一直以來，人們在研究雞兔同籠問題的過程中，形成了很多讓人眼花繚亂的解法。諸如假設法、畫圖法、抬腳法、增頭法、砍腳法、列表法、方程法、半雞半兔法，如此等等，不一而足。客觀地説，這些方法的呈現，一方面反映了人們一直以來熱衷於研究這一問題，另一方面也能起到提高學生學習興趣的作用。但冷靜下來思考，這些方法當中有部分巧則巧矣，卻存在如下兩個致命的問題：
其一，這些方法來得並不自然，頗像波利亞所説的“魔術師帽子裏蹦出來的兔子”。過多地給學生呈現這些方法，學生自然佩服老師，但同時也容易產生這樣的想法：“學數學得能想出這麼巧妙的方法才行，看來，我不是學數學的料。”
其二，這些方法之間缺少聯繫，每種方法都是獨立存在的，都需要賦予一種特別的情境方能説明其算理。這些方法呈現得多了，學生容易形成對數學問題的錯誤認識——數學問題及其解答都像海灘上的貝殼：一個一個地、獨立地並且孤立地散落在海灘上。
正是基於這樣的認識，我們認為，在對待雞兔同籠問題的諸多解法上，有兩條尤其重要：一條叫加強聯繫，另一條叫注重通法。
所謂“加強聯繫”，即是要讓學生注意到各種方法之間不是孤立的。人教版課標教材數學廣角中的雞兔同籠問題如下圖所示。
我們以國小數學處理雞兔同籠問題常見的幾種方法——列表法、假設法和方程法為例進行具體説明。
列表法是最容易想到的方法，按教材上的説法，就是“按順序列表試一試”。
我們考慮列表的過程：雞8只，兔0只，通過計算，腳是16只，不符合題目意思，繼續往下列表：雞7只，兔1只，通過計算，腳是18只，還是不符合題目意思。所謂不符合題目意思，就是腳的只數不是26，但通過比較兩次列表的數據，可以發現第二次列表的數據中，腳的只數（18）更接近題目的要求（26），這就告訴我們，按這個方向繼續調整，一定可以找到正確答案。這即是列表法。
如果我們希望調整的幅度大一點，讓正確答案來得更快一點，甚至，我們可以考慮能否一步調整到位？通過觀察上表我們知道，雞8只，兔0只，腳是16只，離我們希望的腳的數目還差26－16＝10（只）。若一次次調整，需要調整幾次呢？通過觀察表格我們發現，每調整一次，腳就增加2只（這個不難想清楚：所謂調整一次，在這裏，就是減少1只雞，增加1只兔，腳自然增加2只），於是不難知道，需要調整的次數為10÷2＝5，即雞要減少5只，兔要增加5只。把這個過程稍稍整理，即得到所謂的假設法。
我們再回頭看我們的列表過程。其實我們在做一件這樣的事：寫出雞的只數，比如8，然後算出兔的只數，比如8－8＝0，然後算腳的只數，看是不是26。把這個過程一般化，就是先猜測雞的只數，比如用表示，然後再計算兔的只數，在這裏應該是8－，最後計算腳的只數，這裏應該是：2×＋4×（8－）。
我們就是在看這個結果是否等於26，如果等於26，我們猜測的雞的只數就是對的。換句話來説，我們是想在算式2×＋4×（8－）中填上一個適當的數，使得2×＋4×（8－）＝26，這就是所謂的方程法。
以上討論，以列表這樣一個自然的方法為基礎，把假設法、方程法等方法聯繫在一起，即是我們所説的“加強聯繫”。
現在來討論“注重通法”。
所謂“通法”，是指具有某種規律性和普遍意義的常規方法。在數學教學中，也被稱之為“大巧”，是與一些奇思妙想的、應用範圍狹窄甚至僅限此一例的所謂“小巧”相對應的。我們在數學教學中，從面向全體學生的角度出發，應該強調“大巧”而淡化“小巧”。
上述諸多解法中，列表法、方程法均是通法、是“大巧”，具有最廣泛的適用性。而抬腳法、增頭法、砍腳法、半雞半兔法，都只能屬於“小巧”，僅僅限於解決雞兔這一有着特殊數量關係的問題。尤其值得説明的是，這些看似十分巧妙的辦法，很可能是有人通過對通法的解題過程的分析，增加適當的情境而得到的。
以所謂半雞半兔法為例：把雞和兔都劈開，考慮一半，則有這樣的“半雞”和“半兔”共8只（注意，我們只考慮一半，因此還是8只“半雞”和“半兔”），此時，腳是26÷2＝13（只），“半雞”上有一隻腳，“半兔”上有兩隻腳，所以，從腳的只數比“半雞”和“半兔”只數多13－8＝5（只），不難知道，“半兔”的只數就是5，從而有5只兔。這事實上可以理解為將以下解方程組的過程賦予情境的意義：
設雞有x只，兔有y只，則有
x+y=8 ……（1）2x+4y=26 ……（2）
要解上述方程組，我們可以將（2）÷2－（1），即可求得y的值，讀者只要稍加琢磨，就不難發現，這一解方程組的過程，即是上述“半雞半兔法”。而若用（2）－（1）×2的方式求出y的值，則又可演繹出所謂“去腳法”：假如將8只動物中的每一隻動物都去掉2只腳，則共去掉2×8=16（只）腳，還剩26－16=10（只）腳。這時雞沒有腳了，每隻兔還剩2只腳，説明這剩下的10只腳都是兔的，兔有10÷2=5（只），雞有8－5=3（只）。
