空間與圖形
圖形的認識：
1、點，線，面
點，線，面：
①圖形是由點，線，面構成的。
②面與面相交得線，線與線相交得點。
③點動成線，線動成面，面動成體。
展開與摺疊：
①在稜柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做稜，側稜是相鄰兩個側面的交線，稜柱的所有側稜長相等，稜柱的上下底面的形狀相同，側面的形狀都是長方體。
②N稜柱就是底面圖形有N條邊的稜柱。
截一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面。
視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。
多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。
弧，扇形：
①由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。
②圓可以分割成若干個扇形。
角
線：
①線段有兩個端點。
②將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線只有一個端點。
③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點。
④經過兩點有且只有一條直線。
比較長短：
①兩點之間的所有連線中，線段最短。
②兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。
角的度量與表示：
①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點。
②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。
角的比較：
①角也可以看成是由一條射線繞着他的端點旋轉而成的。
②一條射線繞着他的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。始邊繼續旋轉，當他又和始邊重合時，所成的角叫做周角。
③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。
平行：
①同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。
②經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
③如果兩條直線都與第3條直線平行，那麼這兩條直線互相平行。
一。有理數的運算
1、加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。②異號相加，絕對值相等時和為0;絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。③一個數與0相加不變。
2、減法：減去一個數，等於加上這個數的相反數。
3、乘法：①兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。②任何數與0相乘得0。③乘積為1的兩個有理數互為倒數。
4、除法：①除以一個數等於乘以一個數的倒數。②0不能作除數。
5、乘方：求N個相同因數A的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪，A叫底數，N叫次數。
6、混合順序：先算乘法，再算乘除，最後算加減，有括號要先算括號裏的。
二。代數式
代數式：單獨一個數或者一個字母也是代數式。
合併同類項：①所含字母相同，並且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項。②把同類項合併成一項就叫做合併同類項。③在合併同類項時，我們把同類項的係數相加，字母和字母的指數不變。
三。整式
1、整式的定義：①數與字母的乘積的代數式叫單項式，幾個單項式的和叫多項式，單項式和多項式統稱整式。②一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數。③一個多項式中，次數最高的項的次數叫做這個多項式的次數。
2、整式的除法：①單項式相除，把係數，同底數冪分別相除後，作為商的因式；對於只在被除式裏含有的字母，則連同他的指數一起作為商的一個因式。②多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。
3、整式的乘法：①單項式與單項式相乘，把他們的係數，相同字母的冪分別相乘，其餘字母連同他的指數不變，作為積的因式。②單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。③多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
四。圓周角定理及其推論
1、圓周角
頂點在圓上，並且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
2、圓周角定理
一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。
推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。
推論3：如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
五。一些基本公式
三倍角的正弦、餘弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=[3tanα-tan^3（α)]/[1-3tan^2(α）]
六。二元一次方程組
1、二元一次方程
含有兩個未知數，並且未知項的最高次數是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數的值，叫做二元一次方程的一個解。
3、二元一次方程組
兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。一般形式：（不全為0）
4、二元一次方程組的解
使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。
5、二元一次方程組的解法
基本思想：“消元”
解法：(1)代入法(2)加減法(3)二元一次方程組一元一次方程組。
6、三元一次方程
把含有三個未知數，並且含有未知數的項的次數都是1的整式方程。
七。列方程(組)解應用題
注意：千萬不要死記硬背例題的類型及其解法，要具體問題具體分析，一般來講，應按下面的步驟進行：
1、審題：弄清題意和題目中的已知量、未知量，並能找出能夠表示應用問題的全部含義的等量關係。
2、設未知數：選擇一個或幾個適當的未知量，用字母表示，並根據題目的數量關係，用含未知數的代數式表示相關的未知量。
3、列方程（組)：根據等量關係列出方程(組）。
4、解方程(組)：其過程可以省略，但要注意技巧和方法。
5、檢驗：首先檢查所列方程(組)是否正確，然後檢驗所得方程的解是否符合題意。
6、寫答：不要忘記單位名稱。
7、分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程兩邊同乘以最簡公分母。
②特殊解法：換元法。
（2）驗根：由於在去分母過程中，當未知數的取值範圍擴大而有可能產生增根。因此，驗根是解分式方程必不可少的步驟，一般把整式方程的根的值代人最簡公分母，看結果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須捨去。
説明：解分式方程，一般先考慮換元法，再考慮去分母法。
八。相交線中的角
兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做臨補角。
臨補角互補，對頂角相等。
直線AB，CD與EF相交（或者説兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截），構成八個角。其中∠1與∠5這兩個角分別在AB，CD的上方，並且在EF的同側，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；【】∠3與∠5這兩個角都在AB，CD之間，並且在EF的異側，像這樣位置的兩個角叫做內錯角；∠3與∠6在直線AB，CD之間，並側在EF的同側，像這樣位置的兩個角叫做同旁內角。
九。線段的性質
1、線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單説成：兩點之間線段最短。
2、連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。
3、線段的中點到兩端點的距離相等。
4、線段的大小關係和它們的長度的大小關係是一致的。
5、線段垂直平分線的性質定理及逆定理
垂直於一條線段並且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。
線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。
逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
一、該記的記，該背的背，不要以為理解了就行
有的同學認為，數學不像英語、史地，要背單詞、背年代、背地名，數學靠的是智慧、技巧和推理。我説你只講對了一半。數學同樣也離不開記憶。試想一下，國小的加、減、乘、除運算要不是背熟了“乘法九九表”，你能順利地進行運算嗎？儘管你理解了乘法是相同加數的和的運算，但你在做9.9時用九個9去相加得出81就太不合算了。而用“九九八十一”得出就方便多了。同樣，是運用大家熟記的法則做出來的。同時，數學中還有大量的規定需要記憶，比如規定(a≠0)等等。因此，我覺得數學更像遊戲，它有許多遊戲規則（即數學中的定義、法則、公式、定理等），誰記住了這些遊戲規則，誰就能順利地做遊戲；誰違反了這些遊戲規則，誰就被判錯，罰下。因此，數學的定義、法則、公式、定理等一定要記熟，有些能背誦，朗朗上口。比如大家熟悉的“整式乘法三個公式”，我看在座的有的背得出，有的就背不出。在這裏，我向背不出的同學敲一敲警鐘，如果背不出這三個公式，將會對今後的學習造成很大的麻煩，因為今後的學習將會大量地用到這三個公式，特別是八年級即將學的因式分解，其中相當重要的三個因式分解公式就是由這三個乘法公式推出來的，二者是相反方向的變形。
對數學的定義、法則、公式、定理等，理解了的要記住，暫時不理解的也要記住，在記憶的基礎上、在應用它們解決問題時再加深理解。打一個比方，數學的定義、法則、公式、定理就像木匠手中的斧頭、鋸子、墨斗、刨子等，沒有這些工具，木匠是打不出傢俱的；有了這些工具，再加上嫻熟的手藝和智慧，就可以打出各式各樣精美的傢俱。同樣，記不住數學的定義、法則、公式、定理就很難解數學題。而記住了這些再配以一定的方法、技巧和敏捷的思維，就能在解數學題，甚至是解數學難題中得心應手。
二、幾個重要的數學思想
1、“方程”的思想
數學是研究事物的空間形式和數量關係的，國中最重要的數量關係是等量關係，其次是不等量關係。最常見的等量關係就是“方程”。比如等速運動中，路程、速度和時間三者之間就有一種等量關係，可以建立一個相關等式：速度。時間=路程，在這樣的等式中，一般會有已知量，也有未知量，像這樣含有未知量的等式就是“方程”，而通過方程裏的已知量求出未知量的過程就是解方程。我們在國小就已經接觸過簡易方程，而七年級則比較系統地學習解一元一次方程，並總結出解一元一次方程的五個步驟。如果學會並掌握了這五個步驟，任何一個一元一次方程都能順利地解出來。八年級、九年級我們還將學習解一元二次方程、二元二次方程組、簡單的三角方程；到了高中我們還將學習指數方程、對數方程、線性方程組、、參數方程、極座標方程等。解這些方程的思維幾乎一致，都是通過一定的方法將它們轉化成一元一次方程或一元二次方程的形式，然後用大家熟悉的解一元一次方程的五個步驟或者解一元二次方程的求根公式加以解決。物理中的能量守恆，化學中的化學平衡式，現實中的大量實際應用，都需要建立方程，通過解方程來求出結果。因此，同學們一定要將解一元一次方程和解一元二次方程學好，進而學好其它形式的方程。
