一、分數乘法
（一）分數乘法的意義和計算法則
1、分數乘整數的意義
2/11×3 表示： 求3個2/11是多少？ 求2/11的3倍是多少？
2、分數乘整數的計算方法
分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變。（能約分的要先約分再乘）
3、一個數乘分數的意義：就是求這個數的幾分之幾是多少。3/5×1/4表示：求3/5的1/4是多少。
4、分數乘分數的的計算方法
分數乘分數，用分子乘分子，分母乘分母。（能約分的要先約分再乘）
（二）求一個數的幾分之幾是多少的問題
1、找單位“1”的方法
（1）是誰的幾分之幾，就把誰看作單位“1”。
（2）一般把“比”字、“是”字、“佔”字、“相當於”後面的量看作單位“1”。
注意： 找單位“1”在分率句裏找，有分率的句子稱為分率句。
分率不帶單位，具體數量帶有單位。
2、求一個數的幾倍、幾分之幾是多少，用乘法計算。
15的3/5是多少？ 15×3/5=9
3、已知單位“1”用乘法計算
單位“1”×分率=分率的對應量
注意：(1) 乘上什麼樣的分率就等於什麼樣的數量。
（2） 乘上誰佔的分率就等於誰的數量。
（3） 是誰的幾分之幾，就用誰乘上幾分之幾。
4、已知A比B多（或少）幾分之幾，求A的解題方法
5、積與因數的大小關係
大於1的數，積大於A。
A（0除外）乘上
小於1的數，積小於A。
二、位置與方向
1、確定物體的位置：（上北下南，左西右東）
（1）北偏東30°就是從北向東移，夾角靠北。
（2）東偏北30°就是從東向北移，夾角靠東。
2、物體位置的相對性
（1）兩地的位置關係是相對的，方向剛好相反，距離是一樣的。
例如：少年宮在學校南偏東35°的方向上，相距250米，（在學校是以學校為觀測點）
南對北 東對西
則學校在少年宮北偏西35°的'方向上，相距250米。（在少年宮是以少年宮為觀測點）
三、分數除法
（一）倒數的認識
1、倒數的意義
乘積是1的兩個數互為倒數。 （注意：不能單獨説某個數是倒數。）
2、求倒數的方法
求一個分數的倒數（0除外），只要把這個分數的分子、分母調換位置。
是帶分數的先化成假分數
是小數的先化成分數
整數的倒數：整數是幾，它的倒數就是幾分之一。
3、1的倒數是1，0沒有倒數。
（三）分數除法
1、分數除法的意義
3/10÷1/10表示：已知兩個因數的積是3/10，與其中一個因數是1/10，求另一個因數是多少。
2、分數除法的計算方法
除以一個不等於0的數，等於乘這個數的倒數。
3、被除數與商的大小關係
當除數小於1時，商就大於被除數。（0除外）
當除數大於1時，商就小於被除數。（0除外）
4、分數四則混合運算的運算順序
（1） 只有“+、-”或只有“×、÷”，從左往右計算。
（2） 有“+、-”，也有“×、÷”，先乘除後加減。
（3) 有（ ）、[ ]的，先算( ）裏面的，再算[ ]裏面的。
（一）已知一個數的幾倍、幾分之幾是多少，求這個數。用除法計算。
1、已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數的問題
例：甲數是15，甲數是乙數的3/5。乙數是多少？ 15÷3/5=25
2、求一個數是另一個數的幾倍、幾分之幾，用除法計算。
方法是：用“是”字前面的數÷“是”字後面的數。
例：1、15是5的幾倍？ 15÷5=3
2、20是25的幾分之幾？ 20÷25=4/5
3、求一個數比另一個數多（或少）幾分之幾的解題方法是：
用相差量÷問題“比”字後面的量
例：(1)甲數是25，乙數是20。甲數比乙數多幾分之幾？ (25-20)÷20=1/4
（2） 甲數是25，乙數是20。乙數比甲數少幾分之幾？ (25-20)÷25=1/5
4、求單位“1”用除法計算。
具體量（對應量）÷對應分率=單位“1”
什麼樣的數量就對應什麼樣的分率。
什麼樣的分率就對應什麼樣的數量。
5、求平均數問題： 總量÷總份數=每份數
注意：求平均每什麼就除以什麼數。（求每天就除以天數；求每人就除以人數；求每千克就除以千克數；求每米就除以米數……）
6、已知A比B多（或少）幾分之幾，求B的解題方法：
A÷（1+/-幾分之幾）=B
7、已知單位“1”用乘法，求單位“1”用除法；
分率比多的就1+，比少的就1-。
8、工程問題
把工作總量看作“1”，工作效率就是1/工作時間。
工作時間=工作量 ÷ 工作效率
要做的工作量 由誰做就除以誰的工作效率
1人的效率=兩人的效率和-另1人的效率
1、分數乘法：分數乘法的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算。
2、分數乘法的計算法則
分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變；分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。但分子分母不能為零。。
3、分數乘法意義
分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數的和的簡便運算。一個數與分數相乘，可以看作是求這個數的幾分之幾是多少。
4、分數乘整數：數形結合、轉化化歸
5、倒數：乘積是1的兩個數叫做互為倒數。
6、分數的倒數
