指數與指數冪的運算教案
整體設計
教學分析
我們在國中的學習過程中，已瞭解了整數指數冪的概念和運算性質。從本節開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上，類比出正數的n次方根的定義，從而把指數推廣到分數指數。進而推廣到有理數指數，再推廣到實數指數，並將冪的運算性質由整數指數冪推廣到實數指數冪。
教材為了讓學生在學習之外就感受到指數函數的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題。前一個問題，既讓學生回顧了國中學過的整數指數冪，也讓學生感受到其中的函數模型，並且還有思想教育價值。後一個問題讓學生體會其中的函數模型的同時，激發學生探究分數指數冪、無理數指數冪的興趣與慾望，為新知識的學習作了鋪墊。
本節安排的內容藴涵了許多重要的數學思想方法，如推廣的思想（指數冪運算律的推廣）、類比的思想、逼近的思想（有理數指數冪逼近無理數指數冪）、數形結合的思想（用指數函數的圖象研究指數函數的性質）等，同時，充分關注與實際問題的結合，體現數學的應用價值。
根據本節內容的特點，教學中要注意發揮信息技術的力量，儘量利用計算器和計算機創設教學情境，為學生的數學探究與數學思維提供支持。
三維目標
1、通過與國中所學的知識進行類比，理解分數指數冪的概念，進而學習指數冪的性質。掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質。培養學生觀察分析、抽象類比的能力。
2、掌握根式與分數指數冪的互化，滲透“轉化”的數學思想。通過運算訓練，養成學生嚴謹治學，一絲不苟的學習習慣，讓學生了解數學來自生活，數學又服務於生活的哲理。
3、能熟練地運用有理指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力。
4、通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數冪的運算性質。展示函數圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數函數的性質，讓學生體驗數學的簡潔美和統一美。
重點難點
教學重點
（1）分數指數冪和根式概念的理解。
（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質。
（3）運用有理指數冪的性質進行化簡、求值。
教學難點
（1）分數指數冪及根式概念的理解。
（2）有理指數冪性質的靈活應用。
課時安排
3課時
教學過程
第1課時
作者：路致芳
導入新課
思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發展與進化的，第二個問題我們不太清楚）考古學家是按照這樣一條規律推測生物所處的年代的。教師板書本節課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
思路2.同學們，我們在國中學習了平方根、立方根，那麼有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
推進新課
新知探究
提出問題
（1）什麼是平方根？什麼是立方根？一個數的平方根有幾個，立方根呢？
（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據上面的結論我們又能得到什麼呢？
（3）根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎？
（4）可否用一個式子表達呢？
活動：教師提示，引導學生回憶國中的時候已經學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結論進行引申、推廣，相互交流討論後回答，教師及時啟發學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維。
討論結果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數的平方根有兩個，它們互為相反數，如：4的平方根為±2，負數沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.
（2）類比平方根、立方根的定義，一個數的四次方等於a，則這個數叫a的四次方根。一個數的五次方等於a，則這個數叫a的五次方根。一個數的六次方等於a，則這個數叫a的六次方根。
（3）類比(2)得到一個數的n次方等於a，則這個數叫a的n次方根。
（4）用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根。
教師板書n次方根的意義：
一般地，如果xn=a，那麼x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數集。
可以看出數的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出問題
（1）你能根據n次方根的意義求出下列數的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應的方根的指數是什麼數，有什麼特點？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應什麼性質 的數，有什麼特點？
（3）問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數a有正有負，還有零，結論有一個的，也有兩個的，你能否總結一般規律呢？
（4）任何一個數a的偶[]次方根是否存在呢？
活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數a的n次方根，就是求出的那個數的n次方等於a，及時點撥學生，從數的分類考慮，可以把具體的數寫出來，觀察數的 特點，對問題(2)中的結論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路。
討論結果：(1)因為±2的平方等於4，±2的立方等於±8，±2的4次方等於16,2的5次方等於32，-2的5次方等於-32,0的7次方等於0，a2的立方等於a6，所 以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
（2）方根的指數是2,3,4,5,7…特點是有奇數和偶數。總的來看，這些數包括正數，負數和零。
（3）一個數a的奇次方根只有一個，一個正數a的偶次方根有兩個，是互為相反數。0的任何次方根都是0.
