怎麼證明兩條線平行

第一篇：怎麼證明兩條線平行

怎麼證明兩條線平行

假如不平行，就會有一個焦點，那麼這個焦點和兩個垂足會構成一個三角形，這個三角形的內角有2個90度，那麼內角和就比180度大了，所以是錯的，所以……

設線段為ab，垂直於ab的兩條線為cd，ef，分別交ab於g，h點

假設cd，ef不平行，則他們會有交點，設為o點，

則圖中有三角形ogh出現，又og和oh都垂直於ab，所以〈ogh=90度，〈ohg=90度，〈ogh+〈ohg+〈goh必定大於180度，而三角形內角和卻是180度，於事實矛盾，所以垂直於同一條線段的兩條線相互平行.

假設，垂直於直線l的兩條直線a,b相交於直線l外一點a。

直線a在直線l上的垂足為m,直線b在直線l上的垂足為n，則點a,m,n組成三角形。

因為直線a,b垂直於直線l，所以，角amn與角anm為90度，

這與三角形定義相矛盾

所以，垂直於同一條線段的兩條線相互平行.

不妨設：垂直於同一條線段的兩條線不平行，那麼，這兩條直線必定有一個交點o，所以，這三條直線必定會組成一個三角形，那麼角o必定是一個存在的角(即角o有實際度數)那麼根據在三角形中一個外角等於不相鄰的兩內角的和，(因為兩條直線垂直於同一條直線，所以)外角=90°，其中不相鄰的一個內角也為90°，那麼90°+角o(存在的角度)=90°，是不成立的，因此：垂直於同一條線段的兩條線相互平行

假設是ab和cd，不妨令ab

把他們放在平行的位置

連接ac和bd並延長交於e

則在ab上任取1點f，連接ef和cd都有唯一的交點

反之，在cd上任取1點g，連接eg和ab都有唯一的交點

即兩線段上的點可以建立一一對應的關係

所以點數相同

用兩條直線將一個平行四邊形分成面積相等的4份有無數種分法。

最常用的兩種用尺規法分割的方法是：

(1)、連接兩條對角線。兩條對角線分割成的4部分就是面積相等的4部分。

(2)、找出四條邊的中點，分別連接相對兩邊的中點。這兩條相交直線分割成的4部分就是面積相等的4部分。

以上兩種方法是用尺規法可以完成的，還有無數種分割法比較複雜，原理是這樣的：

連接兩條對角線後找到它們的交點o，過o作任意直線分平行四邊形為兩份。

不難發現這兩部分是面積、形狀完全相等的兩個梯形。

過o作其中一個梯形的中位線，那麼梯形被分成面積不相等的兩份(注意，是不相等的兩份)。

假設中位線與梯形另一邊(即原平行四邊形的一邊)的交點是動點，那麼當這個動點在向梯形較長底邊運動的過程中，原本面積較大的部分面積逐漸減小，而原本面積較小的部分面積逐漸變大。當運動到某一點的時候，存在兩部分面積相等的情況。

根據對稱性，這個平行四邊形被分成了面積相等的4份。

但是，第二條直線的位置的確定，需要根據平行四邊形的實際情況和先作出的那條任意直線的情況不同而定，所以我還沒找出一個通用的公式。

第二篇：平行的證明

高中立體幾何證明平行的專題訓練

立體幾何中證明線面平行或面面平行都可轉化為線線平行，而證明線線平行一般有以下的一些方法：

?1?通過平移;

?2?利用三角形中位線的性質；

?3?利用平行四邊形的性質；

?4?利用對應線段成比例；

?5?利用面面平行，等等

一．通過“平移”再利用平行四邊形的性質

1.如圖，四稜錐p－abcd的底面是平行四邊形，點e、f 分別為稜ab、pd的中點．求證：af?平面pce

第1題圖

2、如圖，已知直角梯形abcd中，ab?cd，ab?bc，ab＝1，bc＝2，cd＝1a作ae?cd，垂足為e，g、f分別為ad、ce的中點，現將?ade沿ae摺疊，使得de?ec.

?ⅰ?求證：bc?面cde；

?ⅱ?求證：fg?面bcd；

3.已知直三稜柱abc－a1b1c1中，d, e, f分別為aa1, cc1, ab的中點，m為be

的中點,ac?be.求證：

?ⅰ?c1d?bc；

?ⅱ?c1d?平面b1fm.