所謂的“方程”思想就是對於數學問題，特別是現實當中碰到的未知量和已知量的錯綜複雜的關係，善於用“方程”的觀點去構建有關的方程，進而用解方程的方法去解決它。
1、概念：
把一個圖形繞着某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。
旋轉三要素：旋轉中心、旋轉方面、旋轉角
2、旋轉的性質：
（1）旋轉前後的兩個圖形是全等形；
（2）兩個對應點到旋轉中心的距離相等
（3）兩個對應點與旋轉中心的連線段的夾角等於旋轉角
3、中心對稱：
把一個圖形繞着某一個點旋轉180，如果它能夠與另一個圖形重合，那麼就説這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。
這兩個圖形中的對應點叫做關於中心的對稱點。
4、中心對稱的性質：
（1）關於中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分。
（2）關於中心對稱的兩個圖形是全等圖形。
5、中心對稱圖形：
把一個圖形繞着某一個點旋轉180，如果旋轉後的圖形能夠與原來的圖形重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。
6、座標系中的中心對稱
兩個點關於原點對稱時，它們的座標符號相反，即點P(x，y)關於原點O的對稱點P(-x，-y)。
三角形全等
全等的條件
1、兩個三角形對應的兩邊及其夾角相等，兩個三角形全等，簡稱“邊角邊”或“SAS”。
2、兩個三角形對應的兩角及其夾邊相等，兩個三角形全等，簡稱“角邊角”或“ASA”。
3、兩個三角形對應的兩角及其一角的對邊相等，兩個三角形全等，簡稱“角角邊”或“AAS”。
4、兩個三角形對應的三條邊相等，兩個三角形全等，簡稱“邊邊邊”或“SSS"。
5、兩個直角三角形對應的一條斜邊和一條直角邊相等，兩個直角三角形全等，簡稱“直角邊、斜邊”或“HL”。
注意，證明三角形全等沒有“SSA”或“邊邊角”的方法，即兩邊與其中一邊的對角相等無法證明這兩個三角形全等，但從意義上來説，直角三角形的“HL”證明等同“SSA”。
一、二次根式
1、二次根式：一般地，式子叫做二次根式。
注意：
（1）若這個條件不成立，則不是二次根式。
（2）是一個重要的非負數，即；≥0。
2、積的算術平方根：積的算術平方根等於積中各因式的算術平方根的積。
3、二次根式比較大小的方法：
（1）利用近似值比大小。
（2）把二次根式的係數移入二次根號內，然後比大小。
（3）分別平方，然後比大小。
4、商的算術平方根：商的算術平方根等於被除式的算術平方根除以除式的算術平方根。
5、二次根式的除法法則：
（1）分母有理化的方法是：分式的分子與分母同乘分母的有理化因式，使分母變為整式。
6、最簡二次根式：
（1）滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。
①被開方數的因數是整數，因式是整式。
②被開方數中不含能開的盡的因數或因式。
（2）最簡二次根式中，被開方數不能含有小數、分數，字母因式次數低於2，且不含分母。
（3）化簡二次根式時，往往需要把被開方數先分解因數或分解因式。
（4）二次根式計算的最後結果必須化為最簡二次根式。
7、同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式後，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。
8、二次根式的混合運算：
（1）二次根式的混合運算包括加、減、乘、除、乘方、開方六種代數運算，以前學過的，在有理數範圍內的一切公式和運算律在二次根式的混合運算中都適用。
（2）二次根式的運算一般要先把二次根式進行適當化簡，例如：化為同類二次根式才能合併；除法運算有時轉化為分母有理化或約分更為簡便；使用乘法公式等。
二、一元二次方程
1、一元二次方程的一般形式：a≠0時，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關問題時，多數習題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、b、c；其中a 、b，、c可能是具體數，也可能是含待定字母或特定式子的代數式。
2、一元二次方程的解法：一元二次方程的四種解法要求靈活運用，其中直接開平方法雖然簡單，但是適用範圍較小；公式法雖然適用範圍大，但計算較繁，易發生計算錯誤；因式分解法適用範圍較大，且計算簡便，是首選方法；配方法使用較少。
3、一元二次方程根的判別式：當ax2+bx+c=0（a≠0）時，Δ=b2—4ac叫一元二次方程根的判別式。請注意以下等價命題：
Δ>0 <=>有兩個不等的實根；Δ=0 <=>有兩個相等的實根；Δ<0 <=>無實根。
4、平均增長率問題——應用題的類型題之一（設增長率為x）：
（1）第一年為a，第二年為a（1+x），第三年為a（1+x）2。
（2）常利用以下相等關係列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=總和。
1、平方與平方根
2、面積與平方
（1）任意兩個正數的和的平方，等於這兩個數的平方和
（2）任意兩個正數的差的平方，等於這兩個數的平方和，再減去這兩個數乘積的2倍
任意兩個有理數的和（或差）的平方，等於這兩個數的平方和，再加上（或減去）這兩個數乘積的2倍
3、平方根
1正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數；
2零隻有一個平方根，它就是零本身；
3負數沒有平方根
4、實數
無限不循環小數叫做無理數
有理數和無理數統稱為實數
5、平方根的運算
6、算術平方根的性質
性質1一個非負數的算術平方根的平方等於這個數本身
性質2一個數的平方的算術平方根等於這個數的絕對值
7、算術平方根的乘、除運算
1)算術平方根的乘法
sqrt(a)sqrt(b)=sqrt(ab)(a>=0,b>=0)