在進行《雞兔同籠》這一節設計時，根據以往的教學經驗，總覺得學生對此類題目會做者一班只有5、6個，但具體有幾個人會做則不太清楚，即使有學生會做也説不清思路。為了對學生有個全面瞭解，很好地設計導學案。因此，在設計《雞兔同籠》導學案之前時，我先利用課前8分鐘的時間對三個班的學生進行前概念的檢測，內容如下：
籠子裏有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾隻？
1.這是著名的“_________”的問題。
2.上題中雞和兔的總只數不變，假如籠子裏全是雞或者兔，腳數會發生變化嗎？（）。
3.假如全是兔，有（）只腳，比籠子裏多（）只，多出的腳是把籠子裏的（）看成（）多算的腳的總數。
4.用你會的方法解答上題：
■
1、2題會的比較多，3題會的雖不多，但方法涉及列表法、假設法、列方程解答、其他法。第3題會做的48個學生中，用假設法的36人，列方程解的7人，用列表法的3人，用其他法的2人。通過這些數據，可以看出學生對《雞兔同籠》問題是知道的，對“雞和兔的總只數不變，假如籠子裏全是雞或者兔，腳數會發生變化嗎？假如全是兔，有（）只腳，比籠子裏多（）只，多出的腳是把籠子裏的（）看成（）多算的腳的總數”，大多數也知道，但對此題的解法會只佔到了32.4%，其中用假設法的佔會解這道題的75%。這説明用假設法對學生雖有難度，但只要導學案設計的坡度小一點，把學生原有的知識與經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識與經驗中生長出新的知識與經驗，相信學生通過自學是能理解的。
鑑於此，我設計導學案如下：
■
學生回家自學後，交上來的試卷，一班52人中，30人全對，錯誤較少的有15人（多是對導學案的題目不理解造成），錯誤稍多有7人。經過講解之後學生很快理解並會用假設法解答這類題目。
教學目標：
本活動的目的是通過學生對一些日常生活中的現象的觀察與思考，從中發現一些特殊的規律。在“雞兔同籠”的活動中，通過列表枚舉方法，解決雞與兔的數量問題。
教學重點：
嘗試用不同的方法解決雞兔同籠問題，對嘗試法有所瞭解和體驗，並使學生體會假設方法解決此類問題的優越性。
教學難點：
在解決問題的過程中培養學生的邏輯推理能力。
教具準備：
電腦課件
教學過程：
一、創設問題情景。
師：同學們今天老師帶來2幅動物的圖片請你們欣賞一下，看這是什麼？（出示公雞圖片）這幅呢？（出示兔子圖片）
師；這是兩種同學們很熟悉的小動物。
師：一隻雞有幾個頭，幾隻腳？一隻兔子有幾個頭？幾隻腳？一隻兔子比一隻雞多幾隻腳，一隻雞比一隻兔子多幾隻腳？
師：看來這幾個問題對於你們來説太簡單了。老師這兒還有一個有關於雞兔的有趣問題我們一起來看看。
課件出示：
“今有雞兔同籠，上有***頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”
師：這個有趣的問題出自於我國大約在1500年前唐代的一部算書《孫子算經》。誰來讀一讀？
師：你們明白這句話的意思嗎？
（如果學生説不出師可説，師：這句話的意思是，有若干只雞兔同在一個籠子裏，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。問籠中雞和兔各有幾隻？這就是我們通常所説的雞兔同籠問題，“雞兔同籠”問題是我國古代數學名題之一。這節課我們就一起來研究雞兔同籠問題。（板書課題）同學們一起來比一比看誰能把這個古代數學名題解決，有沒有信心！
如果生能説出這句話的'意思。師：看來你瞭解的知識可真多。“雞兔同籠”問題是我國古代數學名題之一。這節課我們就一起來研究雞兔同籠問題。（板書課題）同學們一起來比一比看誰能把這個古代數學名題解決，有沒有信心！
二、解決問題。
1、好！請看屏幕。
出示課件：雞兔同籠，有20個頭，54條腿，雞、兔各有幾隻？
師；誰來讀一讀題目中的數學信息和數學問題。
2、師：請同學們先想一想，如何解決這個問題？
師：把你的想法，解決問題的過程寫在本子上。
3、生在做題時，師在注意巡視，選擇有**性的做法。
4、展示學生的答案。
實驗投影展示
10分鐘後進入小組彙報、集體交流階段。
小組1：我們採用列表法得出的答案。（實物投影展示小組的成果）先假設有1只雞，19只兔子，腳就有78只，太多，然後又假設有2只雞，18只兔子，腳還是太多了。這樣試下去就得到了有13只雞，7只兔子。
（也許學生不知道這是用列表法解決問題，師你能給你這種解決問題的方法起個名字嗎？）
師：還有哪些小組採用不同的列表法？
小組2：我們也採用列表法得出的答案，我們發現雞增加1只，兔子減少1只，腿就減少2條，所以我們沒有一個一個的試，那樣太麻煩，而是從2只雞，18只兔直接跳到10只雞，10只兔。最後也得到了13只雞，7只兔。
小組3：我們小組也是列表法。我們是先假設雞有10只，兔子也有10只。這樣比較簡便。
