第一篇：國中數學定理證明
國中數學定理證明
數學定理
三角形三條邊的關係
定理：三角形兩邊的和大於第三邊
推論：三角形兩邊的差小於第三邊
三角形內角和
三角形內角和定理三角形三個內角的和等於180°
推論1直角三角形的兩個鋭角互餘
推論2三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角和
推論3三角形的一個外角大雨任何一個和它不相鄰的內角
角的平分線
性質定理在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
幾何語言：
∵oc是∠aob的角平分線(或者∠aoc=∠boc)
pe⊥oa，pf⊥ob
點p在oc上
∴pe=pf(角平分線性質定理)
判定定理到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上
幾何語言：
∵pe⊥oa，pf⊥ob
pe=pf
∴點p在∠aob的角平分線上(角平分線判定定理)
等腰三角形的性質
等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩底角相等
幾何語言：
∵ab=ac
∴∠b=∠c(等邊對等角)
推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊並且垂直於底邊
幾何語言：
(1)∵ab=ac，bd=dc
∴∠1=∠2，ad⊥bc(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)
(2)∵ab=ac，∠1=∠2
∴ad⊥bc，bd=dc(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)
(3)∵ab=ac，ad⊥bc
∴∠1=∠2，bd=dc(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)
推論2等邊三角形的各角都相等，並且每一個角等於60°
幾何語言：
∵ab=ac=bc
∴∠a=∠b=∠c=60°(等邊三角形的各角都相等，並且每一個角都等於60°)
等腰三角形的判定
判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等
幾何語言：
∵∠b=∠c
∴ab=ac(等角對等邊)
推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形
幾何語言：
∵∠a=∠b=∠c
∴ab=ac=bc(三個角都相等的三角形是等邊三角形)
推論2有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形
幾何語言：
∵ab=ac，∠a=60°(∠b=60°或者∠c=60°)
∴ab=ac=bc(有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形)
推論3在直角三角形中，如果一個鋭角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半
幾何語言：
∵∠c=90°，∠b=30°
∴bc=ab或者ab=2bc(在直角三角形中，如果一個鋭角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半)
線段的垂直平分線
定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
幾何語言：
∵mn⊥ab於c，ab=bc，(mn垂直平分ab)
點p為mn上任一點
∴pa=pb(線段垂直平分線性質)
逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
幾何語言：
∵pa=pb
∴點p在線段ab的垂直平分線上(線段垂直平分線判定)
軸對稱和軸對稱圖形
定理1關於某條之間對稱的兩個圖形是全等形
定理2如果兩個圖形關於某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線
定理3兩個圖形關於某直線對稱，若它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上
逆定理若兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那這兩個圖形關於這條直線對稱
勾股定理
勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等於斜邊c的平方，即
a2+b2=c2
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關係，那麼這個三角形是直角三角形
四邊形
定理任意四(本站)邊形的內角和等於360°
多邊形內角和
定理多邊形內角和定理n邊形的內角的和等於(n-2)·180°
推論任意多邊形的外角和等於360°
平行四邊形及其性質
性質定理1平行四邊形的對角相等
性質定理2平行四邊形的對邊相等
推論夾在兩條平行線間的平行線段相等
性質定理3平行四邊形的對角線互相平分
幾何語言：
∵四邊形abcd是平行四邊形
∴ad‖bc，ab‖cd(平行四邊形的對角相等)
∠a=∠c，∠b=∠d(平行四邊形的對邊相等)
ao=co，bo=do(平行四邊形的對角線互相平分)
平行四邊形的判定
判定定理1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵ad‖bc，ab‖cd
∴四邊形abcd是平行四邊形
(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)
判定定理2兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵∠a=∠c，∠b=∠d
∴四邊形abcd是平行四邊形
(兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形)
判定定理3兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵ad=bc，ab=cd
∴四邊形abcd是平行四邊形
(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)
判定定理4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵ao=co，bo=do
∴四邊形abcd是平行四邊形
(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)
判定定理5一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵ad‖bc，ad=bc
∴四邊形abcd是平行四邊形
(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)
矩形
性質定理1矩形的四個角都是直角
性質定理2矩形的對角線相等
幾何語言：
∵四邊形abcd是矩形
∴ac=bd(矩形的對角線相等)
∠a=∠b=∠c=∠d=90°(矩形的四個角都是直角)
推論直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
幾何語言：
∵△abc為直角三角形，ao=oc
∴bo=ac(直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半)
判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形
幾何語言：
∵∠a=∠b=∠c=90°
∴四邊形abcd是矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形)
判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形
幾何語言：
∵ac=bd
∴四邊形abcd是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)
菱形
性質定理1菱形的四條邊都相等
性質定理2菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角
幾何語言：
∵四邊形abcd是菱形
∴ab=bc=cd=ad(菱形的四條邊都相等)
