對集合的一點新認識

對集合一點新認識<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

【摘要】：  空集（Ø）是一類特殊集合，在集合研究中處於基礎地位。本文運用邏輯演繹方法，從理論上通過對空集的重新認識闡述，敍述了空集的現行概念、與非空集（Ø）關係及悖論性；初步定義“嵌套集”的相關概念及推廣。

【關鍵詞】：   空集；悖論性；嵌套性；循環節

一、對空集（Ø）的認識

1．空集（Ø）的現有定義

不含任何元素的集合稱為空集，記作Ø。

2.空集（Ø）與非空集（Ø）之間的關係

現行教材的規定：

空集（Ø）是一切集合的子集；空集（Ø）是一切非空集（Ø）的真子集。

空集（Ø）與非空集（Ø）之間定義了2種關係，即“子集”，“ 真子集”關係；或Ø C Ø    Ø C Ø

  3．悖論性，“空集的二重性”

若給定空集（Ø）與集合A={1，2，Ø}，那麼存在如下命題：

（I） Ø ∈A ，理由：集合的定義；

（II）Ø C A 或Ø C  A，理由：空集的性質（規定）。

前者反映集合與元素之間關係的唯一性；要麼屬於，要麼不屬於；後者反映集合與集合之間關係的明確性，定義出“包含”、“不包含”、“真包含”等意義。

由此説明空集（Ø）的二元性：在同一條件下，既是集合又是元素，從而説明集合、元素概念的矛盾性（並不完備）。

二、對非空集（Ø）的認識

給定2個集合A={1，2}，B={1，2，A}。試確定二者之間的關係。顯然，從集合與元素之間的關係出發，有A ∈ B；若從集合與集合之間的關係考慮，A與B之間滿足“真包含”關係，即B C A。前者肯定了集合與元素之間的關係，後者肯定了集合與集合之間的關係。那麼在同一條件下集A與集B究竟應該明確如何關係呢？目前中學教材尚無定論。當問題出現時，老師和學生就不好把握。

三、“屬於”“ ∈  ”，“子集”“ C ”，“真子集”“ C  ”在同一條件下的地位分析

    [例證]：給定集合A、B，

A={1，2}

B={1，2，A}

從現有的教材我們可以看出，集合與元素之間的從屬關係在前，集合與集合之間的（真）子集關係在後。這2種關係是相對獨立的。

討論：

1O.如果肯定了A  ∈  B,那麼就否定了A與B的子集關係；

2O.如果肯定了A C B,則否定了A ∈ B，也就是不能肯定A與B的從屬關係，進而否定了集合的定義。

分析：

由於集合與元素之間的從屬關係在前，是鋪墊、是基石，因而先要作出肯定。為了避開或解決它們之間的矛盾，排除以子集為元素的情況。我們規定A C B<=>任意a ∈ A,則a ∈ B, 且A <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> B，這樣就明確了A與B資集關係的唯一性。

四、嵌套集

定義集合A={1,2,B},B=A.則A為嵌套集。其中｛1，2｝為嵌套集的循環節。

例證推演：

設集合A=｛1，2，B｝,且B=A；則集A可作如下的推演，

A={1,2,B}={1,2,{1,2,B}}={1,2{1,2{1,2,B}}}=……

這裏集A中存在嵌套元素B。

[特例]

考察數列｛an｝, an= (有n 個“ ”)，求an→?(n→ ).

解法一：利用代數方程求解

令A= ，A=an 則有A=B(n→ )。注意，這裏A=B是隱含條件；

對A= 變形得A2=2B，利用A=B，求出A=2.

解法二：利用等比數列性質公式求值

an= 2[ ]，等比數列｛an｝的首項和公比都是1/2，無窮項之和S=1，因此an→2  (n→ ) .於是得到 =2.

從以上兩種證法比較看出，利用代數方程求解（嵌套分離）方法較為簡單。

像這種循環根式如上例 化簡都可以通過循環節來建立代數方程求解。

思 考：

根式化簡

T1:  （提示：由A2=a•A得到A=a ）

T2: （提示：由A4=22•3•B得到A= ）

T3: （提示：由A6=23•3•B得到A=  ）

求解循環根式重要的是找出循環節；如T1式,循環節 ；T2式, 循環節 ；T3式,循環節 。然後建立代數方程求解。

作者：老**職業技術學校 陳中林