[摘 要]本文對高等數學與初等數學教學中有關函數與極限內容的銜接問題進行了分析和討論，並給出瞭解決相關問題的一些教學建議。
[關鍵詞]高等數學 初等數學 教學內容 銜接
高等數學是高等院校絕大多數專業的一門重要公共基礎課。一方面，高等數學為後繼課程和解決實際問題提供必不可少的數學基礎知識及常用的數學方法；另一方面，學生通過學習高等數學，可逐步培養具有初步抽象概括問題的能力，一定的邏輯推理能力、比較熟練的運算能力、綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。
在高等院校中，各個學科門類所開設的專業課程，相對於中學所開設的課程而言，分類更細化，研究內容更豐富，研究方法更新穎，使用的工具更先進。尤其對於高等數學課程，研究的對象和採用的工具特別是思維方法等較初等數學都有較大的變化，同時，教學信息量大大增加。所以，對於初學高等數學的學生來講，普遍感覺到高等數學難學，難就難在高等數學與初學數學的銜接出現“台階”。
2003年3月教育部頒發的《普通高級中學數學課程標準》出台之後，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個重要的特點是新教材進一步加強了高中數學與大學數學的聯繫，高中教材中安排了大學數學課程裏的一些基本概念、基礎知識和思維方法。比如，在人教版的高中數學新教材中，編入了一元函數的極限與導數、概率論與數理統計以及線性規劃等的部分內容，試圖從教學內容方面解決高中數學與大學數學的銜接問題。
目前，雖然各個高校也在不斷進行改革和加強內涵建設，例如，建設精品課程和打造優秀教學團隊等，但是，對高中數學教材內容的新變化尚沒有給予充分考慮，大學數學與高中數學教材內容的銜接上還存在不少問題，例如，大學數學與高中數學交叉重複的內容增多，而有些內容卻仍然存在脱節或空白。這些問題影響了大學數學課程的教學質量，對大學新生儘快適應大學數學學習形成了障礙。大學數學與初等數學教學內容的有效銜接是高等學校數學教師亟待解決的問題之一。
就高等數學與初等數學教學內容的銜接方面而言，在高等數學課程的許多教學內容裏均有體現。下面主要就“函數與極限”這部分內容給出分析比較與教學建議。
1、函數
函數及其初等性質是初等數學討論的主要內容之一。特別是對於一些簡單函數，如一次函數、二次函數、特殊的冪函數、指數函數、對數函數和三角函數等，會考或大學聯考對正確理解和運用它們的初等性質以及熟練地進行初等運算等方面的要求都比較高，學生掌握得也比較牢固。高等數學則是以函數為主要研究對象，以函數的微分、積分為主要研究內容。高等數學教材在有關函數的初等性質方面對學生的要求，除了初等數學中的那些基本要求之外，又提出了更多、更高的要求。高等數學教材中所涉及的函數內容較初等數學教材也更加豐富。
與高中數學教材類似，高等數學教材在介紹函數概念之前，首先介紹集合概念及其運算，然後引進映射的概念。集合論是近、現代數學的基石，而映射是近、現代數學最基本的概念之一。在介紹集合與映射的基本內容之後，函數概念便順理成章地作為一類特殊的映射被引進。高等數學和高中數學將函數作為一類特殊的映射，比國中數學對函數概念的刻畫更加嚴格和深刻，其內涵也更為豐富。與現行的高中數學教材不同的是，高等數學教材除引進映射的概念外，還介紹了逆映射和複合映射的概念。另外，初等數學中很難見到的一些函數，如符號函數、取整函數、狄利克雷函數、黎曼函數等，在高等數學中經常被提及和研究。高等數學教材中還增加了函數的有界性、基本初等函數和初等函數等概念，介紹了雙曲函數和反雙曲函數的概念及有關內容，對反函數和複合函數等內容的要求有所提高，對一些基本初等函數如冪函數、反三角函數等的要求也有所提高。例如，現行的高中數學教材僅對反正弦函數、反餘弦函數和反正切函數的概念作了簡要介紹，並且只要求學生會用這些反三角函數表示“非特殊角”即可，而對它們的初等性質和圖像特徵以及對反餘切函數、反正割函數和反餘割函數的相關內容等都未作要求。
