的關鍵內容。從該單元的教材安排看，第一個內容是小數除以整數，可以理解教材的編者將這個內容作為關鍵內容的設計思路。這樣的設計不無道理，這個內容直指小數除法運算，學生直接面對的是小數除法，要解決的問題就是被除數是小數時怎樣計算，可藉助這個問題理解小數除法的算理和算法。吳正憲基於多年的教學經驗，在對內容進行整體分析基礎上，將第二個內容“整數除以整數商是小數”作為關鍵內容，通過具體的問題情境引導學生探索和理解小數除法的算理和算法：“4個人吃飯，付給服務員97元，這頓飯他們要AA制”，讓學生根據這個情境提出問題和解決問題。問題本身並不難，但在進行運算時發現97÷4=24……1，這是一個有餘數的除法。在AA制的情境中，需要將餘下的1繼續除，在整數除法的範圍內無法解決這個問題。“餘下的1怎麼分”引起學生學習過程的認知衝突。這個問題的解決直接引出小數除法計算算理的深度探索。將小數除法與以往學習的有餘數的除法聯繫起來，運用學生學習的前概念，可以引起學生進一步探索和思考。更重要的是，從有餘數的除法引入可以喚起學生相關的核心概念——計數單位個數“累加”與細分，並讓學生將其運用於新的問題解決之中。當以“一”為單位的1不夠除以4的時候，將其變成以十分之一為單位的10個0。1，就可以除以4，商是2（2個0。1），接下來的計算都是這個方法的推理。這個例題作為學習這類內容的關鍵內容，對於深刻理解算理、掌握算法起畫龍點睛的作用。
最後，設計有效的教學活動。基於學生的基礎和前概念，組織圍繞關鍵內容的學習活動，有助於促進學生整體發展。關鍵內容體現學科本質，指向學生的核心素養。有效教學活動的組織需要基於學生現有的知識基礎和對當前學習內容的理解水平以及存在的困惑，提出引發學生思考的問題，並採用多樣性的策略與方法，引導學生獨立思考、質疑問難、合作交流，在解決問題過程中深度理解所學內容，形成和發展核心素養。在小數除法教學中，師生圍繞“餘下的1怎樣分”的問題展開教學活動，學生經過獨立思考，給出不同的解 uawen.c n 決方法，再對有代表性的方法進行討論、質疑、交流，最後實現問題解決，在理解算理、掌握算法的同時，學生的推理意識、運算能力、幾何直觀等核心素養獲得發展。
課程內容結構化是深化基礎教育課程改革的重要理念，在中國小數學課程與教學改革中應引起充分的重視。伴隨着《標準》的頒佈與實施，圍繞課程內容結構化的理解及其引起的深化教學改革的探索將成為重要的研究話題。
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