找一個分數的倒數，例如3/4 把3/4這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。則是4/3。3/4是4/3的倒數，也可以説4/3是3/4的倒數。
7、整數的倒數
找一個整數的倒數，例如12，把12化成分數，即12/1 ，再把12/1這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。則是1/12 ，12是1/12的倒數。
8、小數的倒數
普通算法：找一個小數的倒數，例如0.25 ，把0.25化成分數，即1/4 ，再把1/4這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。則是4/1
9、用1計算法：也可以用1去除以這個數，例如0.25 ，1/0.25等於4 ，所以0.25的倒數4 ，因為乘積是1的兩個數互為倒數。分數、整數也都使用這種規律。
10、分數除法：分數除法是分數乘法的逆運算。
11、分數除法計算法則：
甲數除以乙數（0除外），等於甲數乘乙數的倒數。
12、分數除法的意義：與整數除法的意義相同，都是已知兩個因數的積與其中一個因數求另一個因數。
13、分數除法應用題：先找單位1。單位1已知，求部分量或對應分率用乘法，求單位1用除法。
14、比和比例：
比和比例一直是學數學容易弄混的幾大問題之一，其實它們之間的問題完全可以用一句話概括：比，等同於算式中等號左邊的式子，是式子的一種（如：a:b）；比例，由至少兩個稱為比的式子由等號連接而成，且這兩個比的比值是相同（如：a:b=c:d）。
所以，比和比例的聯繫就可以説成是：比是比例的一部分；而比例是由至少兩個比值相等的比組合而成的。表示兩個比相等的式子叫做比例，是比的意義。比例有4項，前項後項各2個。
15、比的基本性質：比的前項和後項都乘以或除以一個不為零的數。比值不變。
比的性質用於化簡比。
比表示兩個數相除；只有兩個項：比的前項和後項。
比例是一個等式，表示兩個比相等；有四個項：兩個外項和兩個內項。
16、比例的性質：在比例裏，兩個外項的乘積等於兩個內項的乘積。比例的性質用於解比例。
17、比和比例的區別
（1）意義、項數、各部分名稱不同。比表示兩個數相除；只有兩個項：比的前項和後項。 如：a:b 這是比比例是一個等式，表示兩個比相等；有四個項：兩個外項和兩個內項。a:b=3:4 這是比例。
（2）比的基本性質和比例的基本性質意義不同、應用不同。比的性質：比的前項和後項都乘或除以一個不為零的數。比值不變。比例的性質：在比例裏，兩個外項的乘積等於兩個內項的乘積相等。比例的性質用於解比例。聯繫：比例是由兩個相等的比組成。
18、比和比例的意義
比的意義是兩個數的除又叫做兩個數的比，而比例的意義是表示兩個比相等的式子是叫做比例。比是表示兩個數相除，有兩項；比例是一個等式，表示兩個比相等，有四項。因此，比和比例的意義也有所不同。而且，比號沒有括號的含義而另一種形式，分數有括號的含義！
19、比和比例的聯繫：
比和比例有着密切聯繫。比是研究兩個量之間的關係，所以它有兩項；比例是研究相關聯的兩種量中兩組相對應數的關係，所以比例是由四項組成。比例是由比組成的，如果沒有兩種量的比，比例就不會存在。比例是比的發展，如果把比例式中右邊的比看成一個數，比和比例此時又可以統一起來。如果兩個比相等，那麼這兩個比就可以組成比例。成比例的兩個比的比值一定相等。
20、圓：平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。
21、圓心：圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。注：圓心一般符號O表示
22、直徑：通過圓心，並且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。
23、半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。
圓的直徑和半徑都有無數條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一。d=2r或r=d/2。
圓的半徑或直徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置。
24、圓的'周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。
25、圓周率：圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。
圓的周長除以直徑的商是一個固定的數，把它叫做圓周率，它是一個無限不循環小數（無理數），用字母π表示。計算時，通常取它的近似值，π≈3.14。
直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。
26、圓的面積公式：圓所佔平面的大小叫做圓的面積。πr^2;，用字母S表示。
一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那麼他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。
