教學目標
1、知識與技能：體會公式的發現和推導過程，瞭解公式的幾何背景，理解公式的本質，會應用公式進行簡單的計算。
2、過程與方法：通過讓學生經歷探索完全平方公式的過程，培養學生觀察、發現、歸納、概括、猜想等探究創新能力，發展推理能力和有條理的表達能力。培養學生的數形結合能力。
3、情感態度價值觀：體驗數學活動充滿着探索性和創造性，並在數學活動中獲得成功的體驗與喜悦，樹立學習自信心。
教學重難點
教學重點：
1、對公式的理解，包括它的推導過程、結構特點、語言表述(學生自己的語言)、幾何解釋。
2、會運用公式進行簡單的計算。
教學難點：
1、完全平方公式的推導及其幾何解釋。
2、完全平方公式的結構特點及其應用。
教學工具
課件
教學過程
一、複習舊知、引入新知
問題1：請説出平方差公式，説説它的結構特點。
問題2：平方差公式是如何推導出來的？
問題3：平方差公式可用來解決什麼問題，舉例説明。
問題4：想一想、做一做，説出下列各式的結果。
(1)(a+b)2 (2)(a-b)2
(此時，教師可讓學生分別説説理由，並且不直接給出正確評價，還要繼續激發學生的學習興趣。)
二、創設問題情境、探究新知
一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b米，形成四塊實驗田，以種植不同的新品種。(如圖)
(1)四塊面積分別為：
(2)兩種形式表示實驗田的總面積：
①整體看：邊長為的大正方形，S=;
②部分看：四塊面積的和，S=.
總結：通過以上探索你發現了什麼？
問題1：通過以上探索學習，同學們應該知道我們提出的問題4正確的結果是什麼了吧？
問題2：如果還有同學不認同這個結果，我們再看下面的問題，繼續探索。(a+b)2表示的意義是什麼？請你用多項式的乘法法則加以驗證。
(教學過程中教師要有意識地提到猜想、感覺得到的不一定正確，只有再通過驗證才能得出真知，但還是要鼓勵學生大膽猜想，發表見解，但要驗證)
問題3：你能説説(a+b)2=a2+2ab+b2
這個等式的結構特點嗎？用自己的語言敍述。
(結構特點：右邊是二項式(兩數和)的平方，右邊有三項，是兩數的平方和加上這兩數乘積的二倍)
問題4：你能根據以上等式的結構特點説出(a-b)2等於什麼嗎？請你再用多項式的乘法法則加以驗證。
總結：我們把(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=a2–2ab+b2稱為完全平方公式。
問題：①這兩個公式有何相同點與不同點？②你能用自己的語言敍述這兩個公式嗎？
語言描述：兩數和(或差)的平方等於這兩數的平方和加上(或減去)這兩數積的2倍。
強化記憶：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加來差是減。
三、例題講解，鞏固新知
例1：利用完全平方公式計算
(1)(2x-3)2 (2)(4x+5y)2 (3)(mn-a)2
解：(2x-3)2=(2x)2-2o(2x)o3+32
=4x2-12x+9
(4x+5y)2=(4x)2+2o(4x)o(5y)+(5y)2
=16x2+40xy+25y2
(mn-a)2=(mn)2-2o(mn)oa+a2
=m2n2-2mna+a2
交流總結：運用完全平方公式計算的一般步驟
(1)確定首、尾，分別平方；
(2)確定中間係數與符號，得到結果。
四、練習鞏固
練習1：利用完全平方公式計算
練習2：利用完全平方公式計算
練習3：
(練習可採用多種形式，學生上黑板板演，師生共同評價。也可學生獨立完成後，學生互相批改，力求使學生對公式完全掌握，如有學生出現問題，學生、教師應及時幫助。)
五、變式練習
六、暢談收穫，歸納總結
1、本節課我們學習了乘法的完全平方公式。
2、我們在運用公式時，要注意以下幾點：
(1)公式中的字母a、b可以是任意代數式；
(2)公式的結果有三項，不要漏項和寫錯符號；
(3)可能出現①②這樣的錯誤。也不要與平方差公式混在一起。
七、作業設置
總體説明：
完全平方公式則是對多項式乘法中出現的較為特殊的算式的一種歸納、總結。同時，完全平方公式的推導是國中數學中運用推理方法進行代數式恆等變形的開端，通過完全平方公式的學習對簡化某些整式的運算、培養學生的求簡意識有較大好處。而且完全平方公式是後繼學習的必備基礎，不僅對學生提高運算速度、準確率有較大作用，更是以後學習分解因式、分式運算、解一元二次方程以及二次函數的恆等變形的重要基礎，同時也具有培養學生逐漸養成嚴密的邏輯推理能力的作用。因此學好完全平方公式對於代數知識的後繼學習具有相當重要的意義。
