（選自人教版高中數學第一冊（上）第三章第五節）一、教材分析1.從在教材中的地位與作用來看《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，它不僅在現實生活中有着廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今後學習和工作中必備的數學素養。2.從學生認知角度看從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有着本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對於q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在後面使用的過程中容易出錯。3. 學情分析教學對象是剛進入高中的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由於年齡的原因，思維儘管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。4. 重點、難點教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用。教學難點：公式的推導方法和公式的靈活運用。公式推導所使用的“錯位相減法”是高中數學數列求和方法中最常用的方法之一，它藴含了重要的數學思想，所以既是重點也是難點。二、目標分析知識與技能目標：理解並掌握等比數列前n項和公式的推導過程、公式的特點，在此基礎上能初步應用公式解決與之有關的問題。過程與方法目標：通過對公式推導方法的探索與發現，向學生滲透特殊到一般、類比與轉化、分類討論等數學思想，培養學生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。情感與態度價值觀：通過對公式推導方法的探索與發現，優化學生的思維品質，滲透事物之間等價轉化和理論聯繫實際的辯證唯物主義觀點。三、過程分析學生是認知的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，儘可能地讓學生去經歷知識的形成與發展過程，結合本節課的特點，我設計瞭如下的教學過程：1.創設情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為讚賞，對他説：我可以滿足你的任何要求。西薩説：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往後每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來後，國王大吃一驚。為什麼呢？設計意圖：設計這個情境目的是在引入課題的同時激發學生的興趣，調動學習的積極性。故事內容緊扣本節課的主題與重點。此時我問：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導學生寫出麥粒總數 .帶着這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然後再求和。這時我對他們的這種思路給予肯定。設計意圖：在實際教學中，由於受課堂時間限制，教師捨不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學生的認知規律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什麼不相加而馬上相減呢？在整個教學關鍵處學生難以轉過彎來，因而在教學中應捨得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學生學習的障礙。同時，形成繁難的情境激起了學生的求知慾，迫使學生急於尋求解決問題的新方法，為後面的教學埋下伏筆。2.師生互動，探究問題在肯定他們的思路後，我接着問：1，2，22，…，263是什麼數列？有何特徵？ 應歸結為什麼數學問題呢？探討1： ，記為（1）式，注意觀察每一項的特徵，有何聯繫？（學生會發現，後一項都是前一項的2倍）探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的後一項，（1）式兩邊同乘以2則有 ，記為（2）式。比較（1）(2）兩式，你有什麼發現？設計意圖：留出時間讓學生充分地比較，等比數列前n項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經地義”的，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應着力在這兒做文章，從而抓住培養學生的辯證思維能力的良好契機。經過比較、研究，學生髮現：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到： .老師指出：這就是錯位相減法，並要求學生縱觀全過程，反思：為什麼（1）式兩邊要同乘以2呢？設計意圖：經過繁難的計算之苦後，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數學的信心。3.類比聯想，解決問題這時我再順勢引導學生將結論一般化， 這裏，讓學生自主完成，並喊一名學生上黑板，然後對個別學生進行指導。設計意圖：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。對不對？這裏的q能不能等於1？等比數列中的公比能不能為1？q=1時是什麼數列？此時sn=？（這裏引導學生對q進行分類討論，得出公式，同時為後面的例題教學打下基礎。）再次追問：結合等比數列的通項公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）設計意圖：通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環節非常重要，儘管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。4.討論交流，延伸拓展在此基礎上，我提出：探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？我們知道， 那麼我們能否利用這個關係而求出sn呢？根據等比數列的定義又有 ，能否聯想到等比定理從而求出sn呢？ 設計意圖：以疑導思，激發學生的探索慾望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍。 以上兩種方法都可以化歸到 , 這其實就是關於 的一個遞推式，遞推數列有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源於課本，又高於課本，對學生的思維發展有促進作用。5.變式訓練，深化認識