27、周長計算公式
（1）已知直徑：C=πd (2)已知半徑：C=2πr (3)已知周長：D=c/π
（4）圓周長的一半:1/2周長（曲線） (5)半圓的周長：1/2周長+直徑（π÷2+1）
28、面積計算公式：
（1）已知半徑：S=πr2 (2)已知直徑：S=π(d/2)2
（3)已知周長：S=π[c÷(2π）]2
29、百分數與分數的區別
（1）意義不同。百分數是“表示一個數是另一個數的百分之幾的數。”它只能表示兩數之間的倍數關係，不能表示某一具體數量。因此，百分數後面不能帶單位名稱。分數是“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數”。分數還可以表示兩數之間的倍數關係。
（2）應用範圍不同。百分數在生產、工作和生活中，常用於調查、統計、分析與比較。而分數常常是在測量、計算中，得不到整數結果時使用。
（3）書寫形式不同。百分數通常不寫成分數形式，而採用百分號“%”來表示。因此，不論百分數的分子、分母之間有多少個公約數，都不約分；百分數的分子可以是自然數，也可以是小數。
而分數的分子只能是自然數，它的表示形式有：真分數、假分數、帶分數，計算結果不是最簡分數的一般要通過約分化成最簡分數，是假分數的要化成帶分數。任何一個百分數都可以寫成分母是100的分數，而分母是100的分數並不都具有百分數的意義。
分數乘法
所以： 圓的面積 = 圓周長的一半 × 圓的`半徑
常用單位換算
長度單位換算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10釐米 1米=100釐米 1釐米=10毫米
面積單位換算
1平方千米=100公頃 1公頃=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方釐米 1平方釐米=100平方毫米
體(容)積單位換算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量單位換算
1噸=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
人民幣單位換算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
時間單位換算
1世紀=100年 1年=12月 大月（31天）有:135781012月 小月（30天）的有:46911月
平年2月28天， 閏年2月29天平年全年365天， 閏年全年366天 1日=24小時
1時=60分 1分=60秒 1時=3600秒
一、數的意義：
1、整數：像—3、—2、—1、0、1、2、3……這樣的數統稱為整數。整數的個數是無限的。沒有最小的整數，也沒有的整數，自然數是整數的一部分。
2、自然數：用來表示物體個數的數。像1、2、3、4、5……叫做自然數。一個物體也沒有用0表示。自然數的個數是無限的，最小的自然數是0，沒有的自然數。
3、小數：把整數“1”平均分成10份、100份、1000份……這樣的一分或幾份的數是十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數表示。
4、小數的分類：
（1）純小數和帶小數：整數部分是o的小數叫做純小數，整數部分不是o的小數叫做帶小數。
（2）有限小數和無限小數：小數部分的位數是有限的小數叫做有限小數；小數部分的位數是無限的小數叫做無限小數。
（3）循環小數：一個小數，從小數部分的某一位起一個數字或幾個數字依次不斷地重複出現，這樣的小數叫做循環小數。
（4）循環節：一個循環小數的小數部分，依次不斷重複出現的數字叫做這個小數的循環節。
（5）純循環小數和混循環小數：循環節從小數部分第一位開始的，叫做純循環小數；循環節不是從第一位開始的，叫做混循環小數。
5、計數單位：個、十、百、千、以及十分之一、百分之一、千分之一？?？?？都是計數單位。
6、數位：各個計數單位所佔的位置叫做數位。
7、十進制計數法：“十進制計數法”是世界各國最常用的一種計數方法。它的特點是每相鄰的兩個計數單位之間的進率都是“十”就是10個較低的計數單位可以進成一個較高的計數單位（既通常説的“逢十進一”）， 這種以“十”為基礎進位的計數方法，叫做十進制計數法。
8、整數和小數數位順序表：
9、分數：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。(1)分數單位：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份的數就是這個分數的分數單位。
（2）分數的分類：真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小於1。假分數：分子比分母大或者分子等於分母的分數叫做假分數，假分數≧1
10、百分數：表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數，百分數也叫百分率或百分比。百分數的分數單位是1%。百分數的分母是100。
11、分數和百分數的關係：分數既可以表示一個數（後面可加數量單位）；也可以表示兩個數的比（兩數之間的關係）。而百分數只表示一個數佔另一個數的百分比（兩數之間的關係），不能表示具體的數。因此百分數不帶單位。
