《找次品》教學設計

第8單元數學廣角

——《找次品》教學設計

本單元以“找次品”這一探索性操作活動為載體，讓學生通過觀察、猜測、試驗等方式探索解決問題的策略。同時，進一步理解隨機事件，感受解決問題策略的多樣性和優化思想，培養觀察、分析、邏輯推理的能力，並學習如何用直觀的方式清晰、簡潔、有條理地表示邏輯推理過程。首先，教科書從最簡單的問題（3瓶鈣片）入手，讓學生討論找次品的方法，通過用天平直觀演示，説明基本推理過程：如果天平平衡……如果天平不平衡……，引導學生用直觀方式記錄找次品的思維過程，瞭解找次品的基本思路。

在此基礎上，從8個零件中找出1個次品（重一些），探索找次品的一般方法。教科書通過“直觀圖”示例引導，啟發學生將推理的過程用直觀、簡潔的方式表示出來，並通過問題給出探索的線索，幫助學生找出稱的次數最少的方法，進行歸納、驗證，概括出找次品的最優方法。

本單元的教學重難點是理解並解決簡單的“找次品”問題，充分經歷“比較——猜測——驗證”的過程，歸納出“找次品”的最優策略，感知邏輯推理的數學思想方法。需要説明的是，用天平找次品，並不是一定要通過天平稱，而是利用天平平衡原理，通過邏輯推理確定次品。

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學生在本單元學習之前很少接觸“找次品”問題，沒有相關的學習與生活經驗，而教科書中的“次品”與日常生活中提到的“次品”有所不同。本單元的次品是指從外表看完全相同的物品，其中重一些或輕一些的那一個就是“次品”。所以首先要讓學生理解什麼是“次品”。

從知識層面上看，學生已經會進行初步的分析推理，能在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果。但是學生是第一次接觸用“直觀圖”表示推理的過程，學起來還是有難度。

1.讓學生認真讀題，充分理解“找次品”的意思，瞭解“正品”“次品”的含義。説理時，引導學生儘量用規範的語言“如果天平平衡……如果天平不平衡……”來表述，並理解這是兩種情況。在此基礎上，讓學生把推導的過程用直觀圖或流程圖輔以文字説明記錄下來，這一點尤其重要。

2.讓學生充分經歷“比較——猜測——驗證”的探究過程，理解找次品的最優策略。“至少稱幾次能保證找出次品”是理解的難點，這裏要讓學生理解“能保證”是指每一種可能的情況都要考慮，“至少”就是指在保證一定能找出次品的各種方法中稱量次數最少的那種方案。在找次品的過程中，允許學生藉助直觀學具推理；用直觀圖或流程圖直接推理；口頭敍述。讓學生多“説過程”，通過説體會到“儘可能將待測物品平均分成三份”的最優策略，培養邏輯推理能力。

第1課時 找次品（1）

▷教學內容

教科書P111~112例1、例2及“做一做”，完成教科書P113“練習二十七”中第1題。

▷教學目標

1.初步理解找次品的含義，明確找次品的基本思路，探索找次品的一般方法。

2.經歷觀察、猜測、試驗、推理等活動，探索解決問題的策略，滲透優化思想，感受解決問題策略的多樣性，培養觀察、分析、推理的能力。

3.經歷解決簡單問題的過程，初步培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。

▷教學重點

尋找用天平原理找次品的最優方案。

▷教學難點

經歷找次品的過程，掌握找次品的方法，體驗最優方案的原理。

▷教學準備

課件，天平，3瓶未拆封的鈣片，每名學生5張撲克牌，記錄單。

▷教學過程

一、創設現實情境，生成問題

教師出示3瓶外觀一樣的鈣片。

師：同學們，看看我手上有什麼？它們是一樣的嗎？

【學情預設】從外觀看，有的學生初步確定是一樣的;也有的學生可能想到，僅僅從外觀看，還不能確定是否一樣。

師：看來同學們不僅會觀察，還有批判性思維，真棒！

師：老師手中這3瓶鈣片，看起來是一樣的，但其實是有一瓶少了一些。生活中常常有一些看似完全相同的物品中混着一個質量不同的物品（重一點或輕一點），需要想辦法把它找出來，我們把這類問題稱為找次品問題。[板書課題：找次品（1）]

