教學目標
1、使學生理解函數單調性的概念，並能判斷一些簡單函數在給定區間上的單調性。
2、通過函數單調性概念的教學，培養學生分析問題、認識問題的能力。通過例題培養學生利用定義進行推理的邏輯思維能力。
3、通過本節課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辯證唯物主義的教育。
教學重點與難點
教學重點：函數單調性的概念。
教學難點：函數單調性的判定。
教學過程設計
一、引入新課
師：請同學們觀察下面兩組在相應區間上的函數，然後指出這兩組函數之間在性質上的主要區別是什麼？
（用投影幻燈給出兩組函數的圖象。）
第一組：
第二組：
生：第一組函數，函數值y隨x的增大而增大；第二組函數，函數值y隨x的增大而減小。
師：（手執投影棒使之沿曲線移動）對。他（她）答得很好，這正是兩組函數的主要區別。當x變大時，第一組函數的函數值都變大，而第二組函數的函數值都變小。雖然在每一組函數中，函數值變大或變小的方式並不相同，但每一組函數卻具有一種共同的性質。我們在學習一次函數、二次函數、反比例函數以及冪函數時，就曾經根據函數的圖象研究過函數的函數值隨自變量的變大而變大或變小的性質。而這些研究結論是直觀地由圖象得到的。在函數的集合中，有很多函數具有這種性質，因此我們有必要對函數這種性質作更進一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節課的內容。
（點明本節課的內容，既是曾經有所認識的，又是新的知識，引起學生的注意。）
二、對概念的分析
（板書課題：）
師：請同學們打開課本第51頁，請××同學把增函數、減函數、單調區間的定義朗讀一遍。
（學生朗讀。）
師：好，請坐。通過剛才閲讀增函數和減函數的定義，請同學們思考一個問題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致？如果一致，定義中是怎樣描述的？
生：我認為是一致的。定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少。
師：説得非常正確。定義中用了兩個簡單的不等關係“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數的單調遞增或單調遞減的性質。這就是數學的魅力！
（通過教師的情緒感染學生，激發學生學習數學的興趣。）
師：現在請同學們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個函數y=f1（x）和y=f2（x）的圖象，體會這種魅力。
（指圖説明。）
師：圖中y=f1（x）對於區間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在區間[a，b]上是單調遞增的，區間[a，b]是函數y=f1（x）的單調增區間；而圖中y=f2（x）對於區間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在區間[a，b]上是單調遞減的，區間[a，b]是函數y=f2（x）的單調減區間。
（教師指圖説明分析定義，使學生把函數單調性的定義與直觀圖象結合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解。滲透數形結合分析問題的數學思想方法。）
師：因此我們可以説，增函數就其本質而言是在相應區間上較大的自變量對應……
（不把話説完，指一名學生接着説完，讓學生的思維始終跟着老師。）
生：較大的函數值的函數。
師：那麼減函數呢？
生：減函數就其本質而言是在相應區間上較大的自變量對應較小的函數值的函數。
（學生可能回答得不完整，教師應指導他説完整。）
師：好。我們剛剛以增函數和減函數的定義作了初步的分析，通過閲讀和分析你認為在定義中我們應該抓住哪些關鍵詞語，才能更透徹地認識定義？
（學生思索。）
學生在高中階段以至在以後的學習中經常會遇到一些概念（或定義），能否抓住定義中的關鍵詞語，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學好數學及其他各學科的重要一環。因此教師應該教會學生如何深入理解一個概念，以培養學生分析問題，認識問題的能力。
（教師在學生思索過程中，再一次有感情地朗讀定義，並注意在關鍵詞語處適當加重語氣。在學生感到無從下手時，給以適當的提示。）
生：我認為在定義中，有一個詞“給定區間”是定義中的關鍵詞語。
師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善於抓住定義中的關鍵詞語，在學習幾個相近的概念時還要注意區別它們之間的不同。增函數和減函數都是對相應的區間而言的，離開了相應的區間就根本談不上函數的增減性。請大家思考一個問題，我們能否説一個函數在x=5時是遞增或遞減的？為什麼？