師：這三個小組的同學都採用了列表的方法來解決問題，你們為什麼要採用列表的方法解決這樣的問題呢？
生1：列表可以幫助我們一一舉例，從中找出需要的答案。
生2：列表也就是運用假設法，通過逐步的假設，最終找到符合條件的答案。
師：同樣採用列表的方法解決這個問題，可這三種列表的方法又有什麼不同呢？
生3：我認為第一小組的列表方法的特點是逐一列表，這樣不容易遺漏答案。
生4：雖説第一小組的方法可以完全地列出全部的答案，但比較麻煩。我認為第三組的方法比較好，可以根據題目的根據情況，確定假設的範圍，這樣可以很快尋找到需要的答案。
師：在採用列表法解決這個問題的同時，還採用了一種解決問題的方法，你們知道採用了什麼方法嗎？
師：對！還採用了假設的方法。
師：同樣採用列表、假設的方法解決這個問題，可是解決問題的過程卻有不同。如果現在讓你選擇其中一種列表的方法解決雞兔同籠問題，你會選擇哪種列表解決問題的方法？為什麼？
師：小結：同學説得都很有道理，同樣選擇列表的方法，我們可根據題目的實際條件，選擇適當的方法取中列舉的方法，由於雞與兔共20只，所以各取10只，接着在舉例中根據實際的數據情況確定舉例的方向，這樣可以**縮小舉例的範圍。快又準確地尋找到我們需要的答案。
4、有其他的解法嗎？（老師讓舉手的其中三名學生**板演）
生5：假設20只都是雞，那麼兔有：（54—20×2）÷（4—2）=7（只），雞有20—7=13（只）。
生6：假設20只都是兔，那麼雞有：（4×20—54）÷（4—2）=13（只），兔有20—13=7（只）。
5、生還可能採用畫圖的方法。
師：同學太聰明瞭，想出了這麼多好辦法，我們可以選擇畫圖、列表、假設等方法解決問題，在這些方法中我們可以選擇取中列表法。在列表時應注意如何設計表頭：
現在大家就根據列表的方法解決一些問題吧！
三、自主練習。
同學們可以用列表的方法**地嘗試解決。
1、雞兔同籠，有17個頭，42條腿，雞、兔各幾隻？請你列表的方法解決。（想一想怎樣設計表頭）
（例題中的表格老師已經設計了表頭，練習題中，放手讓學生根據已有的經驗自己設計，培養學生數據的收集、整理能力。）
2、同學們的材料袋裏有1角和5角的硬幣共27枚，價值5。1元，1角和5角的硬幣各有多少枚？
生做題後彙報自己解決問題的方法，師問：你為什麼選擇這種解決問題的方法？
師小結：通過以上的練習可以看出同學們能夠根據不同的題目選擇列表假設的方法解決有關於雞兔同籠的問題。
四、小結：
師：通過這節課的學習，你有什麼收穫？
總結：這節課同學們採用了不同解決問題的方法解決了我國古代數學名題之一“雞兔同籠的問題”。希望同學們今後在學習中也能象今天一樣肯於動腦，勤于思考，選擇合適的方法解決實際問題。
教材：人教版義務教育課程標準實驗教科書六年級上冊的內容。
一、教學目標
1、瞭解“雞兔同籠”問題，感受古代數學問題的趣味性。
2、在解決“雞兔同籠”的活動中，嘗試通過列表舉例、畫圖分析、嘗試計算、列方程等方法解決雞兔的數量問題。
3、培養學生的合作意識，在現實情景中，使學生感受到數學思想的運用與解決實際問題的聯繫，提高學生解決問題的能力和自信心，進而讓學生體會數學的價值。
二、教材分析
1、設計意圖
通過向學生提供了現實、有趣、富有挑戰的學習素材，藉助我國古代趣題“雞兔同籠”問題，使學生展開討論，從多角度思考，運用多種方法解題，學生可以應用作圖法、列表法（逐一列表法、跳躍式列表法、取中列表法）、假設法、列方程解決問題。學生根據自己的經驗，逐步探索不同的方法，找到解決問題的策略，在合作交流學習的過程中，積累解決問題的經驗，掌握解決問題的方法。
2、設計思路
遵照《新課程標準》的精神，在課程設置中強調學生是學習的主人，在學習過程中儘可能多的為學生提供探索和交流的空間，鼓勵學生自主探索與合作交流。通過教師創設的現實情景，讓學生投入解決問題的實踐活動中去，自己去研究、探索、經歷數學學習的全過程，從而體會到假設的數學思想的應用與解決數學問題的關係。通過學習使學生認識到數形結合的重要性，提高學生分析問題和解決問題的能力。
在學習中應注意鼓勵每個學生參與學習過程，注重學生之間交流，使學生共同學習，共同進步，共同提高，把所學的數學知識應用到生活中去，用數學的眼光看待身邊的事物，體會數學的價值。
3、教學重點
體會解決問題策略的多樣化，培養學生分析問題、解決問題的能力。
三、教學設計
1、提出問題
師：（出示主題圖）大約在1500年前，《孫子算經》中記載了這樣一個有趣的問題。書中説：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”
問：這段話是什麼意思？（生試説）