12、正數和負數：像1/3、+2、0.5、+4.5…這樣的數叫做正數；像―1/2、―5.5、―6…這樣的數叫做負數。
（不能認為：一個數的前面加上“+”號這個數就是正數，也不能認為：一個數的前面加上“—”號這個數就是負數）。比如：“—a”這個數我們就不能判斷是負數，因為a可能：是正數、是負數、0都有可能；所以我們無法判斷。
自然數是等於或大於0的整數，也可以説是不小於0的整數，既是非負整數。0既不是正數也不是負數。
二、數的讀法和寫法。
1、讀法：從高位到低位，一級一級的往下讀，每一級末尾的0都不讀出來，其他數位的連續的幾個0都只讀一個。
2、寫法：從高位到低位，一級一級的往下寫，哪一個數位上一個單位也沒有，就在那個數為上寫0。
（一）、小數的讀法與寫法：
讀法：通常是整數部分按整數的讀法去讀，小數點讀作“點”，小數部分按從左向右的順序只讀出數字。
寫法：寫小數時，整數部分按整數部分的寫法去寫，小數點寫在個位的右下角，小數部分按從左向右的順序
依次寫出每一個數位上的數字。
（二）、分數的讀法與寫法：
讀法：讀分數時，先讀分數的分母，再讀“分之”最後讀分子。讀帶分數時，要先讀整數部分，再讀“又”字，最後按分數部分的讀法讀分數部分。（分數線的讀法：“分之”），
寫法：寫分數時，要先寫分數線，再寫分母，最後寫分子，寫帶分數時，要先寫整數部分，再寫分數部分，整數部分要對其分數線，二者要緊湊。
（三）、百分數的讀法與寫法：
讀法：百分數的讀法與分數相同。
寫法：百分數通常不寫成分數形式，而是在原來的分子後面加上百分號“%”來表示。寫百分數時，先寫分子，再寫百分號。
（四）、數的大小比較：
1、整數的大小比較：比較兩個整數的大小，首先要看它們的位數，如果位數不相同，那麼位數多的那個數就大；如果位數相同，就先從高位比起，相同數位上的數大的那個數就大；
2、小數的大小比較：先比較它們的整數部分，整數部分大的那個數就大；整數部分相同的，十分位上數大的那個數就大；十分位上的數字相同，百分位上的數大那個數就大。…以此類推。
3、分數的大小比較：分母相同的分數，分子大的那個分數就大；（因為分母相同，分數單位就相等，分子大的就意味着含有的分數單位多。）；分子相同的分數相比較，分母小的那個分數大。（分子相同含有的分數單位數相同，分母小的分數分數單位就大）分子、分母都不同的分數相比較，先通分，轉化成同分母分數後，再比較大小。
4、正數和負數的大小比較：負數都比正數小。0大於一切負數，0小於一切正數。
5、兩個負數相比較：如果a>b（a、b均為正數），則-a<-b。就是在不看負數符號的情況下：數大的那個數反而小。
三、數的性質：
1、分數的性質：分子和分母同時乘上或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變。（注意：分數的分單位有變化，分子、分母都有變化）
2、約分和通分：把一個分數化成和原分數相等的，且分子分母都比原分數小的的分數叫做約分；把異分母分數分別化成和原分數相等的同分母分數，叫做通分。
3、最簡分數：分子和分母只有公因數1的分數叫做最簡分數。
4、小數的基本性質：小數的末尾添上或去掉0，小數的大小不變。（注意：小數的位數有變化，精確度有變化。）
5、小數點的位置移動引起小數的大小變化規律：小數點每向右移動一位、兩位、三位，這個數就擴大到原來的10倍、100倍、1000倍？?？；小數點每向左移動一位、兩位、三位，該數就縮小到原數的1/10、1/100、1/1000?？?。
四、數的改寫：
1、把多位數改寫成以”萬“或者以”億”單位的數。
（1）直接改寫：把多位數改寫成以”萬“或者以”億”單位的數，先把原來的小數點向左移動4位或者8位，再在數後面加上“萬”或“億”字，中間用“=”連接。
（2）省略尾數改寫成近似數：先用“四捨五入法”省略萬位或者億位後面的尾數，再在這個數的後面寫上“萬”字或者“億”字。得出的是近似數，中間用“≈”連接。
2、求小數的近似數：根據要求，要把小數保留到哪一位，就把這一位後面的尾數按照“四捨五入法”省略，中間用“≈”。
3、小數、分數、百分數的互化：
小數化成分數方法：先看小數點後面有幾位小數，就在1的後面添上幾個0做分母，原來的小數去掉小數點後做分子。能約分的要約成最簡分數。
分數化成小數方法：用分子除以分母。
小數化成百分數的方法：把小數的小數點向右移動兩位，（位數不足時用0補足）同時在後面添上“%”。
百分數化成小數的方法：把百分數的分子的小數點向左移動兩位，同時去掉後面的“%”。
百分數化成分數的方法：先把百分數的改寫成分母是100的分數，然後約成最簡分數。
分數化成百分數的方法：先把分數化成小數，在把小數化成百分數。
4、判斷一個分數能否化成有限小數的方法：一個最簡分數，如果分母中除了含有質因數2和5以外，不含有其它質因數， 這個分數就能化成有限小數；如果分母中含有了2和5以外的其他質因數，這個分數就不能化成有限小數。
五、數的整除：
1、整除：整數a除以整數b(b≠0)，除得的商正好是整數且沒有餘數，我們就説數a能被數b整除。（也可以説b能整除a）。
2、因數和倍數：如果a×b=c（a、b、c都是非0整數）那麼a、b就叫做c的因數，c就叫做a、b的倍數。