2算)術平方根的除法
sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b)(a>=0,b>0)
通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去火把根號中的分母化去，叫做分母有理化
3)被開方數的每個因數的指數都小於2;(2)被開方數不含有字母我們把符合這兩個條件的平方根叫做最簡平方根
8‘算術平方根的加、減運算
如果幾個平方根化成最簡平方根以後，被開方數相同，那麼這幾個平方根就叫做同類平方根
9、一元二次方程及其解法
1)一元二次方程
只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的方程，叫做一元二次方程
2)特殊的一元二次方程的解法
3)一般的一元二次方程的解法——配方法
用配方法解一元二次方程的一般步驟是：
1、化二次項係數為1用二次項係數去除方程兩邊，將方程化為x^2+px+q=0的形式
2、移項把常數項移至方程右邊，將方程化為x^2+px=-q的形式
3、配方方程兩邊同時加上“一次項係數一半的平方”，是方程左邊成為含有未知數的完全平方形式，右邊是一個常數
4、有平方根的定義，可知
（1）當p^2/4-q>0時，原方程有兩個實數根；
（2）當p^2/4-q=0,原方程有兩個相等的實數根（二重根）；
（3）當p^2/4-q<0,原方程無實根
一、反比例函數
1、形如y=k/x（k≠0）或y=kx^—1的函數叫做反比例函數，k叫做反比例係數。它的圖像是雙曲線。^—1表示負一次。
2、在函數y=k/x（k≠0），當k>0時，表達式中的想x、y符號相同，點（x，y）在第一、三象限，所以函數y=k/x（k≠0）的圖像位於第一、三象限；當k<0時，表達式中的想x、y符號相反，點（x，y）在第二、四象限，所以函數y=k/x（k≠0）的圖像位於第二、四象限。
3、在y=k/x（k≠0）中，當k>0時，在第一象限內，y隨着x的增大而減小；若y的值隨着x的值的增大而增大，則k的取值範圍是k<0。
4、設P（a，b）是反比例函數y=k/x（k≠0）上任意一點，則ab的值等於k。經過反比例函數上的任意一點P，分別向x軸、y軸作垂線段，則所成的矩形面積為k；過P點向x軸或y軸作垂線段，連接OP，則所成的三角形面積為k/2。
二、二次函數
1、形如y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）。的函數叫做二次函數，它的圖像是一條拋物線。
2、二次函數y=ax^2+bx+c（a≠0）的頂點座標為（—b/2a，4ac—b^2/4a），對稱軸是直線x=—b/2a。
3、對於二次函數y=ax^2+bx+c（a≠0），當a>0時，二次函數圖像向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。圖像與y軸的交點的座標是（0，c）。
4、一元一次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的解，可以看成函數y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸交點的橫座標。
當b^2—4ac>0時，函數圖像與x軸有兩個交點。
當b^2—4ac=0時，函數圖像與x軸有一個交點。
當b^2—4ac<0時，函數圖像與x軸沒有交點。
5、當a>0，且x=—b/2a時，函數y=ax^2+bx+c（a≠0）取得最小值，這個值等於4ac—b^2/4a；當a<0，且x=—b/2a時，函數y=ax^2+bx+c（a≠0）取得值，這個值等於4ac—b^2/4a。
6、拋物線y=ax^2+c（a≠0）的對稱軸是y軸。
7、對於二次函數y=ax^2+bx+c（a≠0），若a，b同號，對稱軸在y軸右側a，b異號，對稱軸在y軸左側。
8、拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，當x≤—b/2a時，y隨x的增大而減小；當x≥—b/2a時，y隨x的增大而增大。若a<0，當x≤—b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥—b/2a時，y隨x的增大而減小。
9、對於拋物線y=a（x—m）^2+k，左右平移時，只與m有關，往左是加，往右是減；上下平移時，只與k有關，往上是加，往下是減。
三、相似三角形
1、如果兩個數的比值與另兩個數的比值相等，就説這四個數成比例。
2、如果a/b=c/d，那麼ad=bc；如果ad=bc，且bd≠0，那麼a/b=c/d；如果a/b=c/d，那麼（a+b）/b=（c+d）/d。誰都不能為0。為0無意義。
3、一般的，如果三個數a，b，c滿足比例式a：b=b：c，則b就叫做a，c的比例中項。（如果是線段的話，只能取正的，如果是數，正負都可以）
4、黃金分割：把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。其比值是（√5—1）/2，取其前三位數字的近似值是0.618。
5、證明三角形相似的方法：
（1）平行於三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。照我們老師的方法來説就是A字型和8字型。
（2）如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩個三角形相似。
（3）如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，並且相應的夾角相等，那麼這兩個三角形相似。
（4）如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那麼這兩個三角形相似。
（5）對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似。
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