生：不能。因為此時函數值是一個數。
師：對。函數在某一點，由於它的函數值是唯一確定的常數（注意這四個字“唯一確定”），因而沒有增減的變化。那麼，我們能不能脱離區間泛泛談論某一個函數是增函數或是減函數呢？你能否舉一個我們學過的例子？
生：不能。比如二次函數y=x2，在y軸左側它是減函數，在y軸右側它是增函數。因而我們不能説y=x2是增函數或是減函數。
（在學生回答問題時，教師板演函數y=x2的圖像，從“形”上感知。）
師：好。他（她）舉了一個例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區間”。這説明是函數在某一個區間上的性質，但這不排斥有些函數在其定義域內都是增函數或減函數。因此，今後我們在談論函數的增減性時必須指明相應的區間。
師：還有沒有其他的關鍵詞語？
生：還有定義中的“屬於這個區間的任意兩個”和“都有”也是關鍵詞語。
師：你答的很對。能解釋一下為什麼嗎？
（學生不一定能答全，教師應給予必要的提示。）
師：“屬於”是什麼意思？
生：就是説兩個自變量x1，x2必須取自給定的區間，不能從其他區間上取。
師：如果是閉區間的話，能否取自區間端點？
生：可以。
師：那麼“任意”和“都有”又如何理解？
生：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數的增減性，而“都有”則是説只要x1＜x2，f（x1）就必須都小於f（x2），或f（x1）都大於f（x2）。
師：能不能構造一個反例來説明“任意”呢？
（讓學生思考片刻。）
生：可以構造一個反例。考察函數y=x2，在區間[-2，2]上，如果取兩個特定的值x1=-2，x2=1，顯然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的減函數，那就錯了。
師：那麼如何來説明“都有”呢？
生：y=x2在[-2，2]上，當x1=-2，x2=-1時，有f（x1）＞f（x2）；當x1=1，x2=2時，有f（x1）＜f（x2），這時就不能説y=x2，在[-2，2]上是增函數或減函數。
師：好極了！通過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數y=f（x）在某個區間內是增函數或減函數，不能由特定的兩個點的情況來判斷，而必須嚴格依照定義在給定區間內任取兩個自變量x1，x2，根據它們的函數值f（x1）和f（x2）的大小來判定函數的增減性。
（教師通過一系列的設問，使學生處於積極的思維狀態，從抽象到具體，並通過反例的反襯，使學生加深對定義的理解。在概念教學中，反例常常幫助學生更深刻地理解概念，鍛鍊學生的'發散思維能力。）
師：反過來，如果我們已知f（x）在某個區間上是增函數或是減函數，那麼，我們就可以通過自變量的大小去判定函數值的大小，也可以由函數值的大小去判定自變量的大小。即一般成立則特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立。這恰是辯證法中一般和特殊的關係。
（用辯證法的原理來解釋數學知識，同時用數學知識去理解辯證法的原理，這樣的分析，有助於深入地理解和掌握概念，分清概念的內涵和外延，培養學生學習的能力。）
三、概念的應用
證明函數f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函數。
師：從函數圖象上觀察固然形象，但在理論上不夠嚴格，尤其是有些函數不易畫出圖象，因此必須學會根據解析式和定義從數量上分析辨認，這才是我們研究函數單調性的基本途徑。
（指出用定義證明的必要性。）
師：怎樣用定義證明呢？請同學們思考後在筆記本上寫出證明過程。
（教師巡視，並指定一名中等水平的學生在黑板上板演。學生可能會對如何比較f（x1）和f（x2）的大小關係感到無從入手，教師應給以啟發。）
師：對於f（x1）和f（x2）我們如何比較它們的大小呢？我們知道對兩個實數a，b，如果a＞b，那麼它們的差a-b就大於零；如果a=b，那麼它們的差a—b就等於零；如果a＜b，那麼它們的差a-b就小於零，反之也成立。因此我們可由差的符號來決定兩個數的大小關係。
生：（板演）設x1，x2是（-∞，+∞）上任意兩個自變量，當x1＜x2時，
f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，
所以f（x）是增函數。