一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，的因數是它本身。
一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身，沒有的倍數。
3、公因數和公因數：幾個數的公有的因數，叫做這幾個數的公因數；其中的一個叫做這幾個數的公因數。
4、公倍數和最小公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的那個數叫做這幾個數的最小公倍數。。
5、求兩個數的公因數的方法：一般採用列舉法，就是把兩個數的因數一一列舉出來，然後找出兩個數的公因數，其中的那個數就是這兩個數公因數。也可以採用短除法。
短除法求公因數的方法：把兩個數寫在 的橫線上，先用着這兩個數的公有質因數做除數，如果兩個數的商是互質數，除數就是這兩個數的所得的商就是這兩個數的公因數。如果兩個數的商不互質，就按照上面的方法繼續除，直到兩個數的商最後是互質數為止，然後把所有的除數連乘起來，所得的積就是這兩個數的公因數。
6、求兩個數的最小公倍數的方法：一般也採用列舉法，把兩個數的倍數數根據需要按從小到大的順序列舉一部分，然後找出兩個數的公有的倍數，其中最小的那個公倍數就是這兩個數的最小公倍數。也可以採用短除法。
短除法求最小公倍數的方法：把兩個數寫在 的橫線上，先用着這兩個數的公有質因數做除數，所 得的商寫在橫線下的相對應的位置，如果兩個數的商是互質數，就把除數和最後的兩個商連乘起來，所得的積就是這兩個數的最小公倍數；如果兩個數的商不互質，就按照上面的方法繼續除，直到兩個數的商最後是互質數為止，然後把所有的除數和最後所得商連乘起來，所得的積就是這兩個數的最小公倍數。
7、求兩個數的公因數和最小公倍數的特殊方法：
如果兩個數中，較大數是較小數的倍數，較小數就是較大數的因數，則較大數是這兩個數的最小公倍數；較小數是這兩個數的公因數。
如果兩個數是互質數，則它們的公因數是1，最小公倍數是這兩個數的乘積。
8、奇數和偶數、在自然數中，是2的倍數的數叫做偶數，不是2的倍數的數叫做奇數，最小的偶數是0，最小的奇數是1。
9、2、5、3的倍數的特徵。
(1)2的倍數的特徵：個位上是0、2、4、6、8的數都是2的倍數。
(2)5的倍數的特徵：個位上是0或5的數都是5的倍數。
(3)3的倍數特徵：一個數各個數位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
10、質數和合數：一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）；一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。質數有且只有兩個因數，合數至少有三個因數。 1既不是質數也不數合數。
11、質因數與分解質因數：每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，其中每個質數都是這個合數的質因數。把一個合數用質數相乘的形式表示出來，就是分解質因數。
12、分解質因數的方法：把一個合數分解質因數，通常用短除法，分解質因數時，先用這個合數的質因數（通常用最小的開始）去除，得出的商如果是質數，就把除數和商寫成相乘的形式；得出的商如果是合數，就照上面的方法繼續下去，直到得出商是質數為止，然後把各個除數和最後的商寫成連乘的形式。
13、大於0的自然數的分類方法：(1)根據是否是2的倍數，自然數可分為：奇數和偶數。(2)根據所含因數的個數，自然數可分為：1、質數、合數。
六、數的運算：
1、加法的意義：把兩個數（或幾個數）合併成一個數的運算。
2、減法的意義：已知兩個數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。
3、乘法的意義：(1)一個數乘整數，就是求幾個相同加數和的簡便運算。
（2）一個數乘小數，可以看作是求這個數的十分之幾，百分之幾？?？是多少？
（3）一個數乘分數，就是求這個數的幾分之幾是多少。
4、除法的意義：以這兩個數的積和其中的一個因數，求另一個因數的運算。
5、計算方法：
1、加法的計算（）方法。
（1）整數和小數：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數相加滿十，要向前一位進1。(2)分數：同分母分數相加，分母不變只把分子相加。異分母分數相加，先通分，再按照同分母分數加法法則進行計算。
2、減法的計算方法：
（1）整數和小數：相同數位對齊，從低位減起，哪一位上的數不夠減，從前一位退1，在本位上加10後再減。
（2）分數：同分母分數相減，分母不變，只把分子相減。（分子之差做分子）異分母分數相減，先通分，再按照同分母分數減法法則進行計算。
3、乘法的計算方法：
⑴整數乘法的計算方法：相同數位對齊，從末尾乘起，用第二個因數的每一位上的數去乘第一個因數，用哪一位的數去乘，乘得的積的末尾就要和那一位對齊，最後把每次乘得的積的相加。
⑵小數乘法的計算方法：計算小數乘法，末尾對齊，先按照整數乘法的計算方法算出積，再看因數中一共有幾位小數， 就從積的末尾起向左數出幾位，點上小數點。
