1、數列概念
①數列是一種特殊的函數。其特殊性主要表現在其定義域和值域上。數列可以看作一個定義域為正整數集Nx或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函數的觀點認識數列是重要的思想方法，一般情況下函數有三種表示方法，數列也不例外，通常也有三種表示方法：a、列表法；b、圖像法；c、解析法。其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。
③函數不一定有解析式，同樣數列也並非都有通項公式。
等差數列
1、等差數列通項公式
an=a1+(n—1)d
n=1時a1=S1
n≥2時an=Sn—Sn—1
an=kn+b（k，b為常數）推導過程：an=dn+a1—d令d=k，a1—d=b則得到an=kn+b
2、等差中項
由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項(arithmeticmean)。
有關係：A=(a+b)÷2
3、前n項和
倒序相加法推導前n項和公式：
Sn=a1+a2+a3+·····+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n—1)d]①
Sn=an+an—1+an—2+······+a1
=an+(an—d)+(an—2d)+······+[an—(n—1)d]②
由①+②得2Sn=（a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個）=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2
等差數列的前n項和等於首末兩項的和與項數乘積的一半：
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n—1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1—d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n—an=[sn—n(n—1)d÷2]÷n
an=2sn÷n—a1
有趣的是S2n—1=(2n—1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
4、等差數列性質
一、任意兩項am，an的關係為：
an=am+(n—m)d
它可以看作等差數列廣義的通項公式。
二、從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：
a1+an=a2+an—1=a3+an—2=…=ak+an—k+1，k∈Nx
三、若m，n，p，q∈Nx，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq
四、對任意的k∈Nx，有
Sk，S2k—Sk，S3k—S2k，…，Snk—S(n—1)k…成等差數列。
等比數列
1、等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那麼G叫做a與b的等比中項。
有關係：
注：兩個非零同號的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以G2=ab是a，G，b三數成等比數列的必要不充分條件。
2、等比數列通項公式
an=a1xq’(n—1)（其中首項是a1，公比是q）
an=Sn—S(n—1)(n≥2)
前n項和
當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=a1(1—q’n)/(1—q)=(a1—a1xq’n)/(1—q)(q≠1)
當q=1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=na1
3、等比數列前n項和與通項的關係
an=a1=s1(n=1)
an=sn—s(n—1)(n≥2)
4、等比數列性質
（1）若m、n、p、q∈Nx，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq;
（2）在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列。
（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：a1·an=a2·an—1=a3·an—2=…=ak·an—k+1，k∈{1，2，…，n}
（4）等比中項：q、r、p成等比數列，則aq·ap=ar2，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n—1=(an)2n—1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底指數冪後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們説：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
（5）等比數列前n項之和Sn=a1(1—q’n)/(1—q)
（6）任意兩項am，an的關係為an=am·q’(n—m)
（7）在等比數列中，首項a1與公比q都不為零。
注意：上述公式中a’n表示a的n次方。
數學三角形斜邊計算公式
斜邊是指直角三角形中最長的那條邊，也指不是構成直角的那條邊。在勾股定理中，斜邊稱作“弦”。
三角形斜邊長等於根號下兩直角邊的平方和，即斜邊c=√(a^2+b^2)
解答過程如下：
（1）在直角三角形中滿足勾股定理—在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。數學表達式：a2+b2=c2
(2)a2+b2=c2求c，因為c是一條邊，所以就是求大於0的一個根。即c=√(a2+b2)。
在幾何中，斜邊是直角三角形的最長邊，與直角相對。直角三角形的斜邊的長度可以使用畢達哥拉斯定理找到，該定理表示斜邊長度的平方等於另外兩邊長度的平方和。例如，如果其中一方的長度為3（平方，9），另一方的長度為4（平方，16），那麼它們的正方形加起來為25。斜邊的長度為平方根25，即5。
(一)解三角形：
1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，，則有
(為的外接圓的半徑)
2、正弦定理的變形公式：①，，;
②，，;③;
3、三角形面積公式：.