師：他的證明思路是清楚的。一開始設x1，x2是（-∞，+∞）內任意兩個自變量，並設x1＜x2（邊説邊用彩色粉筆在相應的語句下劃線，並標註“①→設”），然後看f（x1）-f（x2），這一步是證明的關鍵，再對式子進行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線並標註”②→作差，變形”）。但美中不足的是他沒能説明為什麼f（x1）-f（x2）＜0，沒有用到開始的假設“x1＜x2”，不要以為其顯而易見，在這裏一定要對變形後的式子説明其符號。應寫明“因為x1＜x2，所以x1-x2＜0，從而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）。”這一步可概括為“定符號”（在黑板上板演，並註明“③→定符號”）。最後，作為證明題一定要有結論，我們把它稱之為第四步“下結論”（在相應位置標註“④→下結論”）。
這就是我們用定義證明函數增減性的四個步驟，請同學們記住。需要指出的是第二步，如果函數y=f（x）在給定區間上恆大於零，也可以小。
（對學生的做法進行分析，把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢。在學生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學生養成一定的思維習慣，形成一定的解題思路也是有幫助的。）
調函數嗎？並用定義證明你的結論。
師：你的結論是什麼呢？
上都是減函數，因此我覺得它在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數。
生乙：我有不同的意見，我認為這個函數不是整個定義域內的減函數，因為它不符合減函數的定義。比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2顯然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，顯然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定義域內的減函數。
生：也不能這樣認為，因為由圖象可知，它分別在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數。
域內的增函數，也不是定義域內的減函數，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一個單調區間內都是減函數。因此在函數的幾個單調增（減）區間之間不要用符號“∪”連接。另外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區間。
上是減函數。
（教師巡視。對學生證明中出現的問題給予點拔。可依據學生的問題，給出下面的提示：
（1）分式問題化簡方法一般是通分。
（2）要説明三個代數式的符號：k，x1·x2，x2-x1。
要注意在不等式兩邊同乘以一個負數的時候，不等號方向要改變。
對學生的解答進行簡單的分析小結，點出學生在證明過程中所出現的問題，引起全體學生的重視。）
四、課堂小結
師：請同學小結一下這節課的主要內容，有哪些是應該特別注意的？
（請一個思路清晰，善於表達的學生口述，教師可從中給予提示。）
生：這節課我們學習了函數單調性的定義，要特別注意定義中“給定區間”、“屬於”、“任意”、“都有”這幾個關鍵詞語；在寫單調區間時不要輕易用並集的符號連接；最後在用定義證明時，應該注意證明的四個步驟。
課堂教學設計説明
是函數的一個重要性質，是研究函數時經常要注意的一個性質。並且在比較幾個數的大小、對函數作定性分析、以及與其他知識的綜合應用上都有廣泛的應用。對學生來説，早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質。學生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學生也會覺得是已經學過的知識，感覺乏味。因此，在設計教案時，加強了對概念的分析，希望能夠使學生認識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西，其中甚至包含着辯證法的原理。
另外，對概念的分析是在引進一個新概念時必須要做的，對概念的深入的正確的理解往往是學生認知過程中的難點。因此在本教案的設計過程中突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數單調性的定義，而且想讓學生對如何學會、弄懂一個概念有初步的認識，並且在以後的學習中學有所用。
