《圓的一般方程》教學設計

引

入

1. 圓心為C(a，b)，半徑為r(r＞0)的圓的標準方程是什麼？

2. 回答下列問題

（1）以原點為圓心，半徑為3的圓的方程是 ；

（2）圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的圓心座標是 ，半徑是．

3. 直線方程有多種形式，圓的方程是否還有其他的形式？

師：上節課我們學習了圓的標準方程，請同學們回顧一下，圓心座標為(a，b)，半徑為r的圓的方程是什麼？

學生回答教師提出的問題．

學生口答，教師點評．

教師類比直線方程提出問題．

回顧上節所學內容，為學習新知做好準備．

新

課

新

課

新

課

探究一

（1）請將圓心在(a，b)半徑為r的圓的標準方程展開；

（2）展開後得到的方程有幾個未知數？最高次是幾次？這個方程是幾元幾次方程？

（3）如果令－2a＝D，－2b＝E，a2＋b2－r2＝F，這個方程是什麼形式？

（4）任意一個圓的方程都可表示為

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

的形式嗎？

探究二

（1）請舉出幾個形式為

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

的方程；

（2）你所舉出的方程一定表示圓嗎？

下述方程表示的是圓嗎？

x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0，

x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，

x2＋y2＋2x＋2y＝0．

探究三

滿足怎樣的條件時，方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0①

表示圓？

將方程配方，得

(x＋2(D))2＋(y＋2(E))2＝4(D2＋E2－4F)． ②

（1）當D2＋E2－4F>0時，方程①表示以(－2(D)，－2(E))為圓心，且半徑為2(1)的圓；

（2）當D2＋E2－4F＝0時，方程①表示點(－2(D)，－2(E))；

（3）當D2＋E2－4F<0時，方程①

不表示任何圖形．

圓的一般方程

當D2＋E2－4F>0時，方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

叫做圓的一般方程．

練習一

求出下列圓的圓心及半徑：

（1）x2＋y2－6x＝0；

（2）x2＋y2－4x－6y＋12＝0.

例1求過點O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圓的方程，並求出這個圓的半徑和圓心座標．

解：設所求圓的方程為

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

其中D，E，F待定．

由題意得

4D＋2E＋F＋20＝0(D＋E＋F＋2＝0)

解得

D＝－8，E＝6，F＝0．

於是所求圓的方程為

x2＋y2－8x＋6y＝0．

將這個方程配方，得

(x－4)2＋(y＋3)2＝25．

所以所求圓的圓心座標是(4，－3)，半徑為5．

練習二

求經過三點(0，0)，(3，2)，(－4，0)的圓的方程．

例2已知一曲線是與兩個定點O(0，0)，A(3，0) 距離比為2(1)的點軌跡，求這個曲線的方程．

解 在給定的座標系中，設M(x，y)是曲線上的任意一點，點M在曲線上的充要條件是

|AM|(|OM|)＝2(1)．

由兩點間的距離公式，上式可用座標表示為

＝2(1)，

兩邊平方並化簡，得曲線方程

x2＋y2＋2x－3＝0．

將方程配方，得

(x＋1)2＋y2＝4.

所以所求曲線是以C(－1，0)為圓心，半徑為2的圓．

練習三

求與兩定點A(－1，2)，B(3，2)的距離比為的點的軌跡方程．

學生解決教師提出的問題，教師點評．

師：在方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋ F＝0中D，E，F是常數嗎？為什麼？

學生回答教師提出的問題．

學生思考教師提出的問題．

師：將方程x2＋y2＋2x＋2y＋ 8＝0配方，你能得到怎樣的方程？

學生根據教師提示分組解答，配方後方程分別為

(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，

(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，

(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．

學生猜想．

教師強調配方法的應用，引導學生解答．

師：將方程②同圓的標準方程比較，如果方程②表示圓，必須滿足怎樣的條件？

此時圓的圓心座標是多少？圓的半徑呢？

學生回答，教師點評．

師：由以上探究可知，只有當D2＋E2－4F>0時，方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

才表示一個圓．

師：圓的標準方程指明瞭圓的圓心和半徑，圓的一般方程表明了圓的方程形式是二元二次方程．

學生練習，教師巡視時應當引導學生用配方法求解．

師：確定一個圓的標準方程需要知道哪幾個值？要確定圓的一般方程呢？

學生回答．

師：先設所求方程為

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

師：根據圓經過三個點，這三個點的座標應滿足方程，所以我們會得到一個三元一次方程組．

教師引導學生解方程組．

師：求出D，E，F的值，所求圓的方程也就確定了．

師：像這種求圓的一般方程的方法叫待定係數法．

師：類似前面的討論，我們可以用配方法表示出圓的標準方程，然後寫出圓心座標及半徑．

學生練習，教師巡視．

師：請同學們回顧一下推導圓的標準方程時的過程．

學生看書回顧，教師指明推導標準方程的主要步驟．

師：設動點，寫出動點M滿足的條件．

師：用點的座標表示M滿足的幾何條件．

師：化簡方程．

教師演示所得圖形曲線．

學生練習，教師巡視．

使學生初步瞭解圓的一般方程的形式．

強調方程中D，E，F是常數．

加深對圓的一般方程形式的認識．

學生通過舉例驗證引出問題（2）．

讓學生主動猜想．

強調配方法在解決二次問題中的應用．

類比圓的標準方程，探究方程二元二次方程表示圓的條件．

強調圓的標準方程和一般方程的特點．

讓學生了解待定系法求圓的方程的一般步驟．

類比推導圓的標準方程的步驟，讓學生初步感悟求曲線方程的一般步驟和方法．

強化訓練．

小

結

1．圓的一般方程是

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

其中D2＋E2－4F>0．

2．待定係數法求圓的一般方程．

學生在教師的引導下回顧本節主要內容．

簡潔明瞭概括本節課的重要知識，學生易於理解記憶．

作

業

學生標記作業．

針對學生實際，對課後書面作業實施分層設置．