師：這段話意思是：有若干只雞兔同在一個籠子裏，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。問籠中雞和兔各有幾隻？這就是我們通常所説的雞兔同籠問題，如何解決這個1500年前古人提出的數學問題，就是我們這節課要研究的內容。
（板書課題：雞兔同籠問題）
2、解決問題
師：説明為了研究方便，我們不妨先將題目的條件做一個簡化。
（課件出示）例1 ：雞兔同籠，有8個頭，26條腿，雞、兔各有幾隻？（同時出示雞兔同籠情境圖）
師：同學們不妨先討論一下，看能不能給大家提供一種或幾種解這道題的思路，讓其它的同學能很容易就理解、弄懂這道題。（學生討論）
學生初步交流，教師提煉：可以用畫圖的方法、可以用列表法、可以用假設法、還可以用方程的方法。
師：請同學們先認真思考，以小組為單位展開討論、交流，看看你們小組該選擇什麼方法來解決這個問題？再把你們的想法，你的思考過程用你自己的方式記錄下來。
學生思考、分析、探索，接下來小組討論、交流、爭辯。（老師參與其中，啟發、點拔、引導適當，師生互動。）
小組活動充分後進入小組彙報、集體交流階段。
師：誰能説一説你們小組探究的過程，你們是怎樣得出結論的？雞兔各有幾隻？
學生彙報探究的方法和結論：
（1）畫圖法
（學生展示畫圖方法及步驟）
①先畫8個頭。
②每個頭下畫上兩條腿。
數一數，共有16條腿，比題中給出的腿數少26-16=10條腿。
③給一些雞添上兩條腿，叫它變成兔。邊添腿邊數，湊夠26條腿。
每把一隻雞添上兩條腿，它就變成了兔，顯然添10條腿就變出來5只兔。這樣就得出答案，籠中有5只兔和3只雞。
（2）列表法
師：同學們的探索精神和方法都很好，都能用自己的方法成功地解決“雞兔同籠問題”。不過上面的兩種方法，老師還是覺得比較麻煩，又是畫圖，又是列表的，有沒有更方便簡潔的方法來解決這個問題？
（3）假設法
教師引導：觀察上面的表格我們發現。如果8只都是雞，則一共只有16條腿這樣就比26條腿少10條腿，這是因為實際每隻兔子比每隻雞多2條腿。一共多了10條腿，於是兔就有10÷2=5（只），所以我們還可以這樣去想：
板書：方法一：假設8只都是雞，那麼兔有：
（26-8×2）÷（4-2）=5（只）
雞有：8-5=3（只）
同樣如果8只都是兔，則一共只有32條腿這樣就比26條腿多6條腿，這是因為實際每隻雞比每隻兔子少2條腿。一共多了6條腿，於是雞就有6÷2=3（只），所以我們還可以這樣去想：
板書：方法二：假設8只都是兔，那麼雞有：
（4×8-26）÷（4-2）=3（只）
兔有：8-3=5（只）
（4）列方程
我們還可以根據“雞的腿+兔的腿=26條”列方程解答：
解：設兔有X只，那麼雞有（8-X）只。
4X+2（8-X）=26，
16+2X=26
2X=26-16
X=3
8-3=5（只）
即雞有3只，兔有5只。
師：通過以上的學習，你有什麼發現，有什麼想法嗎？
生：解決一個問題可以有不同的方法。
3、想一想，做一做
（1）嘗試解答課前提出的古代《孫子算經》中記載的雞兔同籠問題。書中説：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？
（2）完成書中練一練中的4道題。
關鍵詞：信息技術；整合；探究
目前信息技術與國小數學學科的整合作為深化教育改革的“突破口”，愈來愈受到人們的廣泛關注，新穎、先進的現代教育技術，為國小數學課堂教學提供了廣闊的展示平台。那麼，如何在新一輪的課程改革中實現信息技術和數學教學的整合？本文以筆者的教學設計為例，談一些我的嘗試與探索。
1.創設情境，重在興趣激發
引導學生對數學的嚮往，具有良好的興趣和動機，在數學活動中獲得快樂，是我們數學老師在課堂教學中所追求的目標。因此在數學課堂教學中充分利用現代教育技術獨特的優勢，創設良好的教學情境，能最大限度地激發學生學習興趣，調動學生強烈的探究慾望。
（1）情境的創設要能激發學生的興趣。對於國小生，顏色、聲音、動作都具有極大的吸引力，如運用講故事、做遊戲、角色表演、直觀演示等形式，能引起學生的關注，有利於學生多感官、多角度、多層次地獲得數學信息。
[案例1] “數學問題——雞兔同籠”
師：同學們，你們聽過“雞兔同籠”的數學問題嗎？“雞兔同籠”問題是我國古代著名的趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經》這本書中就記載了這個有趣的問題，今天我就帶領同學們回到古代，去看看這個數學問題：（古代，有一位農夫，他養了一羣兔子和一羣雞。有一天早上，農夫出門趕集去了。這一天突然颳起了颱風，農夫家的一片柵欄倒塌了，把他的兔籠給壓壞了，兔子嚇得到處亂跑。他回到家裏，趕緊把兔子暫時關到了雞籠裏去。農夫有一個八歲的兒子，他聰明伶俐，勤奮好學，農夫經常出問題考他。這會兒，他看見雞兔同在一個籠子裏，於是就產生了一個數學問題問他的兒子：“兒子，我從這個籠子的上面數能數到30個頭，從下面數能數到86條腿，你能説説籠子裏的雞和兔各有多少隻嗎？”）