⑶分數乘法的計算方法：分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母（能約分的要先約分）。
⑷除法的計算方法：整數除法的計算方法：從被除數的高位除起，除的時候，除數有幾位數就先看被除數的前幾位，如果前幾位不夠除，再多看一位，除到被除數的哪一位，就把商寫在哪一位的上面，每次除得餘數必須比除數小。
⑸小數除法的計算方法：除數是整數的小數除法，要按照整數除法的計算方法去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊。如果除到被除數的末尾仍有餘數，就在餘數的末尾添上0繼續除。除數是小數的除法：先移動除數的小數點，使它變為整數，除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也要向右移動相同位數（位數不夠時，在被除數的末尾用0補足），然後按除數是整數的小數除法的計算方法進行計算。
⑹分數除法的計算方法：甲數除以乙數（0除外）等於甲數乘乙數的倒數。
倒數：乘積為1的兩個數互為倒數。
七、四則運算的驗算方法：
1、加法的驗算方法(1)用加法驗算：調換兩個加數的位置再加一遍。
（2）用減法驗算：和—一個加數=另一個加數。
2、減法的驗算方法：(1)用加法驗算：差+減數=被減數。
（2）用減法驗算：被減數—差=減數。
3、乘法的驗算方法：(1)用乘法驗算：調換兩個因數的位置再稱一遍。
（2）用除法驗算：積÷一個因數=另一個因數。
4、除法的驗算方法：(1)用乘法驗算：如果沒有餘數，商×除數=被除數，如果有餘數，商×除數+餘數=被除數。
（2）用除法驗算：被除數÷商=除數 或（被除數-餘數）÷商=除數
八、0與1在四則運算中特性：
a+0=a a×0=0 0÷a=0 a-0=a a×1=a
a-a=0 a÷1=a 1÷a=1/a （在上面算式中a作除數時a≠0）
九、運算定律：
1、加法的交換律：a+b=b+a 2、加法的結合律：a+b+c=a+(b+c)
3、乘法的交換律：a×b=b×a 4、乘法的結合律：a×b×c=a×(b×c)
5、乘法的分配率：(a+b)×c = a×c+b×c
十、運算性質：
1、減法的運算性質：a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c
2、除法的運算性質（除數不為0）：a ÷(b×c)=a÷b ÷c
a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c
十一、運算順序：
1、加法和減法叫做一級運算，乘法和除法叫做第二級運算。
2、在一個沒有括號的算式裏，如果只含有同一級運算，要從左往右依次計算；如果含有兩級運算，要先算第二級運算，後算第一級運算。
3、在一個有括號的算式裏，要先算小括號裏面的，再算中括號裏面的。
十二、解決問題：
1、複合應用題：用兩步或兩步以上計算來解答的應用題。分析此問題，一般採用分析法或綜合法。
分析法：從要求問題入手，逐步找出解答問題所需要的信息，求得問題的解決。
綜合法：從已知條件入手，利用已知條件看能解決什麼問題，從而求得問題的解決。
2、解決問題的一般步驟：首先理解題意，找出已知條件何所求問題；其次。分析數量關係，確定先 算什麼，再算什麼，最後算什麼；再次，確定每一步該怎樣算，列出算式，算出得數；最後進行檢驗，寫出答案。
3、幾種常見的數量關係：
（1）路程=速度×時間 (2)總價=單價×數量 (3)工作總量=工效×時間
（4）總產量=單產量×數量(5)收入--支出=結餘(6)利息=本金×利息×時間
十三、式與方程：
1、用字母表示數的意義：用字母表示數是代數的基本特點。既簡單明瞭，又能表達數量關係的一般規律。
2、用字母代表數的作用：
（1）用字母代表任何數。(2)用字母表示常見的數量關係。(3)用字母表示運算定律。(4)用字母表示計算公式。
3、(1)數字與字母、字母與字母相乘時，乘號可以簡寫成“？”或者省略不寫。數與數相乘，乘號不能省略。
4、等式與方程：表示相等關係的式子叫做等式。含有未知數的等式叫做方程。
方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。
解方程：求方程中未知數的過程叫做解方程。
5、等式的性質：(1)等式兩邊都加上或減去同一個數，左右兩邊仍然相等。
（2）等式兩邊都乘上（或除以）同一個不為零的數，左右兩邊仍然相等。
（3）根據等式的性質可以解方程。
6、列方程解應用題的步驟：(1)找出未知數並用X表示。
（2）找出應用題中數量間的相等關係，並更具等量關係列出方程。
（3）解方程，求未知數的值。
（4）檢驗寫答語。
十四、常見的計量單位及其進率：
（一)意義：(1）物體的多少、長短、大小、輕重、快慢等。這些可以測定的客觀事物的特徵叫做量。(2)把一個要測定的量同一個作為標準的量相比較叫做計量。用來作為計量標準的量叫做計量單位。
（二）常用的計量單位及其進率。
（1）貨幣單位及其進率：1元=10角 1角=10分
（2）長度單位及其進率： 1千米=1000米 1米=10分米=100釐米
1分米=10釐米 1釐米=10毫米
（3）面積單位及其進率：
1平方千米=1000000平方米 1平方千米=100公頃