【設計意圖】利用學生熟悉的物品，通過外觀一樣而裏面不一樣，激發學生的思維，引導學生用數學的眼光看問題。

二、經歷探究過程，領會找次品的基本思路

1.認識天平。

教師出示實物天平，認識天平。

師：同學們，認識這個工具嗎？你們會使用天平嗎？如果天平平衡説明什麼？

【學情預設】在此之前，學生已經接觸過天平，認識了天平的組成部分。在這裏教師應重點引導學生理解，天平兩邊平衡説明兩邊的物體同樣重，哪邊的托盤向下，就説明那邊的物體稍重，反之則稍輕。

2.從3瓶鈣片中找次品，感悟找次品的基本思路。

課件出示教科書P111例1。

◎教學筆記

【教學提示】

可以讓學生用雙手演示天平，表演重的一端向下。教師喊“右邊重”“左邊重”“一樣重”等口令，學生演示。

師：運用天平，怎樣才能很快地找出哪一瓶是次品呢？誰來説説你的想法？

師：大家覺得這種方法怎麼樣？還有別的方法嗎？

師：那要怎麼稱？稱幾次就能找出這瓶次品呢？

師：誰明白他的意思？能上來再演示一下嗎？

學生上講台邊説邊演示。

師：你們的想法真好，因為天平有兩個托盤，次品的位置只有兩個托盤上和天平外三個地方，用天平稱一次就能確定次品在什麼位置，所以從三瓶鈣片中找次品時平均分成三份，不僅天平左右兩邊的兩瓶參與了比較，天平外的那瓶也參與了比較。

【學情預設】此時學生可能會想到用手掂一掂、倒出來數一數等方法。面對這些方法，學生也可能會提出用手掂並不準確，而倒出來數又不衞生，如果學生未能想到這些，教師要引導學生分析這些方法的不合理性。

師：你們還有別的方法嗎？

【學情預設】有的學生可能會説用有砝碼的天平一個一個去稱，2次可找到，也有的學生可能會説用沒砝碼的天平來稱，1次可找到。

【設計意圖】讓學生藉助已有的生活經驗去尋找找次品的方法，進而引出用天平稱的方法，這樣的設計既順應了學生的思維，又調動了學生的積極性。

（2）用直觀的方式表達推理過程。

師：同學們的推理過程很清晰，我們可以用直觀圖將這個過程表示出來。

師：為了能清楚地表述，我們分別用數字卡片1、2、3代表這3瓶鈣片。

師：先把1、2放在天平的兩邊，會有幾種情況呢？

【學情預設】學生會説有兩種情況，平衡或不平衡；也有學生可能會説，有三種情況：第一種平衡，第二種左邊輕一些，第三種右邊輕一些，此時教師引導學生歸納，不管哪邊輕一些，都是不平衡。

師：這兩種情況，我們可以這樣表示。[板書：]