（2）情境的創設要與現實生活密切聯繫。教學內容越接近學生的生活經驗，越與現實生活聯繫得緊密，教學就越有效。
[案例2]“24時計時法”
師：一天，貝貝和他的媽媽要去福州玩，他們來到車站，貝貝告訴售票員阿姨想買兩張下午3：00去福州的車票。售票員阿姨給了貝貝兩張車票，上面印着15：00。貝貝一看就急了，他對媽媽説：“媽媽，售票員阿姨把票拿錯啦。”
師：同學們，誰能來告訴貝貝，售票員阿姨把票拿錯了嗎？
師：是啊，售票員阿姨沒拿錯票，下午3：00就是15：00。表示時間有兩種方法，我們常説的下午3：00這種是普通計時法，而票上印着的15：00是另一種計時法，叫做24時計時法。
（3）情境的創設要有利於探究活動的展開。重視學習內容的問題性，強調問題對學習過程的內驅力和導向性，有利於學生形成強烈的探究傾向，有利於促進自主探究活動的展開。
[案例3]“雞兔同籠”
師：請你們隨意地猜一猜，你覺得雞和兔各有幾隻？
師：可以用什麼方法來檢驗你們的猜測對不對呢？
生：可以用算出總腿數的方法來驗證。
師：你們在猜不準的情況下，發現了什麼，又是選擇什麼方法來調整的呢？
生：我們發現如果總腿數少了，要增加兔子只數，如果總腿數多了，要減少兔子只數。
師：現在你們運用增加或減少兔子數的方法進行調整，那在這個調整過程中你們發現了什麼規律？增加或減少兔子數，腿數有什麼變化？
2.自主探究，重在知識建構
教師在引導學生展開新知識探究時，要想到學生如何獲得數學問題的解決方法，他們是否真正經歷了獲得的過程，學生原有的知識能否支持問題的學習，在整個學習過程中，學生的經驗是否得到了豐富和提升，是否生成了方法、學會了交流、具有了成功的體驗。基於以上的思考，因此在數學學習過程中，要充分利用現代教育技術能生動形象逼真地再現知識的產生、形成過程和學生探求知識的學習過程、思維過程的特點，把過程展現在學生面前。
（1）學習的展開階段，是學生主動參與、積極探索的重要階段。為此，教師要充分創造條件，讓學生自己動手、動腦，親歷探究的全過程，從而獲得成功的體驗，實現對知識意義的構建。
[案例4] “奇妙的圖形密鋪”
在學生理解了“密鋪“的含義後，出示正方形、長方形、平行四邊形、圓形、正五邊形等八種基本圖形。
師：這些平面圖形是不是都能單獨密鋪呢？（學生大膽猜想，相互爭論。）
師：用什麼方法驗證你的猜測呢？實踐是檢驗真理的唯一方法，我們就來動手鋪一鋪。
這樣“電腦畫板”為學生提供了做“數學實驗”的機會，學生在動態的操作過程中，自主探索、發現總結：圓形和五邊形不能單獨密鋪。
（2）數學學習的最終目的是解決問題。教師在教學設計時應具備較強的問題意識，不斷促進學生在解決問題中將已有的知識或經驗向方法轉化，適時引導，提高學生解決問題的能力。
[案例5] “圓的面積計算”
師：我們學習了平行四邊形、三角形和梯形的面積計算，請大家回憶一下，這些圖形的面積計算公式是怎樣推導出來的呢？
師：我們能不能也把圓轉化為學過的圖形來推導出它的面積計算公式呢？圓可能轉化為什麼平面圖形來計算呢？
學生猜測並通過小組討論，合作探究，很快得出可以拼成一個平行四邊形的結論。
師：（課件）請看大屏幕，把圓分成16等份，拼成了近似平行四邊形，再分成32等份，拼成近似的平行四邊形，再分成64等份，拼成近似長方形，你發現了什麼？（如果分的份數越多，每一份就會越細，拼成的圖形就會越接近於長方形。）
師：你能根據長方形的面積計算公式推導出圓的面積計算公式嗎？
在空間與圖形知識環節中，信息技術發揮了它積極的作用：一方面它彌補了實物、書本等無法給予學生多樣化感官的不足，幫助學生理解了公式，領會了“轉化”的數學思想；另一方面，它促進了學生學習方式的改變，把學習過程中的發現、探究等認識活動突顯了出來，有力地促進了學生創新精神的發展。
3.拓展延伸，重在完善提高
《數學課程標準》強調：要大力開發並向學生提供更為豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力的工具。網絡教學顯示出強大的生命力，成為學生自主學習與個性發展的平台。
[案例6] “平年與閏年”
在這個知識的學習過程中，學生通過實踐調查、上網查找資料等，不但知道了公曆年份是4的倍數的一般都是閏年，而且還明白了“四年一閏，百年不閏，四百年又閏”的科普知識。
實踐證明，信息技術的應用，既能充分地發揮信息技術的優勢，也為學生的學習和發展提供了豐富多彩的教育環境和有力的學習工具。在信息技術現代化的今天，每位教師都應該努力探索，尋找信息技術與數學學科整合的切入點，以取得最佳教學效果。
參考文獻：
[1]何克抗，吳 娟。信息技術與課程整合[M].北京：高等教育出版社，2007.