還有，使用函數單調性定義證明是一個難點，學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利於學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以後要學習的不等式證明方法中的比較化的基本思路，現在提出要求，對今後的教學作一定的鋪墊。
一、教學內容分析
教材地位：冪函數是中學教材中的一個基本內容，即是對正比例函數、反比例函數、二次函數的系統總結，也是對這些函數的概況和一般化、
教學重點：冪函數的圖像與性質、
教學難點：以冪函數為背景的圖像變換、
二、教學目標設計
能描繪常見冪函數的圖像，掌握冪函數的基本性質；理解冪函數圖像的演進及單調性質；理解冪函數圖形特徵與代數特徵的對稱聯繫，在函數性質的應用中體會它的價值。能以冪函數為背景進行基本的函數圖像的平移和對稱變換、
三、教學流程設計
設置情境→探索研究→總結提煉→嘗試應用→練習回饋→設置評價
五、教學過程設計
1、情境設置
指導學生描畫一些典型的冪函數的圖像，回憶並歸納冪函數的性質、
2、探索研究
問題：如圖所示的分別是冪函數①，②，③，④，⑤，⑥，⑦在座標系中第一象限內的圖像，請儘可能精確地將指數的範圍分別確定出來
3、總結提煉
揭示冪函數圖像特徵與底數的依賴關係、師生共同整理出規律性結論、
4、嘗試應用
①（1）研究函數的圖像之間的關係；
（2）在同一座標中作上述函數的圖像；
（3）由所作函數的圖像判斷最後一個函數的奇偶性、單調性、
②已知函數
（1）試求該函數的零點，並作出圖像；
（2）是否存在自然數，使=1000，若存在，求出；若不存在，請説明理由、
③作函數的大致圖像、
5、練習回饋
課本第83頁練習4、1（2）
六、教學評價設計
習題4、1——
B組（根據學生具體情況選用）
1、教學目標
知識目標：
（1）掌握冪函數的形式特徵，掌握具體冪函數的圖象和性質。
（2）能應用冪函數的圖象和性質解決有關簡單問題。
能力目標：培養學生髮現問題，分析問題，解決問題的能力。
情感目標：
（1）加深學生對研究函數性質的基本方法和流程的經驗。
（2）滲透辨證唯物主義觀點和方法論，培養學生運用具體問題具體分析的方法分析問題、解決問題的能力。
2、教學重點：從具體函數歸納認識冪函數的一些性質並簡單應用。
教學難點：引導學生概括出冪函數的性質。
3、教學方法和教學手段：探索發現法和多媒體教學
4、教學過程：
問題情境
問題1寫出下列y關於x的函數解析式：
①正方形邊長x、面積y
②正方體稜長x、體積y
③正方形面積x、邊長y
④某人騎車x秒內勻速前進了1m，騎車速度為y
⑤一物體位移y與位移時間x，速度1m/s
問題2是否為指數函數？上述函數解析式有什麼共同特徵？（教師將解析式寫成指數冪形式，以啟發學生歸納，）板書課題並歸納冪函數的定義。
（二）新課講解
冪函數的定義：一般地，我們把形如的函數稱為冪函數（powerfunction），其中是自變量，是常數。
為了加深對定義的理解，請同學們判別下列函數中有幾個冪函數？
①y=②y=2x2
我們瞭解了冪函數的概念以後我們一起來研究冪函數的性質。
問題3冪函數具有哪些性質？用什麼方法研究這些性質的呢？我們請同學們回憶一下在前面學習指數函數、對數函數我們一起研究了哪些性質呢？（學生討論，教師引導）
（引發學生作圖研究函數性質的興趣。函數單調性的判斷，既可以使用定義，也可以通過圖象解決，直觀，易理解。）
在國中我們已經學習了冪函數的圖象和性質，請同學們在同一座標系中畫出它們的圖象。
根據你的學習經歷，你能在同一座標系內畫出函數的圖象嗎？
（學生作圖，教師巡視。將學生作圖用實物投影儀演示，指出優點和錯誤之處。教師利用幾何畫板演示，通過超級鏈接幾何畫板演示。）
問題4我們看到，這些函數在第一象限都有圖象，所以我們就先來研究冪函數在上的性質。請同學們考慮一下有哪些共性呢？（學生回答）
歸納總結冪函數的性質：冪函數圖象的基本特徵是，當是，圖象過點，且在第一象限隨的增大而上升，函數在區間上是單調增函數。
下面我們一起來嘗試冪函數性質的簡單應用
鞏固練習：例1寫出下列函數的定義域，並指出它們的奇偶性和單調性：①y=x②y=x③y=x。（板書一題，其他學生回答並小結）
感受理解例2：比較下列各組中兩個值的大小，並説明理由：
①0.75，0.76；
②（—0.95），（—0.96）；
③0.31，0.31
分析：利用考察其相對應的冪函數和指數函數單調性來比較大小
鞏固提高例3、冪函數y=（m—3m—3）x在區間上是減函數，求m的值。
（三）小結：今天的學習內容和方法有哪些？你有哪些收穫和經驗？冪函數的圖象和形狀就可能發生很大的變化。我們今天主要研究了冪函數在第一象限的性質。
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