4、餘弦定理：在中，有，推論：
(二)數列：
1.數列的有關概念：
(1)數列：按照一定次序排列的一列數。數列是有序的。數列是定義在自然數N_它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函數。
(2)通項公式：數列的第n項an與n之間的函數關係用一個公式來表示，這個公式即是該數列的通項公式。如：。
(3)遞推公式：已知數列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與他的前一項an-1(或前幾項)可以用一個公式來表示，這個公式即是該數列的遞推公式。
如：。
2.數列的表示方法：
(1)列舉法：如1，3，5，7，9，…(2)圖象法：用(n,an)孤立點表示。
(3)解析法：用通項公式表示。(4)遞推法：用遞推公式表示。
3.數列的分類：
4.數列{an}及前n項和之間的關係：
一、基礎知識
（1）常用邏輯用語：四種命題（原、逆、否、逆否）及其相互關係；充分條件與必要條件；簡單的邏輯聯結詞（或、且、非）；全稱量詞與存在性量詞，全稱命題與特稱命題的否定。
（2）圓錐曲線：曲線與方程；求軌跡的常用步驟；橢圓的定義及其標準方程、橢圓的簡單幾何性質（注意離心率與形狀的關係）；雙曲線的定義及其標準方程、雙曲線的簡單幾何性質（注意雙曲線的漸近線）、等軸雙曲線與共軛雙曲線；拋物線的定義及其標準方程；拋物線的簡單幾何性質；直線與圓錐曲線的常用公式（弦長公式、兩根差公式）。
圓錐曲線的幾何性質的常用拓展還有：焦半徑公式、橢圓與雙曲線的焦準定義、橢圓與雙曲線的“垂徑定理”、焦點三角形面積公式、圓錐曲線的光學性質等等。
（3）空間向量與立體幾何：空間向量的概念、表示與運算（加法、減法、數乘、數量積）；空間向量基本定理、空間向量運算的座標表示；平面的法向量、用空間向量計算空間的角與距離的方法。
二、重難點與易錯點
重難點與易錯點部分配合必考題型使用，做完必考題型後會對重難點與易錯部分部分有更深入的理解。
（1）區分逆命題與命題的否定；
（2）理解充分條件與必要條件；
（3）橢圓、雙曲線與拋物線的定義；
（4）橢圓與雙曲線的幾何性質，特別是離心率問題；
（5）直線與圓錐曲線的位置關係問題；
（6）直線與圓錐曲線中的弦長與面積問題；
（7）直線與圓錐曲線問題中的參數求解與性質證明；
（8）軌跡與軌跡求法；
（9）運用空間向量求空間中的角度與距離；
（10）立體幾何中的動態問題探究。
數列
1、數列的定義及數列的通項公式：
① an?f(n)，數列是定義域為N
的函數f(n)，當n依次取1，2，??時的一列函數值② i。歸納法
若S0?0，則an不分段；若S0?0，則an分段iii。若an?1?pan?q，則可設an?1?m?p(an?m)解得m，得等比數列？an?m?
?Sn?f(an)
iv。若Sn?f(an)，先求a
1?得到關於an?1和an的遞推關係式
S?f(a)n?1?n?1?Sn?2an?1
例如：Sn?2an?1先求a1，再構造方程組：?(下減上)an?1?2an?1?2an
?Sn?1?2an?1?1
2、等差數列：
①定義：a
n?1?an=d(常數)，證明數列是等差數列的重要工具。 ②通項d?0時，an為關於n的一次函數；
d>0時，an為單調遞增數列；d<0時，a
n為單調遞減數列。
n(n?1)2
③前n?na1?