一、什麼是國小數學文化課
國小數學文化課是以數學文化作為教學內容，旨在增強和激發學生學習數學的興趣，深刻理解數學的內涵，開拓學科視野，提高數學素養的一種數學課型。
上好國小數學文化課的前提是要對國小數學文化有一定的認識。顧沛曾説，數學文化狹義上指數學的思想、方法、觀點、語言以及它們的形成和發展，廣義上還包括數學家、數學史、數學美、數學發展中的人文成分、數學與社會的聯繫、數學與各種文化的關係。西南大學宋乃慶研究團隊認為，數學文化是數學知識、數學精神、數學思想、數學方法、數學思維、數學意識、數學事件等的綜合。
二、教師上國小數學文化課的困惑
數學教師從事國小數學文化課的教學主要有以下幾方面的困惑。
（一）數學文化知識欠缺
作為普通的數學老師，雖然有豐富的數學教學經驗，但是自身對數學文化缺乏系統的學習和深入的研究。數學老師在師範教育裏所學的都是按知識體系編排的數學知識或者相關的教材教法，其中有數學思想和方法的滲透，但缺乏從數學文化的視角進行相關的數學文化的學習。
（二）教師培訓相對缺乏
《義務教育數學課程標準（2011年版）》和相配套的國小數學教材出來後，北碚區對全員數學教師進行了為期三天的新課標培訓，並連續多年對數學教師進行分冊教材培訓，細到對每個例題的理解和處理。而對國小數學文化課的教學，卻沒有對數學教師進行相關的理念培訓和教材培訓。
（三）教學設計定位不清
教師上國小數學文化課面臨的重要問題就是如何進行教學設計。國小數學文化課到底是數學課、文化課、故事課、遊戲課，還是數學文化課；到底是解題，還是數學文化的介紹；如何將幾幅靜態的連環畫通過教師精心的教學設計生動有趣地呈現在課堂教學中，如何上出國小數學文化課的味道來等，這些都是在教學設計中要面臨的問題。
（四）優秀課例參考較少
到底什麼樣的國小數學文化課才是一節好課，老師們心中沒有標準。同樣，由於只有部分實驗學校在進行實驗，老師們對優秀的數學文化課例見得少或沒有見過，都是自己或者學校數學團隊在摸索，值得參考借鑑的優秀課例較少。
三、如何上好國小數學文化課
國小數學文化課是一門新興的課程，教師們都沒有經驗與積累。數學文化課該如何上呢？
（一）準確定位教學目標
國小數學文化課面臨的首要問題就是確定教學目標。教學目標是教學的出發點和歸宿，是教學活動的靈魂。只有教學目標定位準確了才能上出符合數學文化要求的數學文化課。如，宋乃慶團隊編寫的《國小數學文化叢書》和《國小數學文化讀本》，其中的每個故事都有明確的分類。如，“千手觀音的震撼”是屬於藝術與數學，可以擬定如下教學目標：（1）理解從不同角度拍攝物體會得到不同的結果，會讓人產生不同的感受。（2）初步瞭解構圖的“三分法則”，感受“三分法則”拍攝照片的效果，嘗試用“三分法則”進行模擬拍攝。（3）在用數學的眼光分析攝影作品的過程中，體會攝影與數學的聯繫，感受數學和藝術的魅力。以上三條教學目標中，第一條和第二條是理解和初步瞭解，第三條是教學的重點。
（二）降低知識難度
國小數學文化課中必然會涉及很多的數學知識，如，“中國現代數學之父――華羅庚”中的統籌法中的泡茶問題；優選法中的二分法、三分法等。經過大量的教學實踐，我們認為國小數學文化課中的數學知識的教學一定要降低難度。如用三分法找次品，“在3個玻璃球中，有1個球較輕，如果用天平來稱，最少需要稱多少次才能保證找到次品？”通過教學讓學生理解，只需稱一次就可以找到次品，即選的兩個，要麼一樣重，剩下的是次品；要麼有輕有重，輕的是次品，剩下的一個不用再稱。然後，引導學生去研究4個球、9個球都是需要稱2次才能保證找到次品。對於稱的次數是3的N次方這個規律，如果在n堂上讓學生去探究理解，就會把數學文化課上成奧數課、思維訓練課，那就失去了數學文化課的教學意義。教學中對於三分法如何分組、如何找次數、稱的次數與3的幾次方有關等知識，我們採用了視頻與畫外音相結合的方式進行介紹，圖文並茂，聲音與過程同步展現思維過程，既降低了數學思維的難度，又體現了華羅庚對三分法的研究以及總結出的規律，感受華羅庚的偉大成就。
（三）提升已有經驗
很多國小數學文化課，都需要調動學生已有的知識經驗或者課前查詢大量與本節數學文化課相關的資料，這些知識經驗或查詢的資料怎樣才能用好呢？實踐告訴老師，對於這個環節教學一定要對已有經驗進行提升。
如，“中國歷史名題――雞兔同籠”課前佈置學生去了解“雞兔同籠”的相關資料。課堂學生交流：雞兔同籠的來歷，雞兔同籠的解法，還有雞兔同籠的應用等，這些反饋都是零散的、不完整的，並沒有引起全體學生的注意，教師應系統地對“雞兔同籠”起源、發展、應用等進行歸納整理介紹。“雞兔同籠”的最早記錄在我國古代1500多年前的《孫子算經（下卷）》31題裏，原題是“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各有幾何？”這個問題藴含了豐富的數學思想，不僅可以解決雞兔同籠問題還可以解決其他類似的問題。明代程大位所著的《算法統宗》也收錄了這個問題，其中對問題的敍述把“雉”改成了“雞”，雞兔同籠的説法就沿用至今。“雞兔同籠”問題後來又傳到了日本成為“鶴龜算”。“雞兔同籠”問題是我國民間流傳下來的一類數學妙題，是前人探究出來的知識成果，它集題目的趣味性、解法的多樣性、應用的廣泛性於一體，具有強大的教育功能和價值。
（四）數學和文化並重
【關鍵詞】規律學習；雞兔同籠；調整替換
中圖分類號：G623.56 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2016）18-0092-03
