怎麼證明平行四邊形

第一篇：怎麼證明平行四邊形

怎麼證明平行四邊形

在平行四邊形abcd中，ae，cf，分別是∠dab、∠bcd的平分線，e、f點分別在dc、ab上，求證：四邊形afce是平行四邊形

證明：∵四邊形abcd為平行四邊形;

∴dc‖ab;

∴∠eaf=∠dea

∵ae，cf，分別是∠dab、∠bcd的平分線;

∴∠dae=∠eaf;∠ecf=∠bcf;

∴∠eaf=∠cfb;

∴ae‖cf;

∵ec‖af

∴四邊形afce是平行四邊形

1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形2、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形3、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形4、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

2

1.畫個圓，裏面畫個矩形2.假設圓裏面的是平行四邊形3.因為對邊平行，所以4個角相等4.平行四邊四個角之和等於360，5.360除以4等於906.所以圓內平行四邊形為矩形..

3判定(前提：在同一平面內)(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(4)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)兩組對角分別相等的四邊形為平行四邊形(注：僅以上五條為平行四邊形的判定定理，並非所有真命題都為判定定理，希望各位讀者不要隨意更改。)(第五條對，如果對角相等，那麼鄰角之和的二倍等於360°，那麼鄰角之和等與180°，那麼對邊平行，(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)所以這個四邊形是平行四邊形)編輯本段性質(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)(1)平行四邊形對邊平行且相等。(2)平行四邊形兩條對角線互相平分。(3)平行四邊形的對角相等，兩鄰角互補。(4)連接任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。(推論)(5)平行四邊形的面積等於底和高的積。(可視為矩形)(6)過平行四邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。(7)對稱中心是兩對角線的交點。

1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

第二篇：證明平行四邊形

證明平行四邊形

如圖，分別以rt△abc的直角邊ac及斜邊ab向外作等邊△acd、等邊△abe。已知∠bac=30º，ef⊥ab，垂足為f，連結df。

求證：四邊形adfe是平行四邊形。

設bc=a,則依題意可得：ab=2a,ac=√3a,

等邊△abe,ef⊥ab=>af=1/2ab=a,ae=2a,ef=√3a

∵∠daf=∠dac+∠cab=60°+30°=90°,ad=ac=√3a,∴df=√(ad²+af²)=2a

∴ae=df=2a,ef=ad=√3a=>四邊形adfe是平行四邊形

1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形2、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形3、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形4、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

2

1.畫個圓，裏面畫個矩形2.假設圓裏面的是平行四邊形3.因為對邊平行，所以4個角相等4.平行四邊四個角之和等於360，5.360除以4等於906.所以圓內平行四邊形為矩形..

3判定(前提：在同一平面內)(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(4)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)兩組對角分別相等的四邊形為平行四邊形(注：僅以上五條為平行四邊形的判定定理，並非所有真命題都為判定定理，希望各位讀者不要隨意更改。)(第五條對，如果對角相等，那麼鄰角之和的二倍等於360°，那麼鄰角之和等與180°，那麼對邊平行，(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)所以這個四邊形是平行四邊形)編輯本段性質(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)(1)平行四邊形對邊平行且相等。(2)平行四邊形兩條對角線互相平分。(3)平行四邊形的對角相等，兩鄰角互補。(4)連接任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。(推論)(5)平行四邊形的面積等於底和高的積。(可視為矩形)(6)過平行四(收藏好 範 文，請便下次訪問)邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。(7)對稱中心是兩對角線的交點。