（4）任何一個數a的偶次方根不一定存在，如負數的偶次方根就不存在，因為沒有一個數的偶次方是一個負數。
類比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質：
①當n為偶數時，正數a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合併寫成±na(a>0)。
②n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
③負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字語言可用下面的式子表示：
a為正數：n為奇數， a的n次方根有一個為na，n為偶數， a的n次方根有兩個為±na.
a為負數：n為奇數， a的n次方根只有一個為na，n為偶數， a的n次方根不存在。
零的n次方根為零，記為n0=0.
可以看出數的平方根、立方根的性質是n次方根的性質的特例。
思考
根據n次方根的性質能否舉例説明上述幾種情況？
活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握，即正數的奇偶次方根，負數的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類似於na的形式，現在我們給式子na一個名稱——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被開方數，n叫做根指數。
如3-27中，3叫根指數，-27叫被開方數。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那麼nan等於什麼？
活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論。教師點撥，注意歸納整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根據n次方根的意義，可得：(na)n=a.
通過探究得到：n為奇數，nan=a.
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
因此我們得到n次方根的運算性質：
①(na)n=a.先開方，再乘方（同次），結果為被開方數。
②n為奇數，nan=a.先奇次乘方，再開方（同次），結果為被開方數。
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開方（同次），結果為被開方數的絕對值。
應用示例
思路1
例 求下列各式的值：
（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。
活動：求某些式子的值，首先考慮的應是什麼，明確題目的要求是什麼，都用到哪些知識，關鍵是啥，搞清這些之後，再針對每一個題目仔細分析。觀察學生的解題情況，讓學生展示結果，抓住學生在解題過程中出現的問題並對症下藥。求下列各式的值實際上是求數的方根，可按方根的運算性質來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數的符號定準，然後看根指數是奇數還是偶數，如果是奇數，無需考慮符號，如果是偶數，開方的結果必須是非負數。
解：(1)3(-8)3=-8;
（2）(-10)2=10;
（3)4(3-π）4=π-3;
（4）(a-b)2=a-b(a>b)。
點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響 ，是導致問題出現的一個重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會用，活用。
變式訓練
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，
(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，
(3)4(3a-3)4=
點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解。
思路2
例1 下列各式中正確的是（ ）
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質，應首先考慮根據方根的意義和運算性質來解，既要考慮被開方數，又要考慮根指數，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質，當n為偶數時，應先寫nan=|a|，故A項錯。
(2)6(-2)2=3-2，本質上與上題相同，是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論為6(-2)2=32，故B項錯。
(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。
(4)D項是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，故D項正確。所以答案選D.
答案：D
點評：本題由於考查n次方根的運算性質與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心。
例2 3+22+3-22=__________.
活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內容與本節無關，但仔細一想，我們學習的內容是方根，這裏是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據方根的運算求出結果是解題的關鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關鍵，教師提示，引導學生解題的思路。
解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，
3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，
所以3+22+3-22=22.
答案：22
點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式。
思考
上面的例2還有別的解法嗎？
活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮並交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號後，相加正好抵消。同時藉助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。
另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，
兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解。
變式訓練
若a2-2a+1=a-1，求a的取值範圍。
解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，
即a-1≥0，
所以a≥1.
點評：利用方根的運算性質轉化為去絕對值符號，是解題的關鍵。
知能訓練
（教師用多媒體顯示在屏幕上）
1、以下説法正確的是（ ）
A.正數的n次方根是一個正數
B.負數的n次方根是一個負數
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數集）
答案：C
2、化簡下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、計算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個是恆等式，為什麼？請舉例説明。
活動：組織學生結合前面的例題及其解答，進行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義。
通過歸納，得出問題結果，對a是正數和零，n為偶數時，n為奇數時討論一下。再對a是負數，n為偶數時，n為奇數時討論一下，就可得到相應的結論。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數或偶數，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恆成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a，|a|，當n為奇數，當n為偶數。
當n為奇數時，a∈R，nan=a恆成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
當n為偶數時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那麼nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那麼nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，
即(na)n=a(n>1，n∈N)是恆等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。
點評：實質上是對n次方根的概念、性質以及運算性質的深刻理解。
課堂小結
學生仔細交流討論後，在筆記上寫出本節課的學習收穫，教師用多媒體顯示在屏幕上。
1、如果xn=a，那麼x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數，n叫根指數。
（1）當n為偶數時，a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合併寫成±na(a>0)。
(2)n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
（3）負數沒有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握兩個公式：n為奇數時，(na)n=a，n為偶數時，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
作業
課本習題2.1A組 1.
