摘要:結合實例分析介紹了不定積分的四種基本計算方法。為使學生熟練掌握,靈活運用積分方法,本文將高等數學中計算不定積分的常用方法,簡單進行了整理歸類。
關鍵詞:積分方法 第一類換元法第二類換元法 分部積分法 不定積分是高等數學中積分學的基礎,對不定積分的理解與掌握的好壞直接影響到該課程的學習和掌握。熟練掌握不定積分的理論與運算方法,不但能使學生進一步鞏固前面所學的導數與微分的知識,而且也將為學習定積分,微分方程等相關知識打好基礎。在高等數學中,函數的概念與定義與初等數學相比發生了很多的變化,從有限到無限,從確定到不確定,計算結果也可能不唯一,但計算方法與計算技巧顯得更加重要。這些都在不定積分的計算中體會的淋漓盡致。對不定積分的求解方法進行簡單的歸類,不但使其計算方法條理清楚,而且有助於對不定積分概念的理解,提高學習興趣,對學好積分具有一定的促進作用。
1 直接積分法
直接積分法就是利用不定積分的定義,公式與積分基本性質求不定積分的方法。直接積分法重要的是把被積函數通過代數或三角恆等式變形,變為積分表中能直接計算的公式,利用積分運算法則,在逐項積分。
一、原函數與不定積分的概念
定義1.設f(x)是定義在某區間的已知函數,若存在函數F(x),使得F(x)或dF
f(x)
(x)f(x)dx
,則稱F(x)為f(x)的一個原函數
定義2.函數
f(x)的全體原函數F(x)C叫做f(x)的不定積分,,記為:
f(x)dxF(x)C
f(x)叫做被積函數 f(x)dx叫做被積表達式C叫做積分常數
“
其中
”叫做積分號
二、不定積分的性質和基本積分公式
性質1. 不定積分的導數等於被積函數,不定積分的微分等於被積表達式,即
f(x)dxf(x);df(x)dxf(x)dx.
性質2. 函數的導數或微分的不定積分等於該函數加上一個任意函數,即
f(x)dxf(x)C,
或df(x)f(x)C
性質3. 非零的常數因子可以由積分號內提出來,即
kf(x)dxkf(x)dx
(k0).
性質4. 兩個函數的代數和的不定積分等於每個函數不定積分的代數和,即
f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx
基本積分公式
(1)kdxkxC(k為常數)
(2)xdx
1
1
x
1
C
(1)
1
(3)xlnxC
x
(4)exdxexC
(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)
11x
11x
2
(5)a
x
dx
a
x
lna
C
(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC
(11)
cscxcotxdxcscxC
(13)cscxdxlncscxcotxC (15)
1x
2
2
xarctanxC
xarcsinxC
xarcsinxC
三、換元積分法和分部積分法
定理1. 設(x)可導,並且f(u)duF(u)C. 則有
f[(x)](x)dxF(u)C
湊微分
f[(x)]d(x)
令u(x)
f(u)du
代回u(x)
F((x))C
該方法叫第一換元積分法(integration by substitution),也稱湊微分法. 定理2.設x數F
(t)是可微函數且(t)0,若f((t))(t)具有原函
(t),則
xt換元
fxdx
fttdt
積分
FtC
t
1
x
回代
1
FxC.
該方法叫第二換元積分法
一、不定積分的概念和性質
若F(x)f(x),則f(x)dxF(x)C, C為積分常數不可丟!
性質1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或
df(x)dxf(x) dx
性質2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C
性質3[f(x)g(x)]dx
或[f(x)g(x)]dx
二、基本積分公式或直接積分法
基本積分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx;kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx
kdxkxC
xxdx1x1C(為常數且1)1xdxlnxC ax
edxeCadxlnaC xx
cosxdxsinxCsinxdxcosxC
dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC
secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC
dxarctanxCarccotx
C()1x2arcsinxC(arccosxC)
直接積分法:對被積函數作代數變形或三角變形,化成能直接套用基本積分公式。 代數變形主要是指因式分解、加減拆並等;三角變形主要是指三角恆等式。
三、換元積分法:
1.第一類換元法(湊微分法)
g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)
注 (1)常見湊微分:
u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).
111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|
c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2
(2)適用於被積函數為兩個函數相乘的情況:
若被積函數為一個函數,比如:e2xdxe2x1dx, 若被積函數多於兩個,比如:sinxcosx1sin4xdx,要分成兩類;
(3)一般選擇“簡單”“熟悉”的那個函數寫成(x);
(4)若被積函數為三角函數偶次方,降次;奇次方,拆項;
2.第二類換元法
f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代換類型:
(1) 對被積函數直接去根號;
(2) 到代換x1; t
(3) 三角代換去根號
x
atantxasect、
xasint(orxacost)
f(xdx,t
f(xx,x
asect
f(xx,xasint
f(xx,xatant f(ax)dx,ta
x
f(xx,t
三、分部積分法:uvdxudvuvvduuvuvdx.
注 (1)u的選取原則:按“ 反對冪三指” 的順序,誰在前誰為u,後面的為v;
(2)uvdx要比uvdx容易計算;
(3)適用於兩個異名函數相乘的情況,若被積函數只有一個,比如:
arcsinx1dx,
u
v
(4)多次使用分部積分法: uu求導 vv積分(t;