首先，學生獨立思考，自主解題，再請學生上台來幻燈演示他們的解答，其它同學進行評價，然後師生共同進行總結。設計意圖：採用變式教學設計題組，深化學生對公式的認識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數學認知結構的形成。通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養學生的參與意識和競爭意識。6.例題講解，形成技能
設計意圖：解題時，以學生分析為主，教師適時給予點撥，該題有意培養學生對含有參數的問題進行分類討論的數學思想。7.總結歸納，加深理解以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然後老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結。設計意圖：以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。8.故事結束，首尾呼應最後我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這麼多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產量的459倍，顯然國王兑現不了他的承諾。 設計意圖：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助於學生克服疲倦、繼續積極思維。9.課後作業，分層練習必做： p129練習1、2、3、4選作：（2）“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？ 設計意圖：出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有餘力的學生有思考的空間。四、教法分析對公式的教學，要使學生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推導方法，理解公式的成立條件，充分體現公式之間的聯繫。在教學中，我採用“問題――探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現問題、探索規律、總結規律、應用規律四個階段。利用多媒體輔助教學，直觀地反映了教學內容，使學生思維活動得以充分展開，從而優化了教學過程，大大提高了課堂教學效率。五、評價分析本節課通過三種推導方法的研究，使學生從不同的思維角度掌握了等比數列前n項和公式。錯位相減：變加為減，等價轉化；遞推思想：縱橫聯繫，揭示本質；等比定理：迴歸定義，自然樸實。學生從中深刻地領會到推導過程中所藴含的數學思想，培養了學生思維的深刻性、敏鋭性、廣闊性、批判性。同時通過精講一題，發散一串的變式教學，使學生既鞏固了知識，又形成了技能。在此基礎上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養了學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培養了學生勇於探索、不斷創新的思維品質。
教學目的：1.掌握等比數列的定義。 2.理解等比數列的通項公式及推導； 理解等比中項概念。 教學重點：等比數列的定義及通項公式 教學難點：靈活應用定義式及通項公式解決相關問題 教學過程： 一、複習引入：1.等差數列的定義： － =d ，（n≥2，n∈n*） 2.等差數列的通項公式： 3.幾種計算公差d的方法：d= － = = 4.等差中項： 成等差數列 二、講解新課： 下面我們來看這樣幾個數列，看其又有何共同特點？ 1，2，4，8，16，…，263; ① 5，25，125，625，…； ② 1，－ ，…； ③ 對於數列①， = ; =2（n≥2） 對於數列②， = ; =5（n≥2） 對於數列③， = · ； （n≥2） 共同特點：從第二項起，每一項與前一項的比都等於同一個常數
1.等比數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，那麼這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即： ｛ ｝成等比數列 =q（ ,q≠0） 注意：等比數列的定義隱含了任一項 2.等比數列的通項公式1: 由等比數列的定義，有： ； ； ； … … … … … … … 3.等比數列的通項公式2: 4.既是等差又是等比數列的數列：非零常數列。 5.等比中項：如果在a與b中間插入一個數g，使a,g，b成等比數列，那麼稱這個數g為a與b的等比中項。 即g=± （a,b同號） a,g,b成等比數列 g =ab（a·b≠0） 三、例題例1 課本 p123例1，請同學們認真閲讀題目，並自己動手解題。 例2 一個等比數列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項。（課本p123例2） 例3 求下列各等比數列的通項公式： 1. =-2, =-8 （答案 ） 2. =5, 且2 = -3 例4. 求數列 =5, 且 的通項公式 解： 以上各式相乘得： 例5. 已知{an}、{bn}是項數相同的等比數列，求證 是等比數列。（課本p123 例3） 四、練習： 1.求下面等比數列的第4項與第5項： （1）5，－15，45，……； （2）1.2，2.4，4.8，……； （3） ，……. 2. 一個等比數列的第9項是 ，公比是－ ，求它的第1項。 五、作業：課本 p 125習題3.4 1（2）（4），2， 5， 6，7（2），8， 9.