d，
d?0時，Sn是關於n的不含常數項的一元二次函數，反之也成立。
④性質：ii。若？an?為等差數列，則am，am?k，am?2k，…仍為等差數列。 iii。若？an?為等差數列，則Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，…仍為等差數列。 iv若A為a，b的等差中項，則有A?3。等比數列：
①定義：
an?1an
?q(常數)，是證明數列是等比數列的重要工具。
a?b2
②通項時為常數列)。
③。前n項和
需特別注意，公比為字母時要討論。
(1)定義：
對於函數y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的實數x叫做函數y=f(x)(x∈D)的零點。
(2)函數的零點與相應方程的根、函數的圖象與x軸交點間的關係：
方程f(x)=0有實數根？函數y=f(x)的圖象與x軸有交點？函數y=f(x)有零點。
(3)函數零點的判定(零點存在性定理)：
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有f(a)·f(b)<0，那麼，函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根。
二二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關係
三二分法
對於在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。
1、函數的零點不是點：
函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數根，也就是函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫座標，所以函數的零點是一個數，而不是一個點。在寫函數零點時，所寫的一定是一個數字，而不是一個座標。
2、對函數零點存在的判斷中，必須強調：
(1)、f(x)在[a，b]上連續；
(2)、f(a)·f(b)<0;
(3)、在(a，b)內存在零點。
這是零點存在的一個充分條件，但不必要。
3、對於定義域內連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號。
利用函數零點的存在性定理判斷零點所在的區間時，首先看函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續不斷，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y=f(x)在區間(a，b)內必有零點。
判斷函數零點個數的常用方法
1、解方程法：
令f(x)=0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點。
2、零點存在性定理法：
利用定理不僅要判斷函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、週期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點。
3、數形結合法：
轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題。先畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的個數，就是函數零點的個數。
已知函數有零點(方程有根)求參數取值常用的方法
1、直接法：
直接根據題設條件構建關於參數的不等式，再通過解不等式確定參數範圍。
2、分離參數法：
先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決。
3、數形結合法：
先對解析式變形，在同一平面直角座標系中，畫出函數的圖象，然後數形結合求解。
1、函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數。記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域。
注意：如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式。
定義域補充
能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：
（1）分式的分母不等於零；
（2）偶次方根的被開方數不小於零；
（3）對數式的真數必須大於零；
（4）指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
（5）如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的。那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合。
（6）指數為零底不可以等於零
2、構成函數的三要素：定義域、對應關係和值域
再注意：
（1）構成函數三個要素是定義域、對應關係和值域。由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）
（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致（兩點必須同時具備）
值域補充
（1）、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函數的值域都應先考慮其定義域。(2)。應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解複雜函數值域的基礎。(3)。求函數值域的常用方法有：直接法、反函數法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調性法等。
3、函數圖象知識歸納
（1）定義：在平面直角座標系中，以函數y=f(x)，(x∈A)中的x為橫座標，函數值y為縱座標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x)，(x∈A)的圖象。
C上每一點的座標(x，y)均滿足函數關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在C上。即記為C={P(x,y)|y=f(x)，x∈A}
圖象C一般的是一條光滑的連續曲線（或直線），也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成。
（2）畫法
A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為座標在座標系內描出相應的點P(x,y)，最後用平滑的曲線將這些點連接起來。
B、圖象變換法（請參考必修4三角函數）
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
（3）作用：
1、直觀的看出函數的性質；2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發現解題中的錯誤。
4、快去了解區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；(2)無窮區間；(3)區間的數軸表示。
5、什麼叫做映射
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”
給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
説明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關係一般是不同的；③對於映射f：A→B來説，則應滿足：（Ⅰ)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
常用的函數表示法及各自的優點：
函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據；解析法：必須註明函數的定義域；圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特徵；列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特徵。
注意啊：解析法：便於算出函數值。列表法：便於查出函數值。圖象法：便於量出函數值
補充一：分段函數（參見課本P24-25）
在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的範圍裏求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式並用一個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變量的取值情況。(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；(2)分段函數的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集。
1、“包含”關係—子集
注意：A?B有兩種可能(1)A是B的一部分；(2)A與B是同一集合。
反之:集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A?/B或B?/A
2、“相等”關係：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設A={x|x2
-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A≠B那就説集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）
③如果A?B,B?C,那麼A?C
④如果A?B同時B?A那麼A=B
3、不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
二·一般我們把不含任何元素的集合叫做空集。
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