在平面直角座標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
1、函數概念
變量：在問題研究過程中，可能取不同數值的量叫做變量(variable)；
常量：在問題研究過程中，保持數值不變的量叫做常量(constant)（或常數）。
要點解析
1、一般來説，變量用字母表示，常量用具體的數表示，但也有例外，如圓的周長公式：c=2πr，周長c和半徑r是變量，2和圓周率π是常量，有些特定的量（常量）也用特定的字母表示（如π）；
2、量一般用數表示它的大小，因此要注意單位的統一，必要時要註明；
3、變量和常量是相對的，在不同研究過程中會相互轉化。
函數：在某個變化過程中有兩個變量，設為x和y，如果在變量x的允許取值範圍內，變量y隨着x的變化而變化，它們之間存在確定的依賴關係，那麼變量y叫做變量x的函數(function)，x叫做自變量(independent variable)。
要點解析
在中學數學學習過程中，“函數”概念會不斷深化，上海“二期”國中教材採用了“依賴説”較之“一期”國中教材的“對應説”降低了起點，更淺顯和通俗，理解這一概念要注意如下三點：
1、函數不是數，是指一個變化過程中兩個變量的依賴關係，兩個變量可用x、y來表示，也可以用其他字母來表示；
2、自變量x是有取值範圍的，這個取值範圍要根據具體問題確定，如圓的周長是圓的半徑的函數，而半徑只能大於零；
3、變量y是依賴變量x的變化而變化，而且這種“依賴關係”是確定的，所以變量y也叫因變量。
附“一期”教材“對應説”：在某個變化過程中有兩個變量x和y，如果對於x在某個允許取值範圍內的每一個確定的值，按照某一個對於法則，y都有唯一確定的值與它對應，那麼就説x是自變量，y是x的函數
（見“九年義務教育課本《數學》八年級第一學期”P50頁，上海教育出版社，1996年版）
函數解析式： 表達兩個變量之間依賴關係的數學式子稱為函數解析式或函數關係式。
定義域： 函數的自變量允許取值的範圍，叫做這個函數的定義域(domain)。
要點解析
1、自變量取值的範圍是指使函數有意義的自變量取值的全體。當一個函數以解析式表示時，如果對函數定義域未加説明，其定義域由解析式確定，當解析式是整式時，自變量的取值範圍是全體實數；當解析式是分式時，自變量的取值範圍是使分母不為零的實數；當解析式是偶次根式時，自變量的取值範圍是使被開方數為非負數的全體實數，解析式為奇次根式時，自變量可取全體實數；
2、當函數解析式表示實際問題時，自變量的取值必須使實際問題有意義；
3、自變量的取值範圍有無限的，也有有限的，還有是單獨一個（或幾個）數的。如，其自變量的取值範圍是x=4.
函數值： 如果變量y是自變量x的函數，那麼對於x在定義域內取定的一個值a，變量y的對應值叫做當x=a時的函數值(value of a function)。
要點解析
對於函數y=f(x)，y=f(a)表示當x=a時的函數值。
值域 函數的自變量取遍定義域中的所有值，對應的函數值的全體叫做這個函數的值域。
1、正比例函數及性質
一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例係數。
注：正比例函數一般形式 y=kx （k不為零） ① k不為零 ② x指數為1 ③ b取零
當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；
當k<0時，直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小。
（1） 解析式：y=kx(k是常數，k≠0)
（2） 必過點：(0，0)、(1，k)
（3） 走向：k>0時，圖像經過一、三象限；k<0時，圖像經過二、四象限
（4） 增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小
（5） 傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸
2、一次函數及性質
一般地，形如y=kx+b(k,b是常數，k≠0)，那麼y叫做x的一次函數。當b=0時，y=kx+b即y=kx，所以説正比例函數是一種特殊的一次函數。
注：一次函數一般形式 y=kx b （k不為零） ① k不為零 ②x指數為1 ③ b取任意實數
一次函數y=kx b的圖象是經過(0，b)和(-k/b，0)兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到。（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）
（1）解析式：y=kx b(k、b是常數，k0)
（2）必過點：(0，b)和(-k/b，0)
（3）走向：
k>0，圖象經過第一、三象限；k<0，圖象經過第二、四象限
b>0，圖象經過第一、二象限；b<0，圖象經過第三、四象限
（4）增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小。
（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近於y軸；|k|越小，圖象越接近於x軸。
（6）圖像的平移：
當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；
當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位。
國中數學一次函數知識點彙總
3、一次函數y=kx+b的圖象的畫法。
根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，並且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可。
一般情況下：是先選取它與兩座標軸的交點：(0，b)，(-k/b，0)。即橫座標或縱座標為0的點。
4、正比例函數與一次函數之間的關係
一次函數y=kx+b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得
到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）
5、正比例函數和一次函數及性質
6、用待定係數法確定函數解析式的一般步驟：
（1）根據已知條件寫出含有待定係數的函數關係式；
（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的座標代入上述函數關係式中得到以待定係數為未知數的方程；
（3）解方程得出未知係數的值；
（4）將求出的待定係數代回所求的函數關係式中得出所求函數的解析式。
換元法是數學中非常重要且廣泛使用的方法。我們通常將未知或變量稱為元素。所謂的替換方法是用新變量替換原始公式的一部分，或者在相對複雜的數學公式中修改原始公式，以簡化它並使問題易於解決。
在解決數學問題時，如果首先確定結果的慾望有一定的形式，其中包含一些未確定的係數，然後根據未確定係數方程組的設定條件，解決這些未確定的係數值或找到這些係數之間的關係未確定係數，從而解決數學問題，這種問題解決方法稱為未確定係數的方法。它是中學數學中常用的方法之一。
特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），即ax^2+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫座標即為方程的根。
1、二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點座標及對稱軸如下表：
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。
當h>0，k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h>0，k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0，k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0，k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點座標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。
2、拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點座標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。
3、拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大。若a<0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小。
4、拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點：
（1）圖象與y軸一定相交，交點座標為(0，c)；
（2）當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x，0)和B(x，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根。這兩點間的距離AB=|x-x|
當△=0。圖象與x軸只有一個交點；
當△<0。圖象與x軸沒有交點。當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0。
5、拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0（a<0)，則當x=-b/2a時，y最小（大）值=(4ac-b^2）/4a。
頂點的橫座標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱座標，是最值的取值。
6、用待定係數法求二次函數的解析式
（1）當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
（2）當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
（3）當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c屬於R，a≠0)根辨別，delta=b2-4ac，不僅用於確定根的性質，而且作為一種求解方法問題，代數變形，解方程(羣），解不等式，研究函數甚至幾何，三角運算具有非常廣泛的應用。
函數的三種表示方法
（1）列表法：具體地反映了函數與自變量的數值對應關係。
（2）圖象法：直觀地反映了函數隨自變量的變化而變化的規律。
（3）解析法：準確地反映了函數與自變量之間的數量關係。
平面幾何中的面積公式和與面積公式導出的面積計算相關的屬性定理不僅可以用於計算面積，而且還可以明平面幾何問題有時會得到兩倍的結果。使用面積關係來明或計算平面幾何問題稱為面積法，這是幾何中的常用方法。
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