三角函數誘導公式一:
任意角α與-α的三角函數值之間的關係:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
三角函數誘導公式二:
設α為任意角,π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
三角函數誘導公式三:
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關係:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
三角函數誘導公式四:
設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
三角函數誘導公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關係:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
三角函數誘導公式六:
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關係:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
注意:在做題時,將a看成鋭角來做會比較好做。
考點一:集合與簡易邏輯
集合部分一般以選擇題出現,屬容易題。重點考查集合間關係的理解和認識。近年的試題加強了對集合計算化簡能力的考查,並向無限集發展,考查抽象思維能力。在解決這些問題時,要注意利用幾何的直觀性,並注重集合表示方法的轉換與化簡。簡易邏輯考查有兩種形式:一是在選擇題和填空題中直接考查命題及其關係、邏輯聯結詞、“充要關係”、命題真偽的判斷、全稱命題和特稱命題的否定等,二是在解答題中深層次考查常用邏輯用語表達數學解題過程和邏輯推理。
考點二:函數與導數
函數是大學聯考的重點內容,以選擇題和填空題的為載體針對性考查函數的定義域與值域、函數的性質、函數與方程、基本初等函數(一次和二次函數、指數、對數、冪函數)的應用等,分值約為10分,解答題與導數交匯在一起考查函數的性質。導數部分一方面考查導數的運算與導數的幾何意義,另一方面考查導數的簡單應用,如求函數的單調區間、極值與最值等,通常以客觀題的形式出現,屬於容易題和中檔題,三是導數的綜合應用,主要是和函數、不等式、方程等聯繫在一起以解答題的形式出現,如一些不等式恆成立問題、參數的取值範圍問題、方程根的個數問題、不等式的證明等問題。
考點三:三角函數與平面向量
一般是2道小題,1道綜合解答題。小題一道考查平面向量有關概念及運算等,另一道對三角知識點的補充。大題中如果沒有涉及正弦定理、餘弦定理的應用,可能就是一道和解答題相互補充的三角函數的圖像、性質或三角恆等變換的題目,也可能是考查平面向量為主的試題,要注意數形結合思想在解題中的應用。向量重點考查平面向量數量積的概念及應用,向量與直線、圓錐曲線、數列、不等式、三角函數等結合,解決角度、垂直、共線等問題是“新熱點”題型。
考點四:數列與不等式
不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式組和簡單線性規劃問題、基本不等式的應用等,通常會在小題中設置1到2道題。對不等式的工具性穿插在數列、解析幾何、函數導數等解答題中進行考查。在選擇、填空題會考查等差或等比數列的概念、性質、通項公式、求和公式等的靈活應用,一道解答題大多凸顯以數列知識為工具,綜合運用函數、方程、不等式等解決問題的能力,它們都屬於中、高檔題目。
考點五:立體幾何與空間向量
一是考查空間幾何體的結構特徵、直觀圖與三視圖;二是考查空間點、線、面之間的位置關係;三是考查利用空間向量解決立體幾何問題:利用空間向量證明線面平行與垂直、求空間角等(文科不要求)。在大學聯考試卷中,一般有1~2個客觀題和一個解答題,多為中檔題。
考點六:解析幾何
一般有1~2個客觀題和1個解答題,其中客觀題主要考查直線斜率、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關係、圓錐曲線的定義應用、標準方程的求解、離心率的計算等,解答題則主要考查直線與橢圓、拋物線等的位置關係問題,經常與平面向量、函數與不等式交匯,考查一些存在性問題、證明問題、定點與定值、最值與範圍問題等。
考點七:算法複數推理與證明
大學聯考對算法的考查以選擇題或填空題的形式出現,或給解答題披層“外衣”。考查的熱點是流程圖的識別與算法語言的閲讀理解。算法與數列知識的網絡交匯命題是考查的《本站·》主流。複數考查的重點是複數的有關概念、複數的代數形式、運算及運算的幾何意義,一般是選擇題、填空題,難度不大。推理證明部分命題的方向主要會在函數、三角、數列、立體幾何、解析幾何等方面,單獨出題的可能性較小。對於理科,數學歸納法可能作為解答題的一小問。
鋭角三角函數定義
鋭角角A的正弦(sin),餘弦(cos)和正切(tan),餘切(cot)以及正割(sec),餘割(csc)都叫做角A的鋭角三角函數。
正弦(sin)等於對邊比斜邊;sinA=a/c
餘弦(cos)等於鄰邊比斜邊;cosA=b/c
正切(tan)等於對邊比鄰邊;tanA=a/b
餘切(cot)等於鄰邊比對邊;cotA=b/a
正割(sec)等於斜邊比鄰邊;secA=c/b
餘割(csc)等於斜邊比對邊。cscA=c/a
互餘角的三角函數間的關係
sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα。
平方關係:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
積的關係:
sinα=tanα?cosα
cosα=cotα?sinα
tanα=sinα?secα
cotα=cosα?cscα
secα=tanα?cscα