性質9(8)矩形菱形是軸對稱圖形。(9)平行四邊形abcd中(如圖)e為ab的中點，則ac和de互相三等分，一般地，若e為ab上靠近a的n等分點，則ac和de互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形。(10)平行四邊形abcd中，ac、bd是平行四邊形abcd的對角線，則各四邊的平方和等於對角線的平方和。(11)平行四邊形對角線把平行四邊形面積分成四等分。(12)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形。(13)平行四邊形中，兩條在不同對邊上的高所組成的夾角，較小的角等於平行四邊形中較小的角，較大的角等於平行四邊形中較大的角。(14)平行四邊形中,一個角的頂點向他對角的兩邊所做的高，與這個角的兩邊組成的夾角相等。編輯本段平行四邊形中常用輔助線的添法一、連接對角線或平移對角線。二、過頂點作對邊的垂線構成直角三角形。三、連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構成線段平行或中位線。四、連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造相似三角形或等積三角形。五、過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等。編輯本段面積與周長1、(1)平行四邊形的面積公式：底×高(推導方法如圖);如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四邊形面積，則s平行四邊=ah(2)平行四邊形的面積等於兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值;如用“a”“b”表示兩組鄰邊長，@表示兩邊的夾角，“s”表示平行四邊形的面積，則s平行四邊形=ab*sin@2、平行四邊形周長可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四邊形周長，則平行四邊的周長c=2(a+b)底×1x高

第三篇：證明平行四邊形

證明（三）平行四邊形導綱

一、引入：

平行四邊形的定義：

a

平行四邊形定義的應用：b⑴∵ab∥cd，ad∥bc

∴四邊形abcd是⑵∵四邊形abcd是平行四邊形 ∴二、自主探究：

證明：平行四邊形的對邊相等，對角相等。已知： □abcd（如圖）

求證:ab=cd,bc=da;∠b=∠d,∠bad=∠dcb 證明：∵四邊形abcd是平行四邊形

∴

d

ab

d

三、性質應用：

1 .在□abcd中，已知∠a =32。，求其餘三個角的度數 解：∵四邊形abcd是平行四邊形∴

d

2. 已知在□ abcd中ab=6cm,bc=4cm,求□ abcd 的周長。解：∵四邊形abcd是平行四邊形∴

3.連結ac，已知□abcd的周長等於20 cm， ac=7 cm，求△abc的周長。

c

b

a

四、小組合作探究：

證明：平行四邊形的對角線互相平分

五．總結性質：

a d

d

b

c

六、鞏固練習：

1.已知o是□ abcd的對角線交點，ac=10cm，bd=18cm

，ad=?12cm，則△boc?的周長是_______

2. 如圖所示，平行四邊形abcd的對角線相交於o點，且ab≠bc，過o點作oe⊥ac，交bc於e，如果△abe的周長為b，則平行四邊形abcd的周長是（）。

a. b b. 1.5bc. 2bd. 3b

ad

bec

七、學以致用：

證明:夾在兩條平行線間的平行線段相等。

八、鞏固練習：

1、已知：如圖平行四邊形abcd，e,f是直線bd上的兩點，且∠e= ∠f。求證：ae=cfc

2、已知：如圖，□abcd的對角線ac，bd相交於點o,過點o的直線與ad,bc分別相交

於點e,f. d 求證:oe=of.

b

f

九、自我檢測：

1.在□abcd中，∠a= 50 ?，則∠°

2.如果□abcd中，∠a+∠c=240°，則∠°

3.如果□abcd的周長為28cm，且ab：bc=2∶5，那麼，cm， cm，．

3、已知:如圖,ac,bd是□abcd的兩條對角線,且ae⊥bd,cf⊥bd,垂足分別為e,f,

求證:ae=cf.

b

十、能力提高： 4、已知:在□abcd中,點e,f在對角線ac上,且af=ce.

d

線段be與df之間有什麼關係?請證明你的結論.

a

若去掉題設中的af=ce,請添加一個條件使be與df有以上同樣的性質. b

第四篇：命題與證明 平行四邊形 教案

《命題與證明》

1、 定義（一般地，能清楚地規定某一名稱或術語意義的句子叫做該名稱或術語的定義）

2、 命題（一般地，判斷一件事情的句子叫做命題）命題是一個“判斷句”，判斷“是”或“非”．其中正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題，如“對頂角相等”是真命題，“相等的角是對頂角”是假命題.注意：(1)命題是語句，而且必須是能判斷正確和錯誤的句子． (2)錯誤的命題也是命題．