補充作業：
1、化簡下列各式：
(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.
解：(1)681=634=332=39;
(2)15-32=-1525=-32;
(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.
2、若5
解析：因為5
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，
不難看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
設計感想
學生已經學習了數的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節課由於方根和根式的概念和性質難以理解，在引入根式的概念時，要結合已學內容，列舉具體實例，根式na的講解要分n是奇數和偶數兩種情況來進行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，並結合具體例子講解，因此設計了大量的類比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學生加以理解，所以需要用多媒體信息技術服務教學。
第2課時
作者：郝雲靜
導入新課
思路1.碳14測年法。原來宇宙射線在大氣層中能夠產生放射性碳14，並與氧結合成二氧化碳後進入所有活組織，先為植物吸收，再為動物吸收，只要植物和動物生存着，它們就會不斷地吸收碳14在機體內保持一定的水平。而當有機體死亡後，即會停止吸收碳14，其組織內的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變並消失。對於任何含碳物質只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代（半衰期：經過一定的時間，變為原來的一半）。引出本節課題：指數與指數冪的運算之分數指數冪。
思路2.同學們，我們在國中學習了整數指數冪及其運算性質，那麼整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的。這就是本節的主講內容，教師板書本節課題——指數與指數冪的運算之分數指數冪。
推進新課
新知探究
提出問題
（1）整數指數冪的運算性質是什麼？
（2）觀察以下式子，並總結出規律：a>0 ，
① ；
②a8=(a4)2=a4= ，；
③4a12=4(a3)4=a3= ；
④2a10=2(a5)2=a5= 。
（3）利用(2)的規律，你能表示下列式子嗎？
， ， ， (x>0，m，n∈正整數集，且n>1)。
（4）你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？
（5）你能推廣到一般的情形嗎？
活動：學生回顧國中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最後兩步的指數之間的關係，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比(2)的規律表示，借鑑(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示。
討論結果：(1)整數指數冪的運算性質：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無意義；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實質上①5a10= ，②a8= ，③4a12= ，④2a10= 結果的a的指數是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質沒變。
根據4個式子的最後結果可以總結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以寫成分數作為指數的形式（分數指數冪形式）。
（3）利用(2)的規律，453= ，375= ，5a7= ，nxm= 。
(4)53的四次方根是 ，75的三次方根是 ，a7的五次方根是 ，xm的n次方根是 。
結果表明方根的結果和分數指數冪是相通的。
（5）如果a>0，那麼am的n次方根可表示為nam= ，即 =nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
綜上所述，我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：
規定：正數的正分數指數冪的意義是 =nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
提出問題
（1）負整數指數冪的意義是怎樣規定的？
（2）你能得出負分數指數冪的意義嗎？
（3）你認為應怎樣規定零的分數指數冪的意義？
（4）綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？
（5）分數指數冪的意義中，為什麼規定a>0，去掉這個規定會產生什麼樣的後果？
（6）既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質是否也適用於有理數指數冪呢？
活動：學生回想國中學習的情形，結合 自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例説明a>0的必要性，教師及時作出評價。
討論結果：(1)負整數指數冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
（2）既然負整數指數冪的意義是這樣規定的，類比正數的正分數指數冪的意義可得正數的負分數指數冪的意義。
規定：正數的負分數指數冪的意義是 = =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
（3）規定：零的分數指數冪的意義是：零的正分數次冪等於零，零的負分數指數冪沒有意義。
（4）教師板書分數指數冪的意義。分數指數冪的意義就是：
正數的正分數指數冪的意義是 =nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是 = =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等於零，零的負分數指數冪沒有意義。
（5）若沒有a>0這個條件會怎樣呢？
如 =3-1=-1， =6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現了截然不同的結果，這隻説明分數指數冪在底數小於零時是無意義的。因此在把根式化成分數指數時，切記要使底數大於零，如無a>0的條件，比如式子3a2= ，同時負數開奇次方是有意義的，負數開奇次方時，應把負號移到根式的外邊，然後再按規定化成分數指數冪，也就是説，負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數，而不是負數，負數只是出現在指數上。
（6）規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。
有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，
②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我們利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質可以解決一些問題，來看下面的例題。
應用示例
例1 求值：(1) ；(2) ；(3)12-5;(4) 。
活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質計算出數值或化成最簡根式，根據題目要求，把底數寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數冪的運算性質可以解答，完成後，把自己的答案用投影儀展示出來。
解：(1) =22=4;
（2） =5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
（4） =23-3=278.