“雞兔同籠問題”是我國古代數學名著《孫子算經》中記載的一道數學趣題，其解法之多、思想之廣、變式之靈活是眾所皆知的。正因為如此，這節課的教學方式豐富多彩，在名師展示的舞台上更演繹出多種方法，有的側重於畫圖，認為這是最直觀、最容易理解的方法；有的側重於列表，認為學生有列表的經驗；有的側重於假設，認為假設法書寫簡潔方便。如今，該內容已經出現在新版四年級數學教材中，而且將方程的解法置之度外，其難度可想而知。那麼，這節課如何教學呢？
筆者認為，“雞兔同籠問題”看似是3種不同的方法，但其本質都是“調整替換”。追尋本源發現，“雞兔同籠問題”中隨着雞的數量逐一增加，雞和兔腳的總數按2只遞減。正是由於這一基本變化規律，很容易得出結論：如果腳減少2只，應該將1只兔換成1只雞。反之，腳增加2只，應該將1只雞換成1只兔。在國小數學中，探索規律是讓學生在給定的事物中發現、探求隱含的規律或變化趨勢，而“雞兔同籠問題”就是要通過畫圖、列表、算式等方法，讓學生經歷“初步感知規律、發現形成規律、應用規律”這樣的過程，因而本節課的教學實質是規律教學，應該納入規律教學的範疇，需要走規律教學的路徑，其3種方法的教學缺一不可。
一、畫圖法――初步感知規律
規律是指事物之間的內在本質聯繫，是客觀存在的，不以人們的意志為轉移。找規律重在“找”，學生通過自主探索、動手操作來感知內在聯繫。教學“雞兔同籠問題”時，可用畫圖法來“找”規律、感知規律，這是規律教學的着力點。教學前，筆者先進行前測。前測題如下：
1. 雞兔同籠，從上面看共有3個頭，從下面看共有16條腿，雞、兔有幾隻？
2. 雞兔同籠，從上面看共有8個頭，從下面看共有26條腿，雞、兔各有幾隻？
據統計，一共收到52份前測卷，用畫圖解決的有35人，列算式的3人，列表的1人。第一題做對36人，第二題做對28人。顯然，畫圖是學生最喜歡用的方法，正因為學生有這樣的經驗，為“雞兔同籠”的規律教學奠定了基礎。雖然學生呈現的靜態圖一樣（見圖1），但在畫的過程中想法是不一樣的。筆者訪談了幾位學生，發現學生的方法不一：有的毫無計劃性，雞畫幾隻，兔畫幾隻，最後調整；有的對半分開畫，先畫雞兔各半，再調整；還有的先全部畫雞，多出來的腿按2條一組添上去變成兔。雖然學生畫的方法不一樣，但他們都經歷了“調整替換”的過程。畫圖是最直觀的解題方法，旨在通過畫圖中的有序思考發現、形成規律，並嫁接起列表法、假設法，教師必須放慢腳步，讓學生都來講講自己的畫法，在聆聽別人有序思考的基礎上初步感知規律，提升思維品質。
【教學片斷】
師：畫出來的結果都是這樣的，可畫的過程不一樣。
（畫法1：全是雞，一生畫並講解。）
師：再加2條腿，這隻雞發生了什麼變化？
（畫法2：全部是兔，或者是4只雞、1只兔）讓學生選擇一種喜歡的畫法，與同桌交流。
師：其實，還有很多畫法，有的學生直接畫成2只雞、3只兔，或者3只雞、2只兔，腿數不對再調整。像這樣的畫法就是先假設再調整，有的學生一次性替換，也有的逐只替換。
通過對前測中學生不同畫法的交流，可以發現學生對“雞兔同籠問題”的內在規律已經有了初步感知，替換一次多（少）2條腿。教師不能只教會學生一道題的解題思路和方法，而是要通過一道題類推到一類題，做到舉一反三、觸類旁通，幫助學生建立“雞兔同籠問題”的模型。例如，學生熟悉的摩托車和小汽車問題、龜鶴問題等，都與雞兔問題模型完全一致，能夠使學生很好地建立起聯繫。此外，讓學生通過畫圖感知“相差數都是2”，所以，調整替換的時候是2條腿。當變式“相差數是1”時，學生理解就有困難。筆者特意在解決摩托車和小汽車問題後設置三輪車和小汽車的問題，讓學生先畫一畫，充分感知“相差數是1”的規律，畫圖能讓學生非常直觀地感知到“調整替換”的就是兩個量的差，它是根據情境變化而變化的。
學生已經有了畫圖找規律的經驗，而“雞兔同籠問題”中頭數與腿數的變化規律隱含在替換過程中，學生通過畫圖才能直觀感知內在規律。所以，通過畫圖，可以幫助學生感知“雞兔同籠問題”用相差數替換的規律、發現形成規律、發展形象思維能力。
二、列表法――發現形成規律
列表能清晰地表示兩個量之間的數量關係，在變與不變中發現規律。從直觀的畫圖到半抽象的列表，有利於學生髮現、形成規律。通過畫圖，學生對“雞兔同籠問題”的規律已經有了初步感知，但此時的感知是粗淺的、零散的，需要整理、對比、分析，才便於學生髮現形成規律。
表格中的數據相對抽象，學生理解有一定難度，尤其是不明白每個數據表示的意思，見表1。相互交流時，很多學生一臉茫然，不知所云。於是，筆者拿出雞和兔的若干圖片，讓學生用調整替換的思想來擺一擺、説一説，在操作中感知替換的過程。
表1
【教學片斷】
師：大家能理解這個方法嗎，第一列是什麼意思呢？老師今天特意把兔和雞都請來了，看看它們怎麼變化。
生：把它們全部想成雞，5個頭，每隻雞2條腿，一共10條腿。
師：想一想，這時腿發生了怎樣的變化？
生：……
師：是啊，其實就是用兔子換了這隻雞，每換1只雞，多了……
生：2條腿。
師：這個時候，雞其實就是變成了……
生：兔。
師：一直到換到16條腿，為什麼不再換下去了？
生：……
就這麼簡單的擺一擺、換一換，將表中每個數據的含義詮釋得一清二楚，尤其是讓學生髮現了鄰近兩列數之間的變化規律：每換1只兔子就多了2條腿，真正理解了“2”表示的意義，它並非是雞的2條腿，而是1只雞和1只兔腿的差。這個替換的過程在畫圖時學生有了初步感知，但還有部分學生一知半解。因為畫的時候學生只關注腿的數量，而忽視了頭的變化。所以，將靜態的數據用動態的操作去支撐，更有利於對規律的理解，更有利於模型的建立，有利於學生逐步發現規律。除了理解表格中每個數據的含義，以及鄰近兩列數字的變化規律還不夠，學生只理解了逐只調整替換的過程，無法與一次性替換的畫法有效嫁接。所以，應在學生基本理解列表法的基礎上完成表格，並對錶格進行再度挖掘，引導學生髮現規律。