過直線外一點做一條直線與已知直線垂直。

過直線外一點做一條直線，要麼與已知直線相交，要麼與已知直線平行。

3、每個命題是由條件（題設）和結論（題斷）兩部分組成．條件是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，命題常寫成“如果……那麼……”的形式．一般形式是“如果p，那麼q”，其中用“如果”開始的部分是條件，用“那麼”開始的部分是結論．（判斷清楚哪些是條件，哪些是結論）

寫成“如果，那麼”的形式

①在同一個三角形中 等角對等邊

②角平分線上的點到角兩邊的距離相等

③同角的餘角相等

3、 公理、定理、推論

人們在長期實踐中檢驗所得的真命題，並作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做公理．如“過兩點有且只有一條直線”；“兩點之間，線段最短”等等．有些命題的正確性是通過推理證實的，並被選定作為判定其它命題真假的依據，這樣的真命題叫定理．由公理、定理直接得出的真命題叫做推論． 如 三角形內角和定理三角形的內角和等於180°．

推論1 直角三角形的兩鋭角互餘．

推論2 三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和．

推論3 三角形的一個外角大於與它不相鄰的任何一個內角．

4、 證明真命題的方法

根據題設、定義、公理、定理等，經過邏輯推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫證明.證明一個真命題一般按以下步驟進行：

（1）審題，分清命題的條件與結論.

（2）畫圖，依題意畫出圖形，畫圖時應做到圖形正確且具有一般性，切忌將圖形特殊化.

（3）寫“已知”“求證”，按照圖形，分析、探求解題思路，然後寫出證明過程，證明的每一步都要做到敍述清楚，而且要有理有據.

5、 證明假命題的方法

證明一個命題是假命題，只需舉一個“反例”即可，也就是舉出一個符合命題的條件而不符合結論的例子. 用反證證明下列命題是假命題

有一條邊、兩個角相等的兩個三角形全等

任何三條線段都能組成三角形

6、 重難點及歸納

①命題的理解：本節的一個難點是找出一個命題的題設和結論，它是後面證明中，書寫已知求證的基礎，對那些條件結論不明顯的命題．應在學習中多練，必要時結合圖形來區分．例如命題“如果兩條直線和

第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行”，其中“兩條直線和第三條直線平行”是條件，“這兩條直線也平行”是結論．再如命題，“對頂角相等”，它的條件和結論不明顯，應將它改成“如果兩個角為對頂角，那麼這兩個角相等”，再指出條件和結論．

②定義、命題、公理和定理之間的聯繫與區別

這四者都是句子，都可以判斷真假，即定義、公理和定理也是命題，不同的是定義、公理和定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據，只不過公理是最原始的依據，而命題不一定是真命題，因而它不一定能作為進一步判斷其他命題真假的依據．