師：如果平衡，能得到什麼結論？如果不平衡，又能得到什麼結論？

學生小組內交流後派代表發言。

結合學生的發言，教師完善板書：

師：同桌之間互相説説這個推理過程。

（3）梳理過程。

課件邊呈現推理過程，學生邊跟着一起説。

師：需要稱幾次才能找出次品？（稱1次就可以找到次品。）

【設計意圖】由簡單的數據開始，讓學生經歷分析推理的過程，並掌握基本的思路和表達方法。

3.自主探索從5瓶鈣片中找出次品，理解“至少”“保證”的含義。

（1）學生自主嘗試。

師：如果5瓶鈣片中有一瓶是次品(次品輕一些)，用天平至少稱幾次能保證找到次品？

◎教學筆記

【教學提示】

從3瓶鈣片中找出一瓶次品，相對比較簡單，但其中的推理和表示方法很重要。所以一定要讓每位同學都説清楚推理過程，掌握一定的表達方法。

請同學們獨立思考，用手中的撲克牌擺一擺，並將找次品的過程清楚地表示出來。完成的同學同桌間交流一下找的方法。

師：能邊説邊將你找次品的過程在黑板上表示出來嗎？

【學情預設】有了前面從3瓶中找次品的經驗，學生會用天平的形式來表示。學生會想出多種找出次品的方法，並將從5瓶鈣片中找次品的過程展示出來：5(1,1,1,1,1)；5(1,1,1,2)；5(2,2,1)；5(1,1,3)。但是由於要考慮到多種可能，有的學生可能會考慮不全面。

預設1：分成3份。（2，2，1）

稱2次

預設2：分成3份。（1，1，3）

稱2次

預設3：分成5份再稱。（1，1，1，1，1）

預設4：分成4份再稱。（1，1，1，2）

（2）理解“至少”“保證”。

師：這裏有的時候1次就能找出次品，為什麼至少要稱2次呢？

【學情預設】學生會説，1次是運氣比較好，不能保證找出次品。

師：同學們用不同的方法找出了5瓶鈣片中的次品，老師看見這些方法的不同主要是因為一開始分的份數不同。如果每次畫天平，都很麻煩，我們可以這樣簡潔表示。

教師邊説邊板書：5(1,1,1,1,1)2次；5(1,1,1,2)2次；5(2,2,1)2次；5(1,1,3)2次。

師：整體觀察，應該怎麼分保證能找到次品稱的次數最少？至少應稱幾次？

師：分的份數不同，但都是至少稱2次就能保證找到次品，誰能解釋這其中的道理？

【學情預設】面對這樣的問題，可能有的學生在理解上會有些困難，教師要讓學生説出自己的想法，如果學生實在無法解釋，教師要引導學生繼續去感受和理解：當天平左右兩邊各放1瓶鈣片時，無論分成5份還是4份，天平外都是3瓶鈣片，和5(1,1,3)這種情況是一樣的，次品的位置同樣只有兩個托盤和天平外三個地方。

【設計意圖】呈現不同的解決策略，在多樣的方法中找到共同的規律。加深對“至少”“保證”的理解。通過不同方法的交流、對比，讓學生感受到解決問題的方法的多樣性，初步感悟分成的份數與稱的次數之間的關係。

4.探索從8瓶鈣片中找次品，掌握找次品的最優策略。

課件出示教科書P112例2。

師：同桌之間研究一下，看能不能也用剛才的符號或方法來解決，將探索情況填在記錄單上，如果實在有困難的話也可以擺一擺。

◎教學筆記

【教學提示】

學生的方法有很多，教學時要照顧到不同的方法，特別是錯誤的方法，要引導學生分析，錯在哪裏，為什麼錯，該如何更正。

【學情預設】有了前面找次品的經驗方法，學生會很自然地將之前的方法遷移過來，但不排除還有部分學生存在困難，所以教師提醒學生實在有困難的話也可以擺一擺，儘可能讓每一位學生都能掌握基本的方法。

