弦切角定理證明方法

第一篇：弦切角定理證明方法

弦切角定理證明方法

(1)連oc、oa，則有oc⊥cd於點c。得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。進而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a與ab重合，即ab為⊙o的直徑。

(2)連接bc，且作ce⊥ab於點e。立即可得△abc為rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一題重新證明如下：

首先證明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

連接oa、oc、bc，則有

∠acd+∠aco=90°

=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)

=(1/2)(2∠aco+∠aoc)

=∠aco+(1/2)∠aoc,

所以∠acd=(1/2)∠aoc，

而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圓周角等於圓心角的一半)，

得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，

所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，進而ab為⊙o的直徑。

2

證明一：設圓心為o，連接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb(定理：弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半)

∵∠boc=2∠cab(圓心角等於圓周角的兩倍)

∴∠tcb=∠cab(定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓周角)

證明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切線，a為切點，弧是弦切角∠bac所夾的弧.

求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心o在∠bac的一邊ac上

∵ac為直徑，ab切⊙o於a，

∴弧cma=弧ca

∵為半圓,

∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角(2)圓心o在∠bac的內部.

過a作直徑ad交⊙o於d,

若在優弧m所對的劣弧上有一點e

那麼，連接ec、ed、ea

則有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o於d

那麼∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

應用舉例

例1：如圖，在rt△abc中，∠c=90，以ab為弦的⊙o與ac相切於點a，∠cba=60°,ab=a求bc長.

解：連結oa，ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等於斜邊的一半)

例2：如圖，ad是δabc中∠bac的平分線，經過點a的⊙o與bc切於點d，與ab，ac分別相交於e，f.

求證：ef∥bc.

證明：連df.

ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc於d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3：如圖，δabc內接於⊙o，ab是⊙o直徑，cd⊥ab於d，mn切⊙o於c，

求證：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

證明：∵ab是⊙o直徑

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b，

∵mn切⊙o於c

∴∠mca=∠b，

∴∠mca=∠acd，

即ac平分∠mcd，

同理：bc平分∠ncd.

第二篇：弦切角的逆定理的證明

弦切角逆定理證明

已知角cae=角abc，求證ae是圓o的切線

證明：連接ao並延長交圓o於d，連接cd，

則角adc=角abc=角cae

而ad是直徑，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae

所以角dae=角dac+角cae=90度

故ae為切線

第三篇：弦切角定理證明

弦切角定理證明

弦切角定理

編輯本段弦切角定義

頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）

如右圖所示，直線pt切圓o於點c，bc、ac為圓o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都為弦切角。

編輯本段弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓心角的度數的一半.弦切角定理證明：

證明一：設圓心為o，連接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半）

∵∠boc=2∠cab(圓心角等於圓周角的兩倍)

∴∠tcb=∠cab（定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓周角）

證明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切線，a為切點，弧是弦切角∠bac所夾的弧.

求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心o在∠bac的一邊ac上

∵ac為直徑，ab切⊙o於a，

∴弧cma=弧ca

∵為半圓,

∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角(2)圓心o在∠bac的內部.

過a作直徑ad交⊙o於d,

若在優弧m所對的劣弧上有一點e

那麼，連接ec、ed、ea

則有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o於d

那麼∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

應用舉例

例1：如圖，在rt△abc中，∠c=90，以ab為弦的⊙o與ac相切於點a，∠cba=60°,ab=a求bc長.

解：連結oa，ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等於斜邊的一半)

例2：如圖，ad是δabc中∠bac的平分線，經過點a的⊙o與bc切於點d，與ab，ac分別相交於e，f.

求證：ef∥bc.

證明：連df.

ad是∠bac的平分線∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc於d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3：如圖，δabc內接於⊙o，ab是⊙o直徑，cd⊥ab於d，mn切⊙o於c，

求證：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

證明：∵ab是⊙o直徑

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b，

∵mn切⊙o於c

∴∠mca=∠b，

∴∠mca=∠acd，

即ac平分∠mcd，

同理：bc平分∠ncd.

第四篇：弦切角定理的證明

弦切角定理的證明

弦切角定理：定義弦切角定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓心角的度數的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角)弦切角定理證明

證明：設圓心為o，連接oc，ob，oa。過點a作tp的平行線交bc於d，

則∠tcb=∠cda

∵∠tcb=90-∠ocd

∵∠boc=180-2∠o(轉載需註明來源)cd

∴,∠boc=2∠tcb

證明：分三種情況：

(1)圓心o在∠bac的一邊ac上

∵ac為直徑，ab切⊙o於a，

∴弧cma=弧ca

∵為半圓,

(2)圓心o在∠bac的內部.

過a作直徑ad交⊙o於d,

那麼

.

(3)圓心o在∠bac的外部,

過a作直徑ad交⊙o於d

那麼

2

連接並延長to交圓o於點d，連接bd因為td為切線，所以td垂直tc，所以角btc+角dtb=90因為td為直徑，所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a