③證明真命題的方法和步驟，難點是分析證明思路，有條理地寫出推理過程．

④三角形內角和定理的三個推論常用來求角的大小和進行角的比較．

7、 證明的思路： ①從已知出發，推出可能的結果，並與要證明的結論比較，直至推出最後的結果。②從

要證明的結論出發，探索要使結論成立，需要什麼條件，並與已知條件對照，直到找到所需要的並且是已知的條件。

探索證明：在三角形的內角中，至少有一個角大於或等於60度

9、用反證法（證明的思路如何，苦李子的故事）

用反證法證明命題，一般有三個步驟：

反設 假設命題的結論不成立（即假設命題結論的反面成立）

歸謬 推出矛盾（和已知或學過的定義、定理、公理相矛盾，或者與假設所推出的任何一個已知相矛盾） 結論 從而得出命題結論正確。

例如用反證法證明：

在同一個平面內，如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。

在三角形的內角中，至少有一個角大於或等於60度

例1兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩直線平行

已知：如圖∠1＝∠2a1b

求證：ab∥cd

證明：設ab與cd不平行c2d

那麼它們必相交，設交點為md

這時，∠1是△ghm的外角a1

∴∠1＞∠2g這與已知條件相矛盾2

∴ab與cd不平行的假設不能成立h

∴ab∥cdc

例2.求證兩條直線相交只有一個交點

證明：假設兩條直線相交有兩個交點，那麼這兩條直線都經過相同的兩個點，這與“經過兩點有且只有一條直線”的直線公理相矛盾，所以假設不能成立，因此兩條直線相交只有一個交點。

（從以上兩例看出，證明中的三個步驟，最關鍵的是第二步——推出矛盾。但有的題目，第一步“反設”也要認真對待）。

例3.已知：m2是3的倍數，求證：m 也是3的倍數

例4.求證：2不是有理數

《平行四邊形》

1、 四邊形的定義

2、 定理：四邊形的內角和等於360度

推論：四邊形的外角和等於360度

n邊形的內角和外角和（為什麼）

正五邊形能鑲嵌平面嗎（為什麼）

單獨和鑲嵌平面的正多邊形有哪幾種？為什麼只有這幾種？

（2014浙江省，8，3分）如圖，在五邊形abcde中，∠bae=120°, ∠b=∠e=90°，ab=bc，ae=de，在bc，de上分別找一點m,n，使得△amn的周長最小時，則∠amn+∠anm的度數為（）（如何作輔助線，培養感覺）

a. 100°b．110°c. 120°d. 130°

3、 平行四邊形的定義性質

定理：平行四邊形的對角相等

定理1：平行四邊形的兩組對邊分別相等。

推論1：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

推論1：夾在兩條平行線間的垂線段相等。

定理2：平行四邊形的對角線互相平分。

4、 中心對稱圖形定義 對稱中心

性質：對稱中心平分兩個對稱點的線段。（在平面直角座標系中，點（x，y）關於原點對稱的點的座標是多少？為什麼？）

5、 平行四邊形的判定

①定義②定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形③定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形④定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

6、三角形的中位線定理（如何證明？）

7、逆命題與逆定理

兩個命題，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，第一個命題的結論是第二個命題的題設，那麼這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那麼另一個叫做它的逆命題。 每個命題都有逆命題。每個定理都有逆命題。如果一個定理的逆命題也是定理，那麼這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理。

因此，每個命題有逆命題；每個定理有逆命題，但不一定有逆定理。

1. （2014浙江金華，15，4分）如圖，在□abcd中，ab＝3，ad＝4，∠abc＝60°，過bc的中點e作ef⊥ab，垂足為點f，與dc的延長線相交於點h，則△def的面積是

.

3. （2014四川成都，20,10分） 如圖，已知線段ab∥cd，ad與bc相交於點k，e是線段ad上一動點.

5cd1

(1)若bk=2kc，求ab的值；(2)連接be，若be平分∠abc，則當ae=2ad時，猜想線段ab、

bc、cd三者之間有怎樣的等量關係?請寫出你的結論並予以證明．再探究：當ae=nad (n?2)，而其餘條件不變時，線段ab、bc、cd三者之間又有怎樣的等量關係?請直接寫出你的結論，不必證明．

6、如圖，已知△abc中，?abc?45， f是高ad和be的交點，cd?4，則線段df的長度為（）.

a

．b． 4c

．d

．

?