ac⊥bd，ac平分∠dab和∠dcb，bd平分∠abc和∠adc
(菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角)
判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形
幾何語言：
∵ab=bc=cd=ad
∴四邊形abcd是菱形(四邊都相等的四邊形是菱形)
判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
幾何語言：
∵ac⊥bd，ao=co，bo=do
∴四邊形abcd是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)
正方形
性質定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等
性質定理2正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
中心對稱和中心對稱圖形
定理1關於中心對稱的兩個圖形是全等形
定理2關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分
逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，並且被這一點平分，那麼這兩個圖形關於這一點對稱
梯形
等腰梯形性質定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等
幾何語言：
∵四邊形abcd是等腰梯形
∴∠a=∠b，∠c=∠d(等腰梯形在同一底上的兩個角相等)
等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
幾何語言：
∵∠a=∠b，∠c=∠d
∴四邊形abcd是等腰梯形(在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形)
三角形、梯形中位線
三角形中位線定理三角形的中位線平行與第三邊，並且等於它的一半
幾何語言：
∵ef是三角形的中位線
∴ef=ab(三角形中位線定理)
梯形中位線定理梯形的中位線平行與兩底，並且等於兩底和的一半
幾何語言：
∵ef是梯形的中位線
∴ef=(ab+cd)(梯形中位線定理)
比例線段
1、比例的基本性質
如果a∶b=c∶d，那麼ad=bc
2、合比性質
3、等比性質
平行線分線段成比例定理
平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例
幾何語言：
∵l‖p‖a
(三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例)
推論平行與三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例
定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那麼這條直線平行與三角形的第三邊
垂直於弦的直徑
垂徑定理垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵oc⊥ab，oc過圓心
(垂徑定理)
推論1
(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵oc⊥ab，ac=bc，ab不是直徑
(平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧)
(2)弦的垂直平分線過圓心，並且平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵ac=bc，oc過圓心
(弦的垂直平分線過圓心，並且平分弦所對的兩條弧)
(3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
幾何語言：
(平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧)
推論2圓的兩條平分弦所夾的弧相等
幾何語言：∵ab‖cd
圓心角、虎弦、弦心距之間的關係
定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距也相等
推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條虎兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等
圓周角
定理一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半
推論1同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直角
推論3如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形
圓的內接四邊形
定理圓的內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角都等於它的內對角
幾何語言：
∵四邊形abcd是⊙o的內接四邊形
∴∠a+∠c=180°，∠b+∠adb=180°，∠b=∠ade
切線的判定和性質
切線的判定定理經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線
幾何語言：∵l⊥oa，點a在⊙o上
∴直線l是⊙o的切線(切線判定定理)
切線的性質定理圓的切線垂直於經過切點半徑
幾何語言：∵oa是⊙o的半徑，直線l切⊙o於點a
∴l⊥oa(切線性質定理)
推論1經過圓心且垂直於切線的直徑必經過切點
推論2經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心
切線長定理
定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
幾何語言：∵弦pb、pd切⊙o於a、c兩點
∴pa=pc，∠apo=∠cpo(切線長定理)
弦切角
弦切角定理弦切角等於它所夾的弧對的圓周角
幾何語言：∵∠bcn所夾的是，∠a所對的是
∴∠bcn=∠a
推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等
幾何語言：∵∠bcn所夾的是，∠acm所對的是，=
∴∠bcn=∠acm
和圓有關的比例線段
相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被焦點分成的兩條線段長的積相等
幾何語言：∵弦ab、cd交於點p
∴pa·pb=pc·pd(相交弦定理)
推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項
幾何語言：∵ab是直徑，cd⊥ab於點p
∴pc2=pa·pb(相交弦定理推論)
切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線段長的比例中項
幾何語言：∵pt切⊙o於點t，pba是⊙o的割線
∴pt2=pa·pb(切割線定理)
推論從圓外一點因圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的焦點的兩條線段長的積相等
幾何語言：∵pba、pdc是⊙o的割線
∴pt2=pa·pb(切割線定理推論)。
第二篇：北師大版國中數學證明定理
公理 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行（同位角相等，兩直線平行）
定理 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那麼這兩條直線平行（同旁內角互補，兩直線平行）
定理 兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那麼這兩條直線平行（內錯角相等，兩直線平行）
定理 對頂角相等
公理 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等（兩直線平行，同位角相等） 定理 兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等（兩直線平行，內錯角相等） 定理 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補（兩直線平行，同旁內角互補） 定理 如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行