3

編輯本段弦切角定義頂點在圓上，一邊和圓相交，另圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）如右圖所示，直線pt切圓o於點c，bc、ac為圓o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都為弦切角。編輯本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓心角的度數的一半.弦切角定理證明：證明一：設圓心為o，連接oc，ob,。∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半）∵∠boc=2∠cab(圓心角等於圓周角的兩倍)∴∠tcb=∠cab（定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓周角）證明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切線，a為切點，弧是弦切角∠bac所夾的弧.求證：(弦切角定理)證明：分三種情況：(1)圓心o在∠bac的一邊ac上∵ac為直徑，ab切⊙o於a，∴弧cma=弧ca∵為半圓,∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角b點應在a點左側(2)圓心o在∠bac的內部.過a作直徑ad交⊙o於d,若在優弧m所對的劣弧上有一點e那麼，連接ec、ed、ea則有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圓心o在∠bac的外部,過a作直徑ad交⊙o於d那麼∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)編輯本段弦切角推論推論內容若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等應用舉例例1：如圖，在rt△abc中，∠c=90，以ab為弦的⊙o與ac相切於點a，∠cba=60°,ab=a求bc長.解：連結oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所對邊等於斜邊的一半)例2：如圖，ad是δabc中∠bac的平分線，經過點a的⊙o與bc切於點d，與ab，ac分別相交於e，f.求證：ef∥bc.證明：連是∠bac的平分線∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc於d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如圖，δabc內接於⊙o，ab是⊙o直徑，cd⊥ab於d，mn切⊙o於c，求證：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.證明：∵ab是⊙o直徑∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o於c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.

第五篇：弦切角定理

高二數學（文）選修4-1編寫：楊社鋒編號：07-08

教研組長：賈敏 教研室主任：田土娟校審：王宏奇

弦切角定理

學習目標：理解弦切角定理的推導過程，掌握切線長定理、弦切角定理的內容及其推論 學習重點：切線長定理及弦切角定理

學習難點：切線長定理、弦切角定理及其推論的應用

一、基礎知識回顧:

1切線的判定定理及性質：

2.切線長定理

切線長：我們把圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長

以上結論叫做切線長定理：_______________________________________________________ ____________________________________________________

注意：切線長與切線的區別：

______________________________________________________

______________________________________________________

________________________

(1)寫出圖中所有的垂直關係:

(2)寫出圖中所有的全等三角形:

(3)寫出圖中所有的相似三角形:

(4)寫出圖中所有的等腰三角形：

2弦切角定理及其推論

圓周角∠cab，讓射線ac繞點a旋轉，產生無數個圓周角，當ac繞點a旋轉至與圓相切時，停止旋轉，得∠bae

問：這時∠bae還是圓周角嗎？為

什麼？

像∠bae這樣的角叫做弦切角，請你仿照圓周角的定義，給出弦切角的定義：______________ __________________________________________________________________________________ 問題： 以下各圖中的角哪個是弦切角？

思考：(1)弦切角的三要素是什麼？

(2)弦切角相對於圓心的位置，分為哪幾類？請在右上方畫出圖。

問題:已知如圖，ab是⊙o的一條切線，a為切點，ac是⊙o的一條弦，則∠adc與∠bac有什麼關係?請給出證明。（提示：類比圓周角定理的證明方法）

結論：弦切角定理：________________________________________________________ 問題：若兩個弦切角所夾的弧相等，，那麼這兩個弦切角相等嗎？為什麼？

結論：弦切角定理的推論：___________________________________________________ 三質疑互探

例5已知如圖?1??2，ef切圓與點d。求證：

ef // bc

例6 已知：如圖pa ，pb分別與圓o相切於點a和點b，ac是圓o的直徑。求證：

?apb?2?bac

四、當堂檢測

1. 如圖，pa、pb是⊙o的切線，切點分別是a、b，直線ef也是⊙o的切線，切點為q，交pa、

pb為e、f點，已知pa?12cm，求△pef的周長.

2. 如圖，ad是δabc中∠bac的平分線，經過點a的⊙o與bc切於點d，與ab，ac分別相交

於e，f. 求證：ef∥bc.

3.已知：如圖，p為⊙o外一點，pa，pb為⊙o的切線，a和b是切點，bc是直徑．求證：ac∥op．

課時作業

1.在△abc中，ab=5cm bc=7cm ac=8cm, ⊙o與bc、ac、 ab分別相切於 d、 e 、f，則 af=_____, bd=_______ 、cf=________

2.已知pa、pb切⊙o於a、pa=4，則⊙o的半徑為。

3.已知⊙o的半徑為3，點p到圓心o的距離為23，則過點p的兩條切線的夾角為度，切線長為。

是⊙o的弦，p是bc延長線上一點，pa與⊙o相切於點a，∠abc=25°，∠acb=80，則∠p的度數為_______．

★5.已知⊙o1和⊙o2外切於點b，pb是兩圓公切線，pa、pb分別與⊙o1、⊙o2相切於a、c，如果ap=2x-3,pc=x+3，則x=。

6.已知：△abc內接於⊙o，∠abc=25°，∠acb= 75°，過a點作⊙o的切線交bc的延長線於p，則∠apb等於()a．62.5°b．55°c．50°d．40°． 7.已知：如圖 7－149，pa，pb切⊙o於a，b兩點，ac為直徑，則圖中與∠pab相等的角的個

數為()a．1 個；b．2個；c．4個；d．5個． 8.已知如圖7－150，四邊形abcd為圓內接四邊形，ab是直徑，mn切⊙o於c點，∠bcm=38°，那麼∠abc的度數是（）a．38°；b．52°；c．68°；d．42°． 9.已知：如圖6，四邊形abcd的邊ab、bc、cd、da和⊙o分別相切於點l、m、n、p.

想一想： ab+cd與ad+bc之間有什麼關係？説明你結論的正確性。

b，∠apb=60o，

da

o l

c m b

10.如圖，ab是⊙o的弦，cd是經過⊙o上的點m的切線.求證： ⑴ 如果ab//cd，那麼am=mb； ⑵ 如果am=bm，那麼ab//cd.

★11.如下圖，△abc的∠bac的平分線交外接圓於d，交圓的切線be於e． 求證：（1)．∠ebd=∠dbc；（2）．ab·be=ae·dc．