考點一:求導公式。
例1.f(_)是f(_)13_2_1的導函數,則f(1)的值是3
考點二:導數的幾何意義。
例2.已知函數yf(_)的圖象在點M(1,f(1))處的切線方程是y
1_2,則f(1)f(1)2
,3)處的切線方程是例3.曲線y_32_24_2在點(1
點評:以上兩小題均是對導數的幾何意義的考查。
考點三:導數的幾何意義的應用。
例4.已知曲線C:y_33_22_,直線l:yk_,且直線l與曲線C相切於點_0,y0_00,求直線l的方程及切點座標。
點評:本小題考查導數幾何意義的應用。解決此類問題時應注意“切點既在曲線上又在切線上”這個條件的應用。函數在某點可導是相應曲線上過該點存在切線的充分條件,而不是必要條件。
考點四:函數的單調性。
例5.已知f_a_3__1在R上是減函數,求a的取值範圍。32
點評:本題考查導數在函數單調性中的應用。對於高次函數單調性問題,要有求導意識。
考點五:函數的極值。
例6.設函數f(_)2_33a_23b_8c在_1及_2時取得極值。
(1)求a、b的值;
(2)若對於任意的_[0,3],都有f(_)c2成立,求c的取值範圍。
點評:本題考查利用導數求函數的極值。求可導函數f_的極值步驟:
①求導數f'_;
②求f'_0的根;③將f'_0的根在數軸上標出,得出單調區間,由f'_在各區間上取值的正負可確定並求出函數f_的極值。
考點六:函數的最值。
例7.已知a為實數,f__24_a。求導數f'_;(2)若f'10,求f_在區間2,2上的值和最小值。
點評:本題考查可導函數最值的求法。求可導函數f_在區間a,b上的最值,要先求出函數f_在區間a,b上的極值,然後與fa和fb進行比較,從而得出函數的最小值。
考點七:導數的綜合性問題。
例8.設函數f(_)a_3b_c(a0)為奇函數,其圖象在點(1,f(1))處的切線與直線_6y70垂直,導函數
(1)求a,b,c的值;f'(_)的最小值為12。
(2)求函數f(_)的單調遞增區間,並求函數f(_)在[1,3]上的值和最小值。
點評:本題考查函數的奇偶性、單調性、二次函數的最值、導數的應用等基礎知識,以及推理能力和運算能力。
圖形變換:
函數圖像變換:(重點)要求掌握常見基本函數的圖像,掌握函數圖像變換的一般規律。
常見圖像變化規律:(注意平移變化能夠用向量的語言解釋,和按向量平移聯繫起來思考)
平移變換y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意:
(ⅰ)有係數,要先提取係數。如:把函數y=f(2x)經過平移得到函數y=f(2x+4)的圖象。
(ⅱ)會結合向量的平移,理解按照向量(m,n)平移的意義。
對稱變換y=f(x)→y=f(-x),關於y軸對稱
y=f(x)→y=-f(x),關於x軸對稱
y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留,x軸下方的圖象關於x軸對稱
y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留,然後將y軸右邊部分關於y軸對稱。(注意:它是一個偶函數)
伸縮變換:y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數的圖象變換。
一個重要結論:若f(a-x)=f(a+x),則函數y=f(x)的圖像關於直線x=a對稱;
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中R表示三角形的外接圓半徑
餘弦定理b2=a2+c2-2accosB注:角B是邊a和邊c的夾角
圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2注:(a,b)是圓心座標
圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注:D2+E2-4F>0
拋物線標準方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直稜柱側面積S=c*h斜稜柱側面積S=c'*h
正稜錐側面積S=1/2c*h'正稜台側面積S=1/2(c+c')h'
圓台側面積S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2
圓柱側面積S=c*h=2pi*h圓錐側面積S=1/2*c*l=pi*r*l
弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數r>0扇形面積公式s=1/2*l*r
錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi*r2h
斜稜柱體積V=S'L注:其中,S'是直截面面積,L是側稜長
柱體體積公式V=s*h圓柱體V=p*r2h
乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b
|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a
根與係數的關係X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注:韋達定理
判別式:
b2-4ac=0注:方程有兩個相等的實根
b2-4ac>0注:方程有兩個不等的實根
b2-4ac<0注:方程沒有實根,有共軛複數根
數列
1、數列的定義及數列的通項公式:
①。 anf(n),數列是定義域為N
的函數f(n),當n依次取1,2,時的一列函數值 ② i.歸納法
若S00,則an不分段;若S00,則an分段iii. 若an1panq,則可設an1mp(anm)解得m,得等比數列anm
Snf(an)
iv. 若Snf(an),先求a
1得到關於an1和an的遞推關係式
Sf(a)n1n1Sn2an1
例如:Sn2an1先求a1,再構造方程組:(下減上)an12an12an
Sn12an11
2、等差數列:
① 定義:a
n1an=d(常數),證明數列是等差數列的重要工具。 ② 通項d0時,an為關於n的一次函數;
d>0時,an為單調遞增數列;d<0時,a
n為單調遞減數列。
n(n1)2
③ 前nna1
d,
d0時,Sn是關於n的不含常數項的一元二次函數,反之也成立。
④ 性質: ii. 若an為等差數列,則am,amk,am2k,…仍為等差數列。 iii. 若an為等差數列,則Sn,S2nSn,S3nS2n,…仍為等差數列。 iv 若A為a,b的等差中項,則有A3.等比數列:
① 定義:
an1an
q(常數),是證明數列是等比數列的重要工具。
ab2
。
② 通項時為常數列)。
③。前n項和
需特別注意,公比為字母時要討論。
等比數列求和公式
(1)等比數列:a(n+1)/an=q(n∈N)。
(2)通項 ua 公式:an=a1×q^(n-1);推廣式:an=am×q^(n-m);
(3)求和公式:Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)(q為公比,n為項數)
(4)性質:
①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,則am×an=ap×aq;
②在等比數列中,依次每k項之和仍成等比數列。
③若m、n、q∈N,且m+n=2q,則am×an=aq^2
(5)“G是a、b的等比中項”“G^2=ab(G≠0)”.
(6)在等比數列中,首項a1與公比q都不為零。注意:上述公式中an表示等比數列的第n項。
等比數列求和公式推導:Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)(1-q)Sn=a1-a1*q^nSn=(a1-a1*q^n)/(1-q)Sn=(a1-an*q)/(1-q)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。
已知函數有零點(方程有根)求參數取值常用的方法
1、直接法:
直接根據題設條件構建關於參數的不等式,再通過解不等式確定參數範圍。
2、分離參數法:
先將參數分離,轉化成求函數值域問題加以解決。
3、數形結合法:
先對解析式變形,在同一平面直角座標系中,畫出函數的圖象,然後數形結合求解。