點評：本例主要考查冪值運算，要按規定來解。在進行冪值運算時，要首先考慮轉化為指數運算，而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如 =382=364=4.
例2 用分數指數冪的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活動：學生觀察、思考，根據解題的順序，把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算，根式化為分數指數冪時，要由裏往外依次進行，把握好運算性質和順序，學生討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結。
解：a3?a=a3? = ；
a2?3a2=a2? = ；
a3a= 。
點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數 冪，再由冪的運算性質來運算。對於計算的結果，不強求統一用什麼形式來表示，沒有特別要求，就用分數指數冪的形式來表示，但結果不能既有分數指數又有根式，也不能既有分母又有負指數。
例3 計算下列各式（式中字母都是正數）。
（1） ；
（2） 。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特徵，然後分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最後算加減，有括號的先算括號內的，整數冪的運算性質及運算規律擴充到分數指數冪後，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進行計算，熟悉後可以簡化步驟。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
（2） =m2n-3=m2n3.
點評：分數指數冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法。有了分數指數冪，就可把根式轉化成分數指數冪的形式，用分數指數冪的運算法則進行運算了。
本例主要是指數冪的運算法則的綜合考查和應用。
變式訓練
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4 計算下列各式：
（1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特 徵，然後分析，化為同底。利用分數指數冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數指數冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉化為分數指數冪後再由運算法則計算，最後寫出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能訓練
課本本節練習1,2,3
【補充練習】
教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教師巡視，啟發，對做得好的同學給予表揚鼓勵。
1、(1)下列運算中，正確的是（ ）
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是（ ）
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
（3）(34a6)2?(43a6)2等於（ ）
A.a B.a2 C.a3 D.a4
（4）把根式-25(a-b)-2改寫成分數指數冪的形式為（ ）
A. B.
C. D.
（5）化簡 的結果是（ ）
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、計算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
（2）設5x=4,5y=2，則52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x 答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3、解： 。 因為x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因為x 所以原式= =12-6-63=-33. 拓展提升 1、化簡： 。 活動：學生觀察式子特點，考慮x的指數之間的關係可以得到解題思路，應對原式進行因式分解，根據本題的特點，注意到： x-1= -13= ； x+1= +13= ； 。 構建解題思路教師適時啟發提示。 解： = = = = 。 點撥：解這類題目，要注意運用以下公式， =a-b， =a± +b， =a±b. 2、已知 ，探究下列各式的值的求法。 (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。 解：(1)將 ，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7; （2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47; （3）由於 ， 所以有 =a+a-1+1=8. 點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯繫，然後採取“整體代換”或“求值後代換”兩種方法求值。 課堂小結 活動：教師，本節課同學們有哪些收穫？請把你的學習收穫記錄在你的筆記本上，同學們之間相互交流。同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點： （1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是 =nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是 = =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等於零，零的負分數指數冪沒有意義。 （2）規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。 （3）有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質： ①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)， ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)， ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。 （4）説明兩點： ①分數指數冪的意義是一種規定，我們前面所舉的例子只表明這種規定的合理性，其中沒有推出關係。 ②整數指數冪的運算性質對任意的有理數指數冪也同樣適用。因而分數指數冪與根式可以互化，也可以利用 =am來計算。 作業 課本習題2.1A組 2,4. 設計感想 本節課是分數指數冪的意義的引出及應用，分數指數是指數概念的又一次擴充，要讓學生反覆理解分數指數冪的意義，教學中可以通過根式與分數指數冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由於是硬性的規定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務。 第3課時 作者：鄭芳鳴 導入新課 思路1.同學們，既然我們把指數從正整數推廣到整數，又從整數推廣到正分數到負分數，這樣指數就推廣到有理數，那麼它是否也和數的推廣一樣，到底有沒有無理數指數冪呢？回顧數的擴充過程，自然數到整數，整數到分數（有理數），有理數到實數。並且知道，在有理數到實數的擴充過程中，增添的數是無理數。對無理數指數冪，也是這樣擴充而來。既然如此，我們這節課的主要內容是：教師板書本堂課的課題〔指數與指數冪的運算(3)〕之無理數指數冪。 思路2.同學們，在國中我們學習了函數的知識，對函數有了一個初步的瞭解，到了高中，我們又對函數的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數，如一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、三角函數等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨着科學的發展，社會的進步，我們還要學習許多函數，其中就有指數函數，為了學習指數函數的知識，我們必須學習實數指數冪的運算性質，為此，我們必須把指數冪從有理數指數冪擴充到實數指數冪，因此我們本節課學習：指數與指數冪的運算(3)之無理數指數冪，教師板書本節課的課題。 推進新課 新知探究 提出問題 （1）我們知道2=1.414 213 56…，那麼1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什麼近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什麼近似值？ （2）多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發現什麼樣的規律？ 2的過剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 的近似值 2的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 … … （3）你能給上述思想起個名字嗎？ （4）一個正數的無理數次冪到底是一個什麼性質的數呢？如 ，根據你學過的知識，能作出判斷併合理地解釋嗎？ （5）藉助上面的結論你能説出一般性的結論嗎？ 活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內容： 問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大於2的方向，另一方面從小於2的方向。 問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關聯。 問題(3)上述方法實際上是無限接近，最後是逼近。 問題(4)對問題給予大膽猜測，從數軸的觀點加以解釋。 問題(5)在(3)(4)的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。 討論結果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數都小於2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數都大於2，稱2的過剩近似值。 （2）第一個表：從大於2的方向逼近2時， 就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大於 的方向逼近。 第二個表：從小於2的方向逼近2時， 就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小於 的方向逼近。 從另一角度來看這個問題，在數軸上近似地表示這些點，數軸上的數字表明一方面 從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小於 的方向接近，而另一方面 從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大於 的方向接近，可以説從兩個方向無限地接近，即逼近，所以 是一串有理數指數冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數指數冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規律變化的結果，事實上表示這些數的點從兩個方向向表示 的點靠近，但這個點一定在數軸上，由此我們可得到的結論是 一定是一個實數，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5. 充分表明 是一個實數。 （3）逼近思想，事實上裏面含有極限的思想，這是以後要學的知識。 （4）根據(2)(3)我們可以推斷 是一個實數，猜測一個正數的無理數次冪是一個實數。 （5）無理數指數冪的意義： 一般地，無理數指數冪aα（a>0，α是無理數）是一個確定的實數。 也就是説無理數可以作為指數，並且它的結果是一個實數，這樣指數概念又一次得到推廣，在數的擴充過程中，我們知道有理數和無理數統稱為實數。我們規定了無理數指數冪的意義，知道它是一個確定的實數，結合前面的有理數指數冪，那麼，指數冪就從有理數指數冪擴充到實數指數冪。 