cscα=secα?cotα
倒數關係:
tanα?cotα=1
sinα?cscα=1
cosα?secα=1
兩角和與差的三角函數:
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
三角和的三角函數:
sin(α+β+γ)=sinα?cosβ?cosγ+cosα?sinβ?cosγ+cosα?cosβ?sinγ-sinα?sinβ?sinγ
cos(α+β+γ)=cosα?cosβ?cosγ-cosα?sinβ?sinγ-sinα?cosβ?sinγ-sinα?sinβ?cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα?tanβ?tanγ)/(1-tanα?tanβ-tanβ?tanγ-tanγ?tanα)
輔助角公式:
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B
倍角公式:
sin(2α)=2sinα?cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
三倍角公式:
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
半角公式:
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
降冪公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
萬能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
積化和差公式:
sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化積公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
推導公式:
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
其他:
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2πx2/n)+sin(α+2πx3/n)+……+sin[α+2πx(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2πx2/n)+cos(α+2πx3/n)+……+cos[α+2πx(n-1)/n]=0以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
函數名正弦餘弦正切餘切正割餘割
在平面直角座標系xOy中,從點O引出一條射線OP,設旋轉角為θ,設OP=r,P點的座標為(x,y)有
正弦函數sinθ=y/r
餘弦函數cosθ=x/r
正切函數tanθ=y/x
餘切函數cotθ=x/y
正割函數secθ=r/x
餘割函數cscθ=r/y
正弦(sin):角α的對邊比上斜邊
餘弦(cos):角α的鄰邊比上斜邊
正切(tan):角α的`對邊比上鄰邊
餘切(cot):角α的鄰邊比上對邊
正割(sec):角α的斜邊比上鄰邊
餘割(csc):角α的斜邊比上對邊
萬能公式
(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可
(4)對於任意非直角三角形,總有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
證:
A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得證
同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關係式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC
萬能公式為:
設tan(A/2)=t
sinA=2t/(1+t^2)(A≠2kπ+π,k∈Z)
tanA=2t/(1-t^2)(A≠2kπ+π,k∈Z)
cosA=(1-t^2)/(1+t^2)(A≠2kπ+π,且A≠kπ+(π/2)k∈Z)
就是説都可以用tan(A/2)來表示,當要求一串函數式最值的時候,就可以用萬能公式,推導成只含有一個變量的函數,最值就很好求了。
三角函數關係
倒數關係
tanα?cotα=1
sinα?cscα=1
cosα?secα=1
商的關係
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscαcα
平方關係
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
同角三角函數關係六角形記憶法
構造以“上弦、中切、下割;左正、右餘、中間1”的正六邊形為模型。
倒數關係
對角線上兩個函數互為倒數;
商數關係
六邊形任意一頂點上的函數值等於與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘積,下面4個也存在這種關係。)。由此,可得商數關係式。
平方關係
在帶有陰影線的三角形中,上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等於下面頂點上的三角函數值的平方。
兩角和差公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα?tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα?tanβ)
二倍角的正弦、餘弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)