本節是北師大版七年級數學下冊第一章《整式的運算》的第8小節，佔兩個課時，這是第一課時，它主要讓學生經歷探索與推導完全平方公式的過程，培養學生的符號感與推理能力，讓學生進一步體會數形結合的思想在數學中的作用。
一、學生學情分析
學生的技能基礎：學生通過對本章前幾節課的學習，已經學習了整式的概念、整式的加減、冪的運算、整式的乘法、平方差公式，這些基礎知識的學習為本節課的學習奠定了基礎。
學生活動經驗基礎：在平方差公式一節的學習中，學生已經經歷了探索和應用的過程，獲得了一些數學活動的經驗，培養了一定的符號感和推理能力；同時在相關知識的學習過程中，學生經歷了很多探究學習的過程，具有了一定的獨立探究意識以及與同伴合作交流的能力。
二、教學目標
知識與技能：
(1)讓學生會推導完全平方公式，並能進行簡單的應用。
(2)瞭解完全平方公式的幾何背景。
數學能力：
(1)由學生經歷探索完全平方公式的過程，進一步發展學生的符號感與推理能力。
(2)發展學生的數形結合的數學思想。
情感與態度：
將學生頭腦中的前概念暴露出來進行分析，避免形成教學上的“相異構想”。
三、教學重難點
教學重點：1、完全平方公式的推導；
2、完全平方公式的應用；
教學難點：1、消除學生頭腦中的前概念，避免形成“相異構想”;
2、完全平方公式結構的認知及正確應用。
四、教學設計分析
本節課設計了十一個教學環節：學生練習、暴露問題——驗證——推廣到一般情況，形成公式——數形結合——進一步拓廣——總結口訣——公式應用——學生反饋——學生PK——學生反思——鞏固練習。
第一環節：學生練習、暴露問題
活動內容：計算：(a+2)2
設想學生的做法有以下幾種可能：
①(a+2)2=a2+22
②(a+2)2=a2+2a+22
③正確做法；
針對這幾種結果都將a=1代入計算，得出①②都是錯誤的，但③的做法是否一定正確呢？怎麼驗證？
活動目的：在很多學生的頭腦中，認為兩數和的完全平方與兩數的平方和等同，即：
(a+2)2=a2+22，如果不將這種定式思維*，就很難建立起一個正確的概念；這一環節的目的就是讓學生的這種錯誤或其它錯誤充分暴露出來，並讓學生充分認識到自己原有的定式思維是錯誤的，為下一步構建新的思維模式埋下伏筆。
第二環節：驗證(a+2)2=a2–4a+22
活動內容：(a+2)2=(a+2)•(a+2)=a2+2a+2a+22
活動目的：在前一環節已經打破了學生的原有的思維定式的基礎上，給學生建立正確的思維方法，避免形成“相異構想”。
第三環節：推廣到一般情況，形成公式
活動內容：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
活動目的：讓學生經歷從特殊到一般的探究過程，體驗到發現的快樂。
第四環節：數形結合
活動內容：設問：在多項式的乘法中，很多公式都都可以用幾何圖形進行解釋，那麼完全平方公式怎樣用幾何圖形解釋呢？
展示動畫，用幾何圖形詮釋完全平方公式的幾何意義。
學生思考：還有沒有其它的方法來詮釋完全平方公式？(課後思考)
活動目的：讓學生進一步認識到數與形都不是孤立存在的，數與形是可以有機地結合在一起，從而發展學生的數形結合的數學思想。
第五環節：進一步拓廣
活動內容：推導兩數差的完全平方公式：(a–b)2=a2–2ab+b2
方法1：(a–b)2=(a–b)(a–b)=a2–ab–ab+b2=a2–2ab+b2
方法2：(a–b)2=[a+(–b)]2=a2+2a(–b)+(–b)2=a2–2ab+b2
活動目的：讓學生經歷由兩數和的完全平方公式拓廣到兩數差的完全平方公式的過程，體會到符號差異帶來的結果差異，由第二種推導方法體會到兩數差的完全平方公式是兩數和的完全平方公式的應用。
第六環節：總結口訣、認識特徵
活動內容：比較兩個公式的共同點與不同點：(a+b)2=a2+2ab+b2
(a–b)2=a2–2ab+b2
特徵：①左邊都是一個二項式的完全平方，兩者僅有一個符號不同；右邊都是二次三項式，其中第一、三項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的兩倍，兩者也僅一個符號不同；