1公頃=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方釐米 1平方釐米=1000平方毫米
質量單位及其進率： 1噸=1000千克 1千克=1000克
時間單位及其進率：(1)1年有12個月平年有365天，閏年有366天。
(2)1、3、5、7、8、10、12月是大月，每月31天；4、6、9、11月是小月，每月有30天；二月既不是大約也不是小月，平年二月28天，閏年二月有29天。(3)按四個季度分，1、2、3月份屬第一季度，4、5、6月份是第二季度，7、8、9月份是第三季度，10、11、12是第四季度。
（4）每個月分上、中、下三旬，上旬、中旬各有10天，下旬的天數大月11天，小月有10天。閏年二月下旬9天，平年8天
(5)1星期=7日 1日=24小時 1小時=60分 1分=60秒 1世紀=100年
（6）平年閏年判斷的方法：公曆年份能被4整除，整百，整千年份能整除400的是閏年，反之是平年。
（三）計量單位的改寫：1、名數的意義：計量的結果，要用數表示，並且還要帶上單位的名稱，通常把他們合起來叫做名數。只帶一個名稱的叫單名數；帶兩個或兩個以上單位名稱的叫複名數。如：2千克50克，8平方米20平方分米5平方釐米。
2、名數的改寫：把高級單位的名數改寫成低級單位的名數用進率去乘，把低級單位的名數改寫成高級單位名數用進率去除。當進率是10、100、1000?？?是也可以把小數點向右(左) 移動一位，兩位、三位？?？。位數不足時，用零補足。
十五、比和比例：
（1）比和比例的意義、各部分名稱、基本性質。
（ 2）比和分數、除法的關係
（3）求比值和化簡比
意義 方法 結果
求比值 前項除以後項所得的商 根據比值的意義，用前項除以後項 一個商（整數、小數或分數）
化簡比 把兩個數的比化成最簡單的整數比 比的前項和後項都乘或除以一個相同的數（0除外）；也可以根據求比值的方法，用前項除以後項。
一、分數乘法
（一）分數乘法的計算法則：
1、分數與整數相乘：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。（整數和分母約分）
2、分數與分數相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。
3、為了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。
注意：當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。
（二)規律：(乘法中比較大小時）
一個數（0除外）乘大於1的數，積大於這個數。
一個數（0除外）乘小於1的數（0除外），積小於這個數。
一個數（0除外）乘1，積等於這個數。
（三）分數混合運算的運算順序和整數的運算順序相同。
（四）整數乘法的交換律、結合律和分配律，對於分數乘法也同樣適用。
乘法交換律：a×b=b×a
乘法結合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：(a+b)×c=ac+bc ac+bc=(a+b)×c
二、分數乘法的解決問題（詳細見重難點分解）
（已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的幾分之幾是多少）
1、找單位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “佔”、“是”、“比”的後面
2、求一個數的幾倍： 一個數×幾倍； 求一個數的幾分之幾是多少： 一個數× 。
3、寫數量關係式技巧：
（1）“的”相當於 “×”（乘號）
“佔”、“是”、“比”“相當於”相當於“=”（等號）
（2）分率前是“的”：
單位“1”的量×分率=分率對應量
（3）分率前是“多或少”的意思：
單位“1”的量×（1±分率）=分率的對應量
二、分數除法
（一）倒數
1、倒數的意義： 乘積是1的兩個數互為倒數。
強調：互為倒數，即倒數是兩個數的關係，它們互相依存，倒數不能單獨存在。（要説清誰是誰的倒數）。
2、求倒數的方法：（原數與倒數之間不要寫等號哦）
（1）求分數的倒數：交換分子分母的位置。
（2）求整數的倒數：把整數看做分母是1的分數，再交換分子分母的位置。
（3）求帶分數的倒數：把帶分數化為假分數，再求倒數。
（4）求小數的倒數： 把小數化為分數，再求倒數。
3、因為1×1=1，1的倒數是1;
因為找不到與0相乘得1的數0沒有倒數。
4、對於任意數a(a≠0)，它的倒數為1/a;非零整數a的倒數為1/a;分數b/a的倒數是a/b;
5、真分數的倒數大於1;假分數的倒數小於或等於1;帶分數的倒數小於1。
（二）分數除法
1、分數除法的意義：
分數除法與整數除法的意義相同，表示已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算。
2、分數除法的計算法則： 除以一個不為0的數，等於乘這個數的倒數。
3、規律（分數除法比較大小時）：
（1）當除數大於1，商小於被除數；
（2）當除數小於1（不等於0），商大於被除數；
（3）、當除數等於1，商等於被除數。
4、“[ ] ”叫做中括號。一個算式裏，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號裏面的，再算中括號裏面的。