提出問題 （1）為什麼在規定無理數指數冪的意義時，必須規定底數是正數？ （2）無理數指數冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數指數冪的運算法則相通呢？ （3）你能給出實數指數冪的運算法則嗎？ 活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例説明問題，注意類比，歸納。 對問題(1)回顧我們學習分數指數冪的意義時對底數的規定，舉例説明。 對問題（2)結合有理數指數冪的運算法則，既然無理數指數冪aα(a>0，α是無理數）是一個確定的實數，那麼無理數指數冪的運算法則應當與有理數指數冪的運算法則類似，並且相通。 對問題(3)有了有理數指數冪的運算法則和無理數指數冪的運算法則，實數的運算法則自然就得到了。 討論結果：(1)底數大於零的必要性，若a=-1，那麼aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規定了底數是正數後，無理數指數冪aα是一個確定的實數，就不會再造成混亂。 （2）因為無理數指數冪是一個確定的實數，所以能進行指數的運算，也能進行冪的運算，有理數指數冪的運算性質，同樣也適用於無理數指數冪。類比有理數指數冪的運算性質可以得到無理數指數冪的運算法則： ①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是無理數）。 ②（ar)s=ars(a>0，r，s都是無理數）。 ③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數）。 （3）指數冪擴充到實數後，指數冪的運算性質也就推廣到了實數指數冪。 實數指數冪的運算性質： 對任意的實數r，s，均有下面的運算性質： ①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。 ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。 ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。 應用示例 例1 利用函數計算器計算。（精確到0.001） (1)0.32.1;(2)3.14-3;(3) ；(4) 。 活動：教師教會學生利用函數計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數，算出數值，對於(1)，可先按底數0.3，再按xy鍵，再按冪指數2.1，最後按=，即可求得它的值； 對於(2)，先按底數3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最後按=即可； 對於(3)，先按底數3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最後按=即可； 對於(4)，這種無理指數冪，可先按底數3，其次按xy鍵，再按 鍵，再按3，最後按=鍵。有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。 學生可以相互交流，挖掘計算器的用途。 解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705. 點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現代技術的威力，逐步把自己融入現代信息社會；用四捨五入法求近似值，若保留小數點後n位，只需看第(n+1)位能否進位即可。 例2 求值或化簡。 (1)a-4b23ab2(a>0，b>0)； （2） (a>0，b>0)； (3)5-26+7-43-6-42. 活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數則化為常數，若不能化為常數則應使所化式子達到最簡，對既有分數指數冪又有根式的式子，應該把根式統一化為分數指數冪的形式，便於運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由裏向外把根式化成分數指數冪，要緊扣分數指數冪的意義和運算性質，對(2)既有分數指數冪又有根式，應當統一起來，化為分數指數冪，對(3)有多重根號的式子，應先去根號，這裏是二次根式，被開方數應湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，並對學生作及時的評價，注意總結解題的方法和規律。 解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。 點評：根式的運算常常化成冪的運算進行，計算結果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示。 （2） = =425a0b0=425. 點評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負指數冪的定義把負指數化成正指數，另一個方法是採用分式的基本性質把負指數化成正指數。 (3)5-26+7-43-6-42 =(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2 =3-2+2-3-2+2=0. 點評：考慮根號裏面的數是一個完全平方數，千萬注意方根的性質的運用。 例3 已知 ，n∈正整數集，求(x+1+x2)n的值。 活動：學生思考，觀察題目的特點，從整體上看，應先化簡，然後再求值，要有預見性， 與 具有對稱性，它們的積是常數1，為我們解題提供了思路，教師引導學生考慮問題的思路，必要時給予提示。 = 。 這時應看到1+x2= ， 這樣先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可。 解：將 代入1+x2，得1+x2= ， 所以(x+1+x2)n= = = =5. 點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關鍵，要深刻理解這種做法。 知能訓練 課本習題2.1A組 3. 利用投影儀投射下列補充練習： 1、化簡： 的結果是（ ） A. B. C. D. 解析：根據本題的特點，注意到它的整體性，特別是指數的規律性，我們可以進行適當的變形。 