4、如圖所示,四稜錐pabcd底面是直角梯形,cd?2ab,e為pc的中點,

證明:eb?面pad

二．利用三角形中位線的性質

5、如圖，已知e、f、g、m分別是四面體的稜ad、cd、bd、bc的中點，求證：am∥平面efg。

6.如圖，abcd是正方形，o是正方形的中心，e是pc的中點。求證：pa?平面bde

7.如圖，三稜柱abc—a1bc中，d為ac的中點. 求證：ab1//面bdc1；11

8.如圖，平面abef?平面abcd，四邊形abef與abcd都是直角梯形，?bad??fab?90?，

11bc?ad，be?af,g,h分別為fa,fd的中點

?2?2

?ⅰ?證明：四邊形是平行四邊形；

?ⅱ?四點是否共面？為什麼？

e

三．利用平行四邊形的性質

9.正方體abcd a1b1c1d1中o為正方形abcd的中心，m為bb1的中點， 求證：d1o//平面a1bc1;

a

10.在四稜錐p?abcd中，ab?cd，ab?dc，為的中點，求證：ae?平面pbc；

11.在如圖所示的幾何體中，四邊形abcd為平行四邊形，?acb?90?ea?平面abcdef//ab,fg//bc,eg//ac,ab?2ef

?1?若m是線段ad的中點，求證：gm//平面abfe;

?2?若ac?bc?2ae，求二面角a-bf-c的大小。

四．利用對應線段成比例

12.如圖：s是平行四邊形abcd平面外一點，m、n分別是sa、bd上的點，且ambn=，求證：mn//平面sdc smnd

13.如圖正方形abcd與abef交於ab，m，n分別為ac和bf上的點且am?fn求證：mn?平面bec

五。利用面面平行

14.如圖，三稜錐p?abc中，pb?底面abc，?bca?90，pb?bc?ca，e為pc的中點，m為ab的中點，點f在pa上，且af?2fp.

（1）求證：be?平面pac；

（2）求證：cm

//平面bef； ?

c

第三篇：平行證明

北師版 八上7單元測試

一、填空題

1、如圖1，直線ab、cd被直線ef所截①量得∠3=100°，∠4=100°,則ab與cd的關係是_______，根據是_____________

②量得∠1=80°,∠3=100°,則ab與cd的關係是_______，根據是________________

2、如圖2，be是ab的延長線，量得∠cbe=∠a=∠c ①從∠cbe=∠a，可以判定直線_______與直線_______平行，它的根據是___________

②從∠cbe=∠c，可以判定直線_______和直線_______平行，它的根據是___________

圖

1圖2

圖3圖4

3、如圖3，∠α=125°,∠1=50°，則∠β的度數是_______.

4、如圖4，ad、be、cf為△abc的三條角平分線，則：∠1+∠2+∠3=________.

5、已知，如圖5，ab∥cd，bc∥de，那麼∠b+∠

d=__________.

6、已知，如圖6，ab∥cd，若∠abe=130°,∠cde=152°,

則∠bed

=__________.

圖

5圖6

7、在△abc中，若∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶3，則∠a=____，

∠b=____， ∠c=____.

8、在△abc中，若∠a=65°,∠b=∠c，則∠b=_______.

9、命題“任意兩個直角都相等”的條件是_____，結論是

_____，它是____（真或假）命題.

10、如圖7，根據圖形及上下文的含義推理並填空：

（1）∵∠a=_______（已知）∴ac∥ed（）

（2）∵∠2=_______（已知）

∴ac∥ed（）

（3）∵∠a+_______=180°（已知）∴ab∥fd（）

圖7圖8

二、選擇題

1.下列語言是命題的是 ()

a.畫兩條相等的線段 b.等於同一個角的兩個角相等嗎？

c.延長線段ao到c使oc=oa d.兩直線平行，內錯角相等.

2.如圖8，△abc中，∠b=55°,∠c=63°,de∥ab,則∠dec

等於a.63°b.62°c.55°d.118°

3.下列語句錯誤的是()

a.同角的補角相等b.同位角相等c.同垂直於一條直線的

兩直線平行d.兩條直線相交只有一個交點

4、在△abc中，∠a=50°，∠b、∠c的平分線交於o點，

則∠boc等於（）a.65°b.115°c.80° d.50

5、兩條平行線被第三條直線所截，那麼一組同旁內角的平分線

a.相互重合b.互相平行c.相互垂直d.無法確定相互關係

6、如圖9，ab∥cd，∠a=35°,∠c=80°,那麼∠e等於（）

a.35b.45°c.55°d.75°

三、判斷下列命題是真命題還是假命題.

（）（1）若|a|=|b|，則a=b;（）（2）若a=b，則a3=b3;

（）（3）若x=a，則x2－(a+b)x+ab=0; （4）如果a2=ab,則a=b; （）（5） 若x＞3，則x＞2.

四、把下列命題寫成“如果??，那麼??”的形式，並指出條件和結論.