師：哪個組來説説你們研究的情況？

學生彙報，教師完善表格。

師：現在我們靜下心來，靜靜地觀察表格並回顧剛才的研究過程，你能發現什麼？

師：師：從8個零件中找1個次品時很多同學都分成了3份，但只有分成3個、3個和2個時才能保證找出次品稱的次數最少，結合表格中的數據，誰能分析一下？

學生交流反饋。

教師根據學生反饋板書：8（1,1,1,1,1,1,1,1）4次；8（2,2,2,2）3次；8（3,3,2）2次；8（4,4）3次。

師：如果9瓶鈣片中有1個是次品(次品輕一些)，至少稱幾次能保證找到次品？是怎麼稱的？

學生思考，小組交流。

【學情預設】學生會發現將8瓶鈣片分成3份，每份分別為3瓶、3瓶和2瓶時，保證找出次品稱的次數最少。同樣是分成三份，為什麼這種分法保證找出次品稱的次數最少呢？

【設計意圖】本環節是在學生動手操作的基礎上，將學習的主動權繼續交給學生，讓學生將自己的研究成果展示在同伴面前。在學生彙報的過程中，可能又會有不同的意見出現：對於從8瓶中找一瓶次品時很多同學都分成了3份，但只有分成3瓶、3瓶和2瓶時，保證找出次品稱的次數最少。這將會再次引發學生的二次研究，促使學生對研究成果不斷進行修正。

5.驗證發現。

師：用你發現的方法算一算，要找出10個、11個、12個零件中的1個次品(次品重一些)，看看是不是平均分成3份保證找出次品稱的次數也是最少的。

學生獨立驗證並交流。

師小結：經過研究、驗證，我們發現，平均分成3份找次品，保證找到次品稱的次數最少，不能平均分成3份的，要把餘下的平均分到各組。

師：回頭想想，我們是用了哪些方法得出了這樣的結論？

【設計意圖】學生只有在經歷知識形成的過程中所掌握的知識和方法才是鮮活的、可遷移的，學生的數學素質才能得到質的飛躍。所以在本環節教師需要引導學生進行了數學學習方法的小結，讓學生感受到結論的得出依託於數學學習方法，將這些學習方法也可以滲透到學生今後的數學學習中。

三、實踐應用，加深理解

1.課件出示教科書P113“練習二十七”第1題。

學生獨立解答後小組內交流。

2.課件出示教科書P112“做一做”。

◎教學筆記

【教學提示】在教學時，教師要設計問題，引導學生進行推理。

學生獨立完成，交流反饋。

【學情預設】在學生掌握了基本方法後，很多學生直接運用規律，不進行推理。

四、課堂小結

師：同學們，這節課就要結束了。你今天學了些什麼？

師：學了今天的知識能幫我們解決什麼問題呢？

▷板書設計

5（1，1，1，1，1，）2次8（1，1，1，1，1，1，1，1）4次

5（1，1，1，2）2次8（2，2，2，2）3次

5（2，2，1） 2次8（3，3，2） 2次

5（1，1，3） 2次8（4，4）3次

▷教學反思

教學設計中，考慮到學生通過操作過程總結出方法比較困難，而從3瓶中找次品，稱一次就可以找到，從8瓶中找次品數據相對又比較大，所以增加了從5瓶中找次品這個環節，分解難點，在較小數據中理解思路，掌握方法。所以到後來找8瓶中的次品時，直接填表格，學生相對比較容易接受。

另外，從3瓶中找出1瓶次品，對於學生來説，得到這個結論不是很難。但是在表述時，因為出現了“如果……”，這個跟以前的單一性結論和過程有很大的區別的説法，所以學生在理解上還是有一定難度，特別是後面的從5瓶鈣片中找出1瓶次品時，學生很難表述清楚，之後還需要加強學生的語言表達能力，幫他們理順思路。

▷作業設計

見“狀元成才路”系列叢書《創優作業100分》對應課時作業P68第一、三題。

一、有3個零件，其中1個是次品，比其他零件略重，請你用天平稱量的方法找到次品，並記錄下來。

三、有4瓶同樣的降壓藥。

1. 用天平稱一稱，找出已經吃了的那一瓶，用表示稱的過程。（可以用①、②、③、④代表這4瓶降壓藥）

◎教學筆記

2.至少稱幾次可以保證找出吃了的那一瓶？

參考答案

一、③①1

三、2.至少稱兩次可以保證找出吃了的那一瓶。

◎教學筆記