將一張很大的薄紙對摺，對摺30次後（如果可能的話）有多厚？不妨假設這張紙的厚度為0.01毫米。
參考答案：
30次後，厚度為，這個厚度超過了世界最高的山峯——珠穆朗瑪峯的高度。如果紙再薄一些，比如紙厚0.001毫米，對摺34次就超過珠穆朗瑪峯的高度了。還記得國王的承諾嗎？第31個格子中的米已經是1073741824粒了，後邊的格子中的米就更多了，最後一個格子中的米應是粒，用計算器算一下吧（用對數算也行）。
教學目標
1.把握等比數列前 項和公式，並能運用公式解決簡單的問題。
(1)理解公式的推導過程，體會轉化的思想；
(2)用方程的思想熟悉等比數列前 項和公式，利用公式知三求一；與通項公式結合知三求二；
2.通過公式的靈活運用，進一步滲透方程的思想、分類討論的思想、等價轉化的思想。
3.通過公式推導的教學，對學生進行思維的嚴謹性的練習，培養他們實事求是的科學態度。
教學建議
教材分析
(1)知識結構
先用錯位相減法推出等比數列前 項和公式，而後運用公式解決一些問題，並將通項公式與前 項和公式結合解決問題，還要用錯位相減法求一些數列的前 項和。
(2)重點、難點分析
教學重點、難點是等比數列前 項和公式的推導與應用。公式的推導中藴含了豐富的數學思想、方法(如分類討論思想，錯位相減法等),這些思想方法在其他數列求和問題中多有涉及，所以對等比數列前 項和公式的要求，不單是要記住公式，更重要的是把握推導公式的方法。 等比數列前 項和公式是分情況討論的，在運用中要非凡注重 和 兩種情況。
教學建議
(1)本節內容分為兩課時，一節為等比數列前 項和公式的推導與應用，一節為通項公式與前 項和公式的綜合運用，另外應補充一節數列求和問題。
(2)等比數列前 項和公式的推導是重點內容，引導學生觀察實例，發現規律，歸納總結，證實結論。
(3)等比數列前 項和公式的推導的其他方法可以給出，提高學生學習的愛好。
(4)編擬例題時要全面，不要忽略 的情況。
(5)通項公式與前 項和公式的綜合運用涉及五個量，已知其中三個量可求另兩個量，但解指數方程難度大。
(6)補充可以化為等差數列、等比數列的數列求和問題。
教學設計示例
課題：等比數列前 項和的公式
教學目標
(1)通過教學使學生把握等比數列前 項和公式的推導過程，並能初步運用這一方法求一些數列的前 項和。
(2)通過公式的推導過程，培養學生猜想、分析、綜合能力，提高學生的數學素質。
(3)通過教學進一步滲透從非凡到一般，再從一般到非凡的辯證觀點，培養學生嚴謹的學習態度。
教學重點，難點
教學重點是公式的推導及運用，難點是公式推導的思路。
教學用具
幻燈片，課件，電腦。
教學方法
引導發現法。
教學過程
一、新課引入：
(問題見教材第129頁)提出問題： (幻燈片)
二、新課講解：
記 ,式中有64項，後項與前項的比為公比2,當每一項都乘以2後，中間有62項是對應相等的，作差可以相互抵消。
(板書)即 , ①
, ②
②-①得 即 .
由此對於一般的等比數列，其前 項和 ,如何化簡？
(板書)等比數列前 項和公式
仿照公比為2的等比數列求和方法，等式兩邊應同乘以等比數列的公比 ,即
(板書) ③兩端同乘以 ,得
④,
③-④得 ⑤,(提問學生如何處理，適時提醒學生注重 的取值)
當 時，由③可得 (不必導出④,但當時設想不到)
當 時，由⑤得 .
於是
反思推導求和公式的方法——錯位相減法，可以求形如 的數列的和，其中 為等差數列， 為等比數列。
(板書)例題：求和： .
設 ,其中 為等差數列， 為等比數列，公比為 ,利用錯位相減法求和。
解： ,
兩端同乘以 ,得
,
兩式相減得
於是 .
説明：錯位相減法實際上是把一個數列求和問題轉化為等比數列求和的問題。
公式其它應用問題注重對公比的分類討論即可。
三、小結：
1.等比數列前 項和公式推導中藴含的思想方法以及公式的應用；
2.用錯位相減法求一些數列的前 項和。
四、作業：略 .
五、板書設計：
等比數列前 項和公式例題
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