第五篇：命題與證明 平行四邊形練習

典型例題剖析

例1、將下列各句改寫成“如果……，那麼……”的形式．

（1）對頂角相等；

（2）等角的餘角相等；

（3）垂直於同一條直線的兩條直線互相平行；

（4）同旁內角互補，兩直線平行；

分析：

省略掉詞語的命題通常採取仔細分析，把省略掉的詞語重新補上，或根據命題畫出準確圖形，再根據圖形，把命題完整寫出來，根據這些方法研究，我們便可着手改寫了．

解：

（1）如果兩個角是對頂角，那麼這兩個角相等；

（2）如果兩個角是等角的餘角，那麼這兩個角相等；

（3）如果兩條直線都和第三條直線垂直，那麼這兩條直線互相平行；

（4）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那麼這兩條直線平行；

例2、指出下列命題的條件部分和結論部分

（1）直角都相等；

（2）互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直；

（3）直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短；

（4）大於90°而小於180°的角是鈍角；

（5）兩個角的和等於平角時，這兩個角互為補角．

分析：

解答這類問題，必須弄清命題由哪兩部分組成，進一步弄明白條件與結論所表示的意思．便可找出條件與結論．對省略掉詞語的命題應先設法補上，再着手找題設與結論．命題的條件與結論不好用文字敍述時，要用符號寫出條件和結論，但必須説明符號所表示的意義．

解：（1）條件：兩個角都是直角；

結論：這兩個角相等．

（2）條件：互為鄰補角的兩個角的兩條平分線；

結論：這兩條角平分線互相垂直．

（3）條件：直線外一點與直線上各點連結的所有線段；

結論：垂線段最短．

（4）條件：90°＜∠

結論：∠＜180°； 是鈍角．

（5）條件：兩個角的和等於平角；

結論：這兩個角互補．

例3、判斷下列命題的真假，如果是假命題，請説明理由．

（1）兩點之間，線段最短．

（2）如果一個數的平方是9，那麼這個數是3．

（3）同旁內角互補．

（4）過一點有且只有一條直線與已知直線平行．

（5）如果a＋b=0，那麼a=0，b=0．

（6）兩個鋭角的和是鋭角．

分析：

要判定一個命題是假命題，只要舉出一個例子（反例）即可．於是以上各題真假便眉目分明瞭． 解：

（1）真命題，這是關於線段的一個公理．

（2）假命題，因為一個數的平方是9，這個數也可能是－3．

（3）假命題，任意二條直線被第三條直線所截，都有同旁內角產生，只有兩條平行線被第三直線所截，才有同旁內角互補的結論．

（4）假命題，如果這個點在已知直線上，就無法作出一條直線與已知直線平行．

（5）假命題，如果a=2，b=－2，2＋(－2)=0，但a＝2≠0，b=－2≠0．

（6）假命題，如60°和50°的角都是鋭角，但它們的和是鈍角．

例4、區分下列語句中，哪些是定義，哪些是公理，哪些是定理：

（1）經過兩點有一條直線，並且只有一條直線；

（2）兩點之間，線段最短；

（3）有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角；

（4）對頂角相等；

（5）垂線段最短．

分析：

只要理解定義，公理，定理的意義，便可一一區分誰是定義，誰是公理，誰是定理．

解：(1)、(2)是公理；(3)是定義；(4)、(5)是定理．

例5、完成以下證明，並在括號內填寫理由：

已知：如圖所示，∠1=∠2，∠a=∠3.

求證：ac∥de.

例6、如下圖，∠acd是△abc的外角，be平分∠abc，ce平分∠acd，且be、ce交於點e

．求證：

．

例7、如圖，ce是△abc的外角∠acm的平分線，ce交ba的延長線於點e，試説明∠bac＞∠b成立的理由

.

例8、已知：如圖ad為∠abc的角平分線 e為bc的中點過e作ef∥ ad，交ab於m，交ca延長線於f。 cn∥ ab交fe的延長線於n。

求證：

bm=cf

例9、求證：沒有一個有理數的平方等於3

例10、求證：三角形的三條邊的垂直平分線交於一點

例11、求證：等腰三角形的底角是鋭角