（1） 全等三角形的對應角相等； （2）等角的補角相等；

（3）同圓或等圓的半徑相等；（4）自然數必為有理數；

（5）同角的餘角相等；（6）兩直線平行，同位角相等；

五、解答下列問題

1、如圖，一個彎形管道abcd的拐角∠abc=120°,∠bcd=60°,這時説管道ab∥cd對嗎？為什麼？

2、如圖 ，已知∠1與∠2互補，問∠3和∠4互補嗎？為什麼？

六、在橫線或括號中填上適當的符號和理由，完成下面的證明過

（1）如圖10 ，已知ef∥ab，∠a+∠aec+∠c=360°求證：ab∥cd

證明：∵ef∥ab（已知）∴∠a+_______=180°又∵∠a+∠aec+∠c=360°()∴∠c+∠cef=_______()

∴_______∥cd()∴ab∥cd()

(2)如圖11，已知∠ade=∠b，∠1=∠2，fg⊥ab，

求證：cd⊥ab

證明：∠ade=∠b（）

∴de∥_______()

∠1=_______()

∵∠1=∠2(

∴∠2=∠3(

cd∥_______(

∠bgf=_______(

又∵fg⊥ab(

∴∠bgf=_______(

∴∠bdc=_______(

∴cd⊥ab(

圖10圖11 ))))))))

七、證明題

1.已知，如圖 ，ad⊥bc，ef⊥bc，∠4=∠c.

求證：∠1=∠2.

2、已知，如圖 ，∠ace是△abc的外角，∠abc與∠ace的角平分線bp、cp交於點p.。求證：∠p=1∠a.2

第四篇：平行四邊形的應用證明

八年級平行四邊形的應用

1.如圖，□abcd中，ae、cf分別與直線db 相交於e和f,且ae//cf, 求證：ce//af.

c

a

2..如圖，□abcd中，bm垂直ac於m,dn垂直ac於n, 求證：四邊形bmdn是平行四邊形。

c

a

3.如圖，□abcd中，點m、n是對角線ac上的點，且am=cn,de=bf,求證：四邊形mfne是平行四邊形。

e

c

a

4.如圖，ab、cd相交於點o,ac//db,ao=bo,e、f分別為oc、od的中點，連接af、be,求證：af//be.

a

c

d

5.在四邊形abcd中，ab//cd,對角線ac、bd交於點o，ef過o交ab於e，交cd於f，且oe=of，求證，abcd是平行四邊形。

d

b

6.如圖，過□abcd對角線的交點o作直線ef交ad、bc分別於e、f，又g、h分別為ob、od的中點， 求證：四邊形ehfg為平行四邊形。

ae

d

b

7.如圖，在□abcd中，e、f、g、h分別是四條邊上的點，且滿足be=df,cg=ah,連接ef、gh。求證：ef與gh互相平分。

af

db

e

8.如圖，以△abc的三條邊為邊向bc的同一側作等邊△abp、等邊△acq，等邊△bcr，求證：四邊形paqr為平行四邊形。

p

q

9.如圖所示，平行四邊形abcd中，bc=2ab，af=ab=be，且點e、f在直線ab上，求?(推薦訪問本站：)eof的度數．c

f

a b

e

第五篇：證明平行的方法

證明平行的方法

高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下(難以建立座標系時再考慮)：

ⅰ.平行關係：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關係：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那麼這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那麼另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那麼這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直。

2

方法1：

兩組對邊分別平行方法2：對角線互相平分方法3：一組對邊平行且相等樓上的：試問

兩組對邊相等

3

證明兩直線平行1.垂直於同一直線的各直線平行。2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。3.平行四邊形的對邊平行。4.三角形的中位線平行於第三邊。5.梯形的中位線平行於兩底。6.平行於同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對應成比例，則這條直線平行於第三邊。證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直於底邊。2.三角形中一邊的中線若等於這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3.在一個三角形中，若有兩個角互餘，則第三個角是直角。4.鄰補角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直於平行線中的一條，則必垂直於另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對角線互相垂直。*10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直於弦。*11.利用半圓上的圓周角是直角。

在空間中一定是平行四邊形嗎?

4

證明兩直線平行1.垂直於同一直線的各直線平行。2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。3.平行四邊形的對邊平行。4.三角形的中位線平行於第三邊。5.梯形的中位線平行於兩底。6.平行於同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對應成比例，則這條直線平行於第三邊。證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直於底邊。2.三角形中一邊的中線若等於這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3.在一個三角形中，若有兩個角互餘，則第三個角是直角。4.鄰補角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直於平行線中的一條，則必垂直於另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對角線互相垂直。*10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直於弦。