②公式中的a、b可以是任意一個代數式(數、字母、單項式、多項式)
口訣：首平方，尾平方，首尾相乘的兩倍在中央。
活動目的：認識完全平方公式的特徵，總結出完全平方公式的口訣，便於學生理解與記憶，避免學生在應用該公式中出現錯誤。
第七環節：公式應用
活動內容：例：計算：①(2x–3)2; ②(4x+)2
解：①(2x–3)2=(2x)2–2•(2x)•3+32=4x2–12x+9
②(4x+)2=(4x)2+2•••••(4x)()+()2=16x2+2xy+
活動目的：在前幾個環節中，學生對完全平方公式已經有了感性認識，通過本環節的講解以及下一環節的練習，使學生逐步經歷認識——模仿——再認識。從而上升到理性認識的階段。
第八環節：隨堂練習
活動內容：計算：①;②;③(n+1)2–n2
活動目的：通過學生的反饋練習，使教師能全面瞭解學生對完全平方公式的理解是否到位，完全平方公式的應用是否得當，以便教師能及時地進行查缺補漏。
第九環節：學生PK
活動內容：每個學生各出五道完全平方公式的計算題給自己的同桌解答，比一比誰的準確性率高，速度快。
活動目的：活躍課堂氣氛，激起學生的好勝心，進一步鞏固學生對完全平方公式的理解與應用。
第十環節：學生反思
活動內容：通過今天這堂課的學習，你有哪些收穫？
收穫1：認識了完全平方公式，並能簡單應用；
收穫2：瞭解了兩數和與兩數差的完全平方公式之間的差異；
收穫3：感受到數形結合的數學思想在數學中的作用。
活動目的：通過對一堂課的歸納與總結，鞏固學生對完全平方公式的認識，體會數學思想的精妙。
第十一環節：佈置作業：
課本P43習題1.13
課題名稱：完全平方公式(1)
一、內容簡介
本節課的主題：通過一系列的探究活動，引導學生從計算結果中總結出完全平方公式的兩種形式。
關鍵信息：
1、以教材作為出發點，依據《數學課程標準》，引導學生體會、參與科學探究過程。首先提出等號左邊的兩個相乘的多項式和等號右邊得出的三項有什麼關係。通過學生自主、獨立的發現問題，對可能的答案做出假設與猜想，並通過多次的檢驗，得出正確的結論。學生通過收集和處理信息、表達與交流等活動，獲得知識、技能、方法、態度特別是創新精神和實踐能力等方面的發展。
2、用標準的數學語言得出結論，使學生感受科學的嚴謹，啟迪學習態度和方法。
二、學習者分析：
1、在學習本課之前應具備的基本知識和技能：
①同類項的定義。
②合併同類項法則
③多項式乘以多項式法則。
2、學習者對即將學習的內容已經具備的水平：
在學習完全平方公式之前，學生已經能夠整理出公式的右邊形式。這節課的目的就是讓學生從等號的左邊形式和右邊形式之間的關係，總結出公式的應用方法。
三、教學/學習目標及其對應的課程標準：
(一)教學目標：
1、經歷探索完全平方公式的過程，進一步發展符號感和推力能力。
2、會推導完全平方公式，並能運用公式進行簡單的計算。
(二)知識與技能：經歷從具體情境中抽象出符號的過程，認識有理
數、實數、代數式、防城、不等式、函數；掌握必要的運算，(包括估算)技能；探索具體問題中的數量關係和變化規律，並能運用代數式、防城、不等式、函數等進行描述。
(四)解決問題：能結合具體情景發現並提出數學問題；嘗試從不同
角度尋求解決問題的方法，並能有效地解決問題，嘗試評價不同方法之間的差異；通過對解決問題過程的反思，獲得解決問題的經驗。
(五)情感與態度：敢於面對數學活動中的困難，並有獨立克服困難
和運用知識解決問題的成功體驗，有學好數學的自信心；並尊重與理解他人的見解；能從交流中獲益。
四、教育理念和教學方式：
1、教師是學生學習的組織者、促進者、合作者：學生是學習的主人，在教師指導下主動的、富有個性的學習，用自己的身體去親自經歷，用自己的心靈去親自感悟。
教學是師生交往、積極互動、共同發展的過程。當學生迷路的時
候，教師不輕易告訴方向，而是引導他怎樣去辨明方向；當學生登山畏懼了的時候，教師不是拖着他走，而是喚起他內在的精神動力，鼓勵他不斷向上攀登。
2、採用“問題情景—探究交流—得出結論—強化訓練”的模式
展開教學。
3、教學評價方式：
(1)通過課堂觀察，關注學生在觀察、總結、訓練等活動中的主
動參與程度與合作交流意識，及時給與鼓勵、強化、指導和矯正。
(2)通過判斷和舉例，給學生更多機會，在自然放鬆的狀態下，
揭示思維過程和反饋知識與技能的掌握情況，使老師可以及時診斷學情，調查教學。
(3)通過課後訪談和作業分析，及時查漏補缺，確保達到預期的