教學建議：根據高等數學與初等數學對函數內容要求的不同，在高等數學教學中，應簡要複習集合和映射的概念及相關運算，並把函數概念及有關性質作為映射的特例進行簡要回顧，而把逆映射與複合映射、反函數與複合函數的概念及有關內容作為重點進行講述和介紹。高等數學教學對初等數學中不太涉及的符號函數、取整函數、狄利克雷函數、黎曼函數等內容應作詳細介紹，對一般的冪函數和反餘切函數、反正割函數、反餘割函數以及雙曲函數、反雙曲函數的概念、性質及圖像也應作較為詳細的講解，而對初等數學中已重點討論的二次函數、特殊冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數等的單調性、奇偶性和週期性等初等性質只需作簡要介紹甚至一筆帶過。高等數學教學還應講解清楚在高等數學中經常遇到的函數有界性、基本初等函數和初等函數等基本概念。
2、極限
對於數列極限和函數極限的概念，高中教材採用的是描述性定義，而這種定義絕不是數列極限和函數極限的精確定義。高中學生對數列極限和函數極限的描述性定義比較容易理解，因為它們比較形象和直觀，對簡單數列或函數的極限求法也易於掌握。
數列極限和函數極限的精確定義或稱數學定義，是在高等數學教材中採用和“的表述形式給出的。對於數列極限和函數極限的一和”定義，許多大學新生都感到抽象和難以理解。可以説，數列極限和函數極限的和一定義是大學生在高等數學的學習中遇到的第一個難點。關於數列極限和函數極限的其它理論結果和運算性質，如收斂數列和函數極限的性質、無窮小與無窮大的概念與比較、極限運算法則的理論推導、極限存在準則與兩個重要極限等，都是高等數學教材重點講述的內容。
教學建議：高中階段對數列極限和函數極限的概念及運算的簡單介紹，為大學階段高等數學的進一步學習奠定了形象直觀的基礎。但在高中數學教學過程中，介紹了數列極限和函數極限的描述性定義之後，應明確告知學生這些並非數列極限和函數極限的精確定義，它們的精確定義或數學定義以及有關數列極限和函數極限的豐富理論結果和運算性質將會在大學的高等數學或數學分析教材中給出。另一方面，大學新生在學習高等數學時，應能很好地回顧高中階段介紹的數列極限和函數極限的描述性定義，以加深理解它們的嚴格數學定義，為後續內容的學習奠定紮實的基礎。
需要説明的是，關於高等數學與初等數學教學內容的銜接問題，除了函數與極限的有關內容之外，對於一元函數微分學等內容的銜接，也有不少問題值得分析與探討。另外，高等數學與初等數學的教學內容還存在某些知識點的“斷裂”問題，例如，現行的高中數學教材已不再介紹極座標及有關內容，而大學數學教材則是把極座標知識作為已知知識對待的。這些問題也是需要亟待解決的問題。
參考文獻
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高等數學是大學本科經濟類專業學生的一門重要的基礎課程，其重要性體現在學好這門課程不僅是學好其專業課的基本保障，更是提高思維素質的方式和進行更高層次研究的不可缺少的工具。因此，一般的本科院校對經濟類的學生從一年級開學就開始開設高等數學課程。然而，高等學校擴大招生後，我國的高等教育已經從精英教育發展到大眾教育階段，使得高校各專業入學人數在激增的同時，生源質量下降已是不爭的事實。而且學生來自全國各個省市地區，入學的數學成績、水平參差不齊；不同學生的興趣、愛好及發展方向各不相同。而相同專業所使用的教材、教學計劃、教學大綱都是一樣的，學生和教師基本沒有選擇的餘地。這種統一的教學模式嚴重阻礙了高等數學