（三)分數除法解決問題(詳細見重難點分解）
（未知單位“1”的量（用除法）： 已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。 ）
1、數量關係式和分數乘法解決問題中的關係式相同：
（1）分率前是“的”：
單位“1”的量×分率=分率對應量
（2）分率前是“多或少”的意思：
單位“1”的量×（1 分率）=分率對應量
2、解法：（建議：用方程解答）
（1）方程：根據數量關係式設未知量為x，用方程解答。
（2）算術（用除法）：分率對應量÷對應分率 = 單位“1”的量
3、求一個數是另一個數的幾分之幾：就用一個數÷另一個數
4、求一個數比另一個數多(少)幾分之幾：
① 求多幾分之幾：大數÷小數 – 1
② 求少幾分之幾： 1 - 小數÷大數
或①求多幾分之幾（大數-小數）÷小數
② 求少幾分之幾：（大數-小數）÷大數
（四）比和比的應用
1、比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。
2、在兩個數的比中，比號前面的數叫做比的前項，比號後面的數叫做比的後項。比的前項除以後項所得的商，叫做比值（比值通常用分數表示，也可以用小數或整數表示）。
例如
15 ： 10 = 15÷10=1.5
∶ ∶ ∶ ∶
前項 比號 後項 比值
3、比可以表示兩個相同量的關係，即倍數關係。也可以表示兩個不同量的比，得到一個新量。
例： 路程÷速度=時間。
4、區分比和比值
比：表示兩個數的關係，可以寫成比的形式，也可以用分數表示。
比值：相當於商，是一個數，可以是整數，分數，也可以是小數。
5、根據分數與除法的關係，兩個數的比也可以寫成分數形式。
6、比和除法、分數的聯繫：
7、比和除法、分數的區別：除法是一種運算，分數是一個數，比表示兩個數的關係。
8、根據比與除法、分數的關係，可以理解比的後項不能為0。
體育比賽中出現兩隊的分是2:0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數相除的關係。
（五）比的基本性質
1、根據比、除法、分數的關係：
商不變的性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。
分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數時（0除外），分數值不變。
比的基本性質：比的前項和後項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變。
2、最簡整數比：比的前項和後項都是整數，並且是互質數，這樣的比就是最簡整數比。
3、根據比的基本性質，可以把比化成最簡單的整數比。
4、化簡比：
（1）用比的基本性質化簡
①用比的前項和後項同時除以它們的公因數。
②兩個分數的比：用前項後項同時乘分母的最小公倍數，再按化簡整數比的方法來化簡。
③兩個小數的比：向右移動小數點的位置，先化成整數比再化簡。
（2）用求比值的方法。注意: 最後結果要寫成比的形式。
5、按比例分配：把一個數量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。
如： 已知兩個量之比為 ，則設這兩個量分別為 。
6、路程一定，速度比和時間比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，時間比則為5：4）
工作總量一定，工作效率和工作時間成反比。
（如：工作總量相同，工作時間比是3:2，工作效率比則是2:3）
三、百分數
（一）百分數的意義和寫法
1、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。
百分數是指的兩個數的比，因此也叫百分率或百分比。
2、百分數和分數的主要聯繫與區別：
（1）聯繫：都可以表示兩個量的倍比關係。
（2）區別：
①意義不同：百分數只表示兩個數的倍比關係，不能表示具體的數量，所以不能帶單位；
分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關係，表示具本數時可以帶單位。
②、百分數的分子可以是整數，也可以是小數；
分數的分子不能是小數，只能是除0以外的自然數。
3、百分數的寫法：通常不寫成分數形式，而在原來分子後面加上“%”來表示。
（二）百分數與小數的互化：
1、小數化成百分數：把小數點向右移動兩位，同時在後面添上百分號。
2、百分數化成小數：把小數點向左移動兩位，同時去掉百分號。
（三）百分數的和分數的互化
1、百分數化成分數：
先把百分數化成分數，先把百分數改寫成分母是否100的分數，能約分要約成最簡分數。
2、分數化成百分數：
① 用分數的基本性質，把分數分母擴大或縮小成分母是100的分數，再寫成百分數形式。
②先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數），再把小數化成百分數。
（四）常見的分數與小數、百分數之間的互化
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