教學效果。
五、教學媒體：多媒體六、教學和活動過程：
教學過程設計如下：
〈一〉、提出問題
[引入]同學們，前面我們學習了多項式乘多項式法則和合並同類項法則，通過運算下列四個小題，你能總結出結果與多項式中兩個單項式的關係嗎？
(2m+3n)2=_______________，(-2m-3n)2=______________，
(2m-3n)2=_______________，(-2m+3n)2=_______________。
〈二〉、分析問題
1、[學生回答]分組交流、討論
(2m+3n)2=4m2+12mn+9n2，(-2m-3n)2=4m2+12mn+9n2，
(2m-3n)2=4m2-12mn+9n2，(-2m+3n)2=4m2-12mn+9n2。
(1)原式的特點。
(2)結果的項數特點。
(3)三項係數的特點(特別是符號的特點)。
(4)三項與原多項式中兩個單項式的關係。
2、[學生回答]總結完全平方公式的語言描述：
兩數和的平方，等於它們平方的和，加上它們乘積的兩倍；
兩數差的平方，等於它們平方的和，減去它們乘積的兩倍。
3、[學生回答]完全平方公式的數學表達式：
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2.
〈三〉、運用公式，解決問題
1、口答：(搶答形式，活躍課堂氣氛，激發學生的學習積極性)
(m+n)2=____________,(m-n)2=_______________,
(-m+n)2=____________,(-m-n)2=______________,
(a+3)2=______________,(-c+5)2=______________,
(-7-a)2=______________,(0.5-a)2=______________.
2、判斷：
()①(a-2b)2=a2-2ab+b2
()②(2m+n)2=2m2+4mn+n2
()③(-n-3m)2=n2-6mn+9m2
()④(5a+0.2b)2=25a2+5ab+0.4b2
()⑤(5a-0.2b)2=5a2-5ab+0.04b2
()⑥(-a-2b)2=(a+2b)2
()⑦(2a-4b)2=(4a-2b)2
()⑧(-5m+n)2=(-n+5m)2
3、小試牛刀
①(x+y)2=______________; ②(-y-x)2=_______________;
③(2x+3)2=_____________; ④(3a-2)2=_______________;
⑤(2x+3y)2=____________; ⑥(4x-5y)2=______________;
⑦(0.5m+n)2=___________; ⑧(a-0.6b)2=_____________.
〈四〉、[學生小結]
你認為完全平方公式在應用過程中，需要注意那些問題？
(1)公式右邊共有3項。
(2)兩個平方項符號永遠為正。
(3)中間項的符號由等號左邊的兩項符號是否相同決定。
(4)中間項是等號左邊兩項乘積的2倍。
〈五〉、冒險島：
(1)(-3a+2b)2=________________________________
(2)(-7-2m)2=__________________________________
(3)(-0.5m+2n)2=_______________________________
(4)(3/5a-1/2b)2=________________________________
(5)(mn+3)2=__________________________________
(6)(a2b-0.2)2=_________________________________
(7)(2xy2-3x2y)2=_______________________________
(8)(2n3-3m3)2=________________________________
〈六〉、學生自我評價
[小結]通過本節課的學習，你有什麼收穫和感悟？
本節課，我們自己通過計算、分析結果，總結出了完全平方公式。在知識探索的過程中，同學們積極思考，大膽探索，團結協作共同取得了進步。
〈七〉[作業]P34隨堂練習P36習題
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