教學質量的進一步提高。目前，這一課程的教學面臨的最大問題是學生的學習興趣和學習成績的下降。而造成這一問題的因素是多方面的，其中一個重要的原因是忽視學生對教學方法、教學內容的不同需求。因此，根據學生的數學成績、興趣愛好、發展志向在適當尊重個人意願的前提下對學生實施不同要求，不同方式的教學方式，就勢在必行。本文以科學理論為基礎，結合本校的教學實踐，分析論述了分層教學的實施方法和取得的成果。
分層教學取得了一定的成效，較之08級以前不實施分層教學的學生成績，不及格率有了較大幅度的降低。60-69，70-79分數段的人數有顯著增加，而90分以上的優秀率有小幅增加，平均分明顯提高。成績分佈呈正態分佈。由此可見，分層教學符合大多數學生的願望和要求，應當堅持和完善。分層教學有的放矢，因材施教，可以提高學生的學習興趣，降低因學科本身的抽象枯燥造成的負擔。使一些對數學沒有信心，失去學習興趣的學生達到了大綱的要求，較好解決了大學生數學學習兩級分化太大的矛盾。08級以後的學生對分層次教學的認可度越來越高，適應數學學習的能力和學習數學的信心也大大地增強。實踐證明，分層教學保證了面向全體學生，因材施教，做到了優等生吃得飽，中等生吃得好，差等生吃得了，同時，減輕了學生的課業負擔，是全面提高教學質量和實施素質教育的行之有效的途徑。雖然分層教學的實施使高等數學教學各方面有了大的改進，但是還有一些問題亟待解決。比如不同自然班的學生在同一個授課班上數學課，這就給課堂和作業管理造成了一定的難度，對教師和輔導員提出了新的要求。另外，考試過後需要將學生成績按自然班排名，也造成了一些麻煩。我們的工作還僅僅是一個開始，今後將在實踐中不斷完善分層教學的教學方式，比如，在考核學生成績方面，可以考慮不僅依據筆試的卷面成績，再兼顧其它形式的考核成績；在教學過程中，可適當藉助計算機進行多媒體教學，以提高學生的學習興趣。
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分層教學，就是針對學生不同的學習水平和能力，以及學生自身對數學的興趣愛好程度和要求有區別地制定學習目標，設計課程內容，創設不同的教學情境和教授方式，從而進行有針對性的因材施教，促進學生得到全面的鍛鍊和發展，進而實現更高效率，更好效果的教學模式。從2008學年開始，在我校教務處的大力支持下，我們在經濟類專業的高等數學教學中試行了分層教學模式，和以往的不分層相比，兩年來教學效果取得了顯著的提高。具體實施方法是，對於經濟類專業的兩個學院，經濟貿易學院和工商管理學院，我們採取不打亂院系，但是分層也分班的方式。層次分為兩層，即A層和B層。A層是基本知識掌握、理論靈活運用、理論聯繫實際等方面要求較高的層次，教學計劃和內容以考研和在專業領域進行深入研究為目標；B層相應要求較低，但是以打下紮實基礎，使數學成為後繼專業課學習的有力工具為基本原則。同時，由於A層班級的較高要求不易把握，由具有多年教學經驗的教師擔任授課工作。分層的依據有客觀依據和主觀依據。客觀依據是學生的數學成績水平，一方面參考大學聯考成績，另一方面，在新生入學伊始，進行一次數學摸底考試。摸底考試的試題由教學經驗豐富的教師來出，大部分是一般難度的題目，但有少數較難題，由此可看出學生的數學成績高下。分層的主觀依據即是學生自己對數學課程的興趣深淺程度和要求高低。比如，有的學生雖然成績一般，但是對數學很感興趣，或者有考研等在本專業領域繼續研究的意向，我們可以考慮將該生分A層班級聽課。反之，有的學生考試成績雖高，但是對數學興趣不大，只是當做一門必修基礎課程來修，那麼，就可以徵求該生的意見，將其分在B層班級上課。考慮到班級人數和授課效果，我們採取相當三個自然班的人數為一個授課班。分層教學的根本目的是因材施教，因此，第一學期期末考試結束後，一些學生的數學成績、對數學的興趣態度等可能已經不再適合原來的'班級教學目標，這就需要對班級進行調整，也就是説，分層教學具有一定的流動性。調整時也遵循上述分層依據，因為調整也是再一次分層。一方面是學生的試卷成績，另外兼顧學生的主觀意願。但是實踐證明，波動不宜過大，以不超過5%為宜。