因為 ，所以原式的分子分母同乘以 。 依次類推，所以 。 答案：A 2、計算2790.5+0.1-2+ -3π0+9-0.5+490.5×2-4. 解：原式= =53+100+916-3+13+716=100. 3、計算a+2a-1+a-2a-1(a≥1)。 解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+|a-1-1|(a≥1)。 本題可以繼續向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習。 4、設a>0， ，則(x+1+x2)n的值為__________. 解析：1+x2= 。 這樣先算出1+x2，再算出1+x2， 將 代入1+x2，得1+x2= 。 所以(x+1+x2)n= = =a. 答案：a 拓展提升 參照我們説明無理數指數冪的意義的過程，請你説明無理數指數冪 的意義。 活動：教師引導學生回顧無理數指數冪 的意義的過程，利用計算器計算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據這些近似值計算 的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出” 的意義，學生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結果。 解：3=1.732 050 80…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表。 3的過剩近似值 的過剩近似值 3的不足近似值 的不足近似值 1.8 3.482 202 253 1.7 3.249 009 585 1.74 3.340 351 678 1.73 3.317 278 183 1.733 3.324 183 446 1.731 3.319 578 342 1.732 1 3.322 110 36 1.731 9 3.321 649 849 1.732 06 3.322 018 252 1.732 04 3.321 972 2 1.732 051 3.321 997 529 1.732 049 3.321 992 923 1.732 050 9 3.321 997 298 1.732 050 7 3.321 996 838 1.732 050 81 3.321 997 091 1.732 050 79 3.321 997 045 … … … … 我們把用2作底數，3的不足近似值作指數的各個冪排成從小到大的一列數 21.7,21.72,21.731,21.731 9，…， 同樣把用2作底數，3的過剩近似值作指數的各個冪排成從大到小的一列數： 21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，不難看出3的過剩近似值和不足近似值相同的位數越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數的冪2α會越來越趨近於同一個數，我們把這個數記為 ， 即21.7<21.73<21.731<21.731 9<…< <…<21.732 1<21.733<21.74<21.8. 也就是説 是一個實數， =3.321 997 …也可以這樣解釋： 當3的過剩近似值從大於3的方向逼近3時，23的近似值從大於 的方向逼近； 當3的不足近似值從小於3的方向逼近3時，23的近似值從小於 的方向逼近。 所以 就是一串有理指數冪21.7,21.73,21.731,21.731 9，…，和另一串有理指數冪21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述規律變化的結果，即 ≈3.321 997. 課堂小結 （1）無理指數冪的意義。 一般地，無理數指數冪aα（a>0，α是無理數） 是一個確定的實數。 （2）實數指數冪的運算性質： 對任意的實數r，s，均有下面的運算性質： ①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。 ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。 ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。 （3）逼近的思想，體會無限接近的含義。 作業 課本習題2.1 B組 2. 設計感想 無理數指數是指數概念的又一次擴充， 教學中要讓學生通過多媒體的演示，理解無理數指數冪的意義，教學中也可以讓學生自己通過實際情況去探索，自己得出結論，加深對概念的理解，本堂課內容較為抽象，又不能進行推理，只能通過多媒體的教學手段，讓學生體會，特別是逼近的思想、類比的思想，多作練習，提高學生理解問題、分析問題的能力。 備課資料 【備用習題】 1、以下各式中成立且結果為最簡根式的是（ ） A.a?5a3a?10a7=10a4 B.3xy2(xy)2=y?3x2 C.a2bb3aab3=8a7b15 D.(35-125)3=5+125125-235?125 答案：B 2、對於a>0，r，s∈Q，以下運算中正確的是（ ） B.(ar)s=ars =ar?bs =(ab)r+s 答案：B 3、式子x-2x-1=x-2x-1成立當且僅當（ ） A.x-2x-1≥0 B.x≠1 C.x<1 D.x≥2 解析：方法一： 要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-1>0，x-2≥0，即x≥2. 若x≥2，則式子x-2x-1=x-2x-1成立。 故選D. 方法二： 對A，式子x-2x-1≥0連式子成立也保證不了，尤其x-2≤0，x-1<0時式子不成立。 對B，x-1<0時式子不成立。 對C，x<1時x-1無意義。 對D正確。 答案：D 4、化簡b-(2b-1)(1 解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1 5、計算32+5+32-5. 解：令x=32+5+32-5， 兩邊立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0. ∵x2+x+4=x+122+154>0，∴x-1=0，即x=1. ∴32+5+32-5=1. 兩角差的餘弦公式 【使用説明】 1、複習教材P124-P127頁，40分鐘時間完成預習學案 2、有餘力的學生可在完成探究案中的部分內容。 