【教學片斷】
師：你能從表2中看到第一個同學的畫法嗎？
生：先全部畫雞，一共10條腿，發現還多6條腿……多了6條腿，要把3只雞替換成兔。因為每換1只多2條腿。
師：誰上來指一指，他講的是哪兩列數之間的關係？能從表2中看到其他畫法嗎？
生：……
表2
在這節課中，列表法並不是孤立的，它是在學生通過畫圖初步感知規律的基礎上發現形成規律的過程，這是必不可少的方法。1張表格由於觀察角度不同，學生看到的調整替換過程也不同，應引導學生與畫法相聯繫來分析表格中的數據，看懂每一種畫法，為弄清抽象規律、應用規律奠定基礎。在教學中，不僅要讓列表法與畫圖法相聯繫，便於學生更好地理解列表法，還要讓列表法與假設法相聯繫，為學生學習假設法打好基礎，成為發展學生思維能力的載體。
三、假設法――應用規律
學生對數學規律的學習，除了感知規律、發現形成規律外，更重要的是能運用規律解決一些實際問題。當“雞兔同籠問題”涉及的數據越來越大、越來越複雜的時候，學生越來越感覺到畫圖法和列表法的繁雜，同時，他們對其中的規律已經明晰，這時假設法便應運而生。運用假設法解決“雞兔同籠”問題，學生不難總結出如下規律：雞的只數=（頭的總個數×4-腳的總只數）÷（4-2），兔的只數=（腳的總只數-頭的總個數×2）÷（4-2）。運用這個數學模型，可以快速解決類似問題。數學建模是解決實際問題的一種思考方法，數學教師有責任讓學生學習和初步掌握數學建模的思想方法，從而更積極、主動地學習數學，使學生終身受益。
【教學片斷】
師：大家看，摩托車和小汽車其實與“雞兔同籠問題”類似。停車場有摩托車和小汽車共35輛車，（ ）個輪胎，摩托車和小汽車各有幾輛？輪胎數據就在下面3個數據之中：A. 56；B. 160；C. 94，你會選哪個？
生：A太少，如果全是摩托車，就有70個輪胎；B太多，如果全是汽車，最多140個輪胎。
師：也就是説，這個輪胎的數量比70多，比140少，於是選C。你們想到了剛才那道題目嗎？籠子裏有若干只雞和兔，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾隻？它們有什麼相同之處？
教師呈現算式，學生寫單位名稱。
教學內容：
人教版課程標準實驗教科書四年級下冊第103—105頁內容。
教學目標：
1、瞭解“雞兔同籠”問題，感受古代數學問題的趣味性。
2、嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題。
3、在解決問題的過程中培養學生邏輯推理能力。
教學重點：
嘗試用假設法解決“雞兔同籠”這類問題。
教學過程：
一、課前遊戲，導入課題。
二、創設情境，提出問題。
1、出示原題：
師：同學們，我們國家有着幾千年的悠久文化，在我國古代更是產生了許多位數學家和許多部數學著作。《孫子算經》就是其中一部，大約產生於一千***前，書中記載着這樣一道有名的數學趣題，讓我們一起去看看吧！
（電腦出示）今有雉兔同籠，上有***頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？
2、理解題意：
師：同學們，你們知道這道題的意思嗎？誰願意試着説一説！ 生：這道題的意思就是：今天有雞和兔在一個籠子裏，上面有35個頭，下面有94只腳，問雞和兔各有多少隻？
師：大家同意嗎？
（電腦出示）籠子裏有若干只雞和兔，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，雞和兔各有多少隻？（全班齊讀）
3、揭示課題：
師：這就是著名的‘雞兔同籠’問題，也是這節課我們要研究的問題。
三、自主探索，解決問題。
1、（出示例1）籠子裏有若干只雞兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳，雞和兔各有幾隻？
2、分析並理解題意：
（1）從上面數，有8個頭就是説雞和兔的頭一共有8個。 （也就是説雞和兔一共有8只。）
（2）從下面數，有26只腳就是説雞腳和兔腳總數一共是26只腳。
（3）問題是什麼？（雞和兔各有多少隻？）
3、猜一猜：隨學生猜想板書並驗證。
4、介紹列表法：
師：剛才我們是隨意猜的，其實我們還可以有順序的猜。“（電腦出示空的表格）
小結：這種按順序列表的方法我們稱之為列表法。這樣我們也就用列表法解決了這個問題。
5、介紹假設法：
當數字較大時，列表法就太麻煩了，能不能有其他更簡單的方法呢？請同學們仔細觀察表格，從表格中你能發現什麼？小組之間交流一下。
（1、）假設全是雞：在雞兔總只數不變的情況下，每增加一隻兔減少一隻雞，腳的只數就會增加2只。同學們，想想看我們應該增加幾隻兔，腳的只數會變成26只腳。同學們這個過程你們能用算式表示出來嗎？請同學們試着用算式表示看看。
（2、）假設全是兔：先我們用假設全是雞的辦法解決了這個問題，現在假設全是兔有應該怎麼分析和解決這個問題呢？同學們可以同桌邊討論邊寫算式？
小結：剛才通過列表法我們想到了兩種算術方法。回頭看看這兩種方法的第一步，一個是假設全是雞，一個假設全是兔。我們把這兩種方法起個名字？板書（假設法）
6、介紹孫子算經（抬腳法）
四、課堂練習。
課本做一做“龜鶴問題”
五、課堂小結。
這節課你學到了什麼？
板書設計
雞兔同籠猜想法 列表法 假設法 抬腳法
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