摘要 從產生的歷史、研究對象和研究方法3個方面説明，使高等數學的初學者能夠在初等數學即常量數學的基礎上順利進入高等數學即變量數學的學習。
關鍵詞 高等數學；初等數學；數學史；研究對象；研究方法
中圖分類號：G642 文獻標識碼：B文章編號：1671-489X(2011)15-0047-02
Difference and Relation from Advanced Mathematics Comparing with Primary Mathematics//Yang Limin, Zhao Songqing
Abstract This paper shows the difference and relation from advanced mathematics comparing with primary mathematics by Mathematical History, Investigative object and Investigative method. Fresher who want to study advanced mathematics need to know them.
Key words advanced mathematics; primary mathematics; mathematical history; investigative object; investigative method
Author’s address College of Science, China University of Petroleum, BEijing, China 102249
高等數學是理、工、經、管類各專業大學生的一門重要專業基礎課，近年來有些文科專業如英語、法律也開設相應的文科高等數學課程，説明高等數學的廣泛應用性得到越來越多人的認識。如何學好高等數學是人們共同關注的問題。由於高等數學與初等數學所處歷史時期不同，使得它們的研究對象、研究方法有着很大的不同。這使得有些學生在開始學習高等數學時有些迷茫，不明白數學怎麼突然變了樣子，導致不易入門，對高等數學產生牴觸情緒，學不好高等數學。注意是學好高等數學的重要環節，可以讓學生順利進入高等數學的學習，為專業課程的學習打好基礎。
1 初等數學與高等數學處在不同歷史時期[1]
數學來源於人類的生產實踐，又隨着人類社會的發展而發展，數學是研究現實世界的數量關係與空間幾何形狀的科學，數學是研究數與形的科學。因此，數學發展經歷了幾個歷史時期。
1.1 數學的萌芽時期
遠古時代至公元前6世紀，人類處於原始社會。社會實踐活動主要是打獵與採集野果，形成整數概念，建立簡單運算，產生幾何上一些簡單知識。這一時期的數學知識是零碎的，沒有命題的證明和演繹推理。國小數學的內容基本是這一時期的數學成果。
1.2 常量數學時期
公元前6世紀至17世紀上半葉，人類處於原始社會和封建社會，對自然的認識主要限於陸地，依靠感觀認識世界。所以這時期數學研究的主要是常量和不變的圖形，形成比較系統的知識體系、比較抽象的並有獨立的演繹體系的學科。中國古代數學名著《九章算術》和古希臘的《幾何原本》是代表作。中學數學課程的主要內容基本上是這一時期的成果。
1.3 變量數學時期
公元17世紀上半葉至19世紀20年代，人類處於封建社會末期資本主義初期，經歷了著名的文藝復興。為了通商的需要，人類開始大規模地、看不見陸地地航海，所以，這時期數學研究的主要內容是數量的變化及幾何變換。笛卡爾的解析幾何學、牛頓-萊布尼茨的微積分及圍繞微積分的理論和應用而發展起來的一大批數學分支，使數學進入一個繁榮的時代。大學的高等數學課程的主要內容基本上是這一時期的成果。