【學習目標】 知識與技能：理解兩角差的餘弦公式的推導過程及其結構特徵並能靈活運用。 過程與方法：應用已學知識和方法思考問題，分析問題，解決問題的能力。 情感態度價值觀： 通過公式推導引導學生髮現數學規律，培養學生的創新意識和學習數學的興趣。 。【重點】通過探索得到兩角差的餘弦公式以及公式的靈活運用 【難點】兩角差餘弦公式的推導過程 預習自學案 一、知識鏈接 1、寫出 的三角函數線 ： 2、向量 ， 的數量積， ①定義： ②座標運算法則： 3、， ，那麼 是否等於 呢？ 下面我們就探討兩角差的餘弦公式 二、教材導讀 1、、兩角差的餘弦公式的推導思路 如圖，建立單位圓O （1）利用單位圓上的三角函數線 設 則 又OM=OB+BM =OB+CP =OA_____ +AP_____ = 從而得到兩角差的餘弦公式： ____________________________________ （2）利用兩點間距離公式 如圖，角 的終邊與單位圓交於A( ) 角 的終邊與單位圓交於B( ) 角 的終邊與單位圓交於P( ) 點T( ) AB與PT關係如何？ 從而得到兩角差的餘弦公式： ____________________________________ （3） 利用平面向量的知識 用 表示向量 ， =（ ， ） =（ ， ） 則 。 = 設 與 的夾角為 ①當 時: = 從而得出 ②當 時顯然此時 已經不是向量 的夾角，在 範圍內，是向量夾角的補角。我們設夾角為 ，則 + = 此時 = 從而得出 2、兩角差的餘弦公式 ____________________________ 三、預習檢測 1、利用餘弦公式計算 的值。 2、怎樣求 的值 你的疑惑是什麼？ ________________________________________________________ ______________________________________________________ 探究案 例1. 利用差角餘弦公式求 的值。 例2.已知 ， 是第三象限角，求 的值。 訓練案 一、基礎訓練題 1、 2、 3、 二、綜合題 教學目標 1、明確等差數列的定義。 2、掌握等差數列的通項公式，會解決知道中的三個，求另外一個的問題 3、培養學生觀察、歸納能力。 教學重點 1、等差數列的概念； 2、等差數列的通項公式 教學難點 等差數列“等差”特點的理解、把握和應用 教具準備 投影片1張 教學過程 (I)複習回顧 師：上兩節課我們共同學習了數列的定義及給出數列的兩種方法通項公式和遞推公式。這兩個公式從不同的角度反映數列的特點，下面看一些例子。（放投影片） (Ⅱ)講授新課 師：看這些數列有什麼共同的特點？ 1，2，3，4，5，6; ① 10，8，6，4，2，…； ② 生：積極思考，找上述數列共同特點。 對於數列①(1≤n≤6)；(2≤n≤6) 對於數列②-2n(n≥1)(n≥2) 對於數列③(n≥1)(n≥2) 共同特點：從第2項起，第一項與它的前一項的差都等於同一個常數。 師：也就是説，這些數列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點。具有這種特點的數列，我們把它叫做等差數。 一、定義： 等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與空的前一項的差等於同一個常數，那麼這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示。 如：上述3個數列都是等差數列，它們的公差依次是1，-2， 。 二、等差數列的通項公式 師：等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關係而得。若一等差數列的首項是，公差是d，則據其定義可得： 若將這n-1個等式相加，則可得： 即：即：即：…… 由此可得：師：看來，若已知一數列為等差數列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。 如數列①(1≤n≤6) 數列②：(n≥1) 數列③：(n≥1) 由上述關係還可得：即：則：=如：三、例題講解 例1：(1)求等差數列8，5，2…的第20項 (2)-401是不是等差數列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？ 解：(1)由n=20，得(2)由得數列通項公式為：由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是這個數列的第100項。 (Ⅲ)課堂練習 生：（口答）課本P118練習3 （書面練習）課本P117練習1 師：組織學生自評練習（同桌討論） (Ⅳ)課時小結 師：本節主要內容為：①等差數列定義。 即(n≥2) ②等差數列通項公式 (n≥1) 推導出公式： (V)課後作業 一、課本P118習題3.2 1，2 二、1.預習內容：課本P116例2P117例4 2、預習提綱： ①如何應用等差數列的定義及通項公式解決一些相關問題？ ②等差數列有哪些性質？ 教學準備 教學目標 掌握等差數列與等比數列的概念，通項公式與前n項和公式，等差中項與等比中項的概念，並能運用這些知識解決一些基本問題。 教學重難點 掌握等差數列與等比數列的概念，通項公式與前n項和公式，等差中項與等比中項的概念，並能運用這些知識解決一些基本問題。 教學過程 等比數列性質請同學們類比得出。 【方法規律】 1、通項公式與前n項和公式聯繫着五個基本量，“知三求二”是一類最基本的運算題。方程觀點是解決這類問題的基本數學思想和方法。 2、判斷一個數列是等差數列或等比數列，常用的方法使用定義。特別地，在判斷三個實數 a,b,c成等差（比)數列時，常用(注：若為等比數列，則a,b,c均不為0） 3、在求等差數列前n項和的最大(小)值時，常用函數的思想和方法加以解決。 【示範舉例】 例1： （1）設等差數列的前n項和為30，前2n項和為100，則前3n項和為。 （2）一個等比數列的前三項之和為26，前六項之和為728，則a1=，q=。 例2：四數中前三個數成等比數列，後三個數成等差數列，首末兩項之和為21，中間兩項之和為18，求此四個數。 例3：項數為奇數的等差數列，奇數項之和為44，偶數項之和為33，求該數列的中間項。數學教案 篇二
高中數學教案模板 篇三
高中數學教案 篇四
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