1.4近代數學時期
19世紀20年代至20世紀40年代，微積分基礎的嚴格化、近世代數的問世、非歐幾何的誕生、集合論的創立都是這一時期的成就。空前的創造精神和嚴格化是其主要特點。這些理論已進入大學高年級及研究生的學位課程中。
1.5 現代數學時期
20世紀40年代至今，以數學理論為基礎的計算機的發明使數學得到空前廣泛的應用，泛函分析、模糊數學、分形幾何、混沌理論等新興數學分支產生。這些理論已進入大學高年級及研究生的學位課程中。
2 初等數學與高等數學的研究對象不同
以圖形對照的形式説明二者的區別和聯繫，如圖1所示(左側為初等數學的研究內容，右側為高等數學的研究內容)。
3 舉3個例説明高等數學與初等數學在思想方法上的區別與聯繫
【例1】曲線的切線
初等數學給出圓的切線是與圓只有一個交點的直線，曲線的切線顯然不能照此定義，曲線的切線定義為割線的極限位置。如曲線的切線斜率是多少？(見圖2)
割線斜率的定義與計算屬初等數學的內容，在割線斜率的基礎上考慮M點沿曲線無限靠近P(0,5)點，從而得到P點的切線的斜率，這一定義與方法屬高等數學的內容。
【例2】曲邊形的面積
求由x軸，x=1，y=x2所圍圖形的面積。
如圖3所示，用曲邊三角形內n個小矩形的面積和來近似曲邊三角形的面積，得出面積的近似值。
曲邊三角形面積近似值的求法與計算屬初等數學的內容，在近似值基礎上讓n趨於無窮從而求得準確值的方法屬高等數學的內容。
【例3】無限項求和
上述3個例子，例1體現了微分學的思想，例2體現了積分學的思想，例3體現了無窮級數的思想。從例子可看出：用初等數學的方法解決這類問題，只能得到近似值，得不到最終答案；要得到精確答案，必須在一個無限變化的過程中來考察問題，這正是高等數學的思想方法。
總之，高等數學與初等數學的區別在於研究對象和方法上的不同：初等數學研究的是規則、平直的幾何對象和均勻有限過程的常量，亦稱常量數學，思想方法上片面、孤立、靜止地考慮問題；高等數學在初等數學的基礎上研究的是不規則、彎曲的幾何對象和非均勻無限變化過程的變量，思想方法上是在變化運動會考慮問題，也就是極限的方法。
高等數學與初等數學因其所處歷史時期不同，因此研究對象不同，研究方法不同。人們要隨着這種不同轉變學習時的思想方法，把初等數學的片面、孤立、靜止的思想方法轉變成在變化運動會考慮問題的極限方法，這樣就能很快適應高等數學的學習，迅速入門，學好高等數學。
參考文獻
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分層教學的理論基礎是美國心理學、教育學家布魯姆
(m)掌握學習理論。布魯姆認為：只要在提供恰當的材料和進行教學的同時，給每個學生提供適度的幫助和充分的時間，幾乎所有的學生都能完成學習任務或達到規定的學習目
標。掌握學習理論要求教師的教學應根據學生的實際發展水平、學習方式和個性特點來進行。而一般高校的生源來自全國各個省市地區，近年來的高校擴招也造成了生源質量的下降。這就造成了學生的數學水平參差不齊，差異較大，而分層教學可以較好得體現上述思想。分層教學法還以多元智力理論為基礎，尊重學生的個性差異，重視個性發展，遵循因材施教的原則，以學生的發展作為教學的出發點和歸宿，真正體現以學生髮展為中心，以社會需要為方向，以學科知識為基礎的教育改革要求，也能真正體現素質教育的精神內涵。另外，其實在我國古代，教育家、思想家孔子就已經提出育人要深其深，淺其淺，益其益，尊其尊，即主張因材施教，因人而異。也就是説，教師的教，一定要適合學生的學。
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