定理 三角形三個內角的和等於180°（三角形內角和定理）
定理 四邊形的內角和等於360°
定理 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
定理 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
公理 三邊對應相等的兩個三角形全等（sss）
公理 兩邊及其家變對應相等的兩個三角形全等（sas）
公理 兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（asa）
公理 全等三角形的對應邊相等、對應角相等。
定理 兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（aas）
定理 等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）
定理 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一） 定理 等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°
定理 有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）
定理 有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形。
定理 在直角三角形中，如果一個鋭角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。 定理 三個角都相等的三角形是等邊三角形
定理 直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方（勾股定理）
定理 如果三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形 定理 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（hl）
定理 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等
定理 到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
定理 三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等。
定理 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
定理 在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上
定理 三角形的三條角平分線相交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等
定理 平行四邊形的對邊相等
定理 平行四邊形的對角相等
定理 平行四邊形法的對角線互相平分
定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等
定義 兩腰相等的梯形是等腰梯形
定理 同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
定理 夾在兩條平行線間的平行線段相等
定義 兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形
定理 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
定理 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
定理 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
定理 兩組對角相等的四邊形是平行四邊形
定理 三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半
定理 矩形的四個角都是直角
定理 矩形的對角線相等
定理 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
定義 有一個叫是直角的平行四邊形是矩形
定理 有三個角是直角的四邊形是矩形
定理 對角線相等的平行四邊形是矩形
定理 如果一個三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形 定理 菱形的四條邊都相等
定理 菱形的對角線互相垂直，並且每條對角線平分一組對角
定義 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
定理 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
定理 有四條邊相等的四邊形是菱形
定理 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等
定理 正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角 定理 有一個角是直角的菱形是正方形
定理 對角線相等的菱形是正方形
定理 對角線互相垂直的矩形是正方形
第三篇：著名定理證明(國中)
24.著名定理證明（14分）（該題有六個小題，須選做兩個，全對才給分，每個七分，多做滿分也是14分）
（1）試證明海倫公式：s三角形=√p(p-a)(p-b)(p-c),(p=三角形周長的一半)
(2)試證明角平分線定理：如圖：若ad平分∠bac，證明：
ab*cd=ac*bd
（3）證明射影定理：如圖：在rt三角形egf中，hg⊥ef，eg⊥fg
ⅰ：證明：hg2=eh*hf
ⅱ：證明：fg2=hf*ef
ⅲ：證明：eg2=eh*ef
（4）證明：s圓錐=sh/3（s=底面積，h=高）（提示，將圓錐等分為無限個“圓片”）
（5）證明：2π=sin（360/∞）*∞（提示，作圓內接正n邊形）
（6）證明：中線定理：
如圖，ai是三角形abc中線，證明：
25、三角形是一個神奇的圖形，如三角形有五心（旁心、重心、內心、外心、垂心），在三角形中有許多重要定理，如：勾股定理、餘弦定理??，三角形有許多重要公式，如：海倫公式??，在三角形中還有許多重要的點，如：費馬點、歐拉點??
但今天，我們來研究一個多點共圓的問題：
首先，要證明多點共圓，只能從四點共圓入手，因此我現在這裏提出一個證明四點共圓的方法：
證明：在任意凸四邊形中，連接對角線，若同邊所對的角相等，則這四點共圓，請以下圖為例證明：如圖，∠cbd=∠cad（4分）
（2）如圖，在任意等腰三角形中（頂角小於90度），證明：三垂線垂足、及三個歐拉點共圓（歐拉點：三角形三垂線交於一點為垂心，垂心與三頂點的連線的三條線段的中點即為歐拉點）（10分）：以下圖為例證明：
如圖，ab=ac，ch、ad、bm是等腰三角形abc的高，p為垂心， o、n、g是三個歐拉點
第四篇：國中數學常用定理
1圓是定點的距離等於定長的點的集合
2圓的內部可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合
3圓的外部可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合
4同圓或等圓的半徑相等
5到定點的距離等於定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半
徑的圓
6和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是着條線段的垂直
平分線
7到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線
8到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距
離相等的一條直線
9定理 不在同一直線上的三點確定一個圓。
10垂徑定理 垂直於弦的直徑平分這條弦並且平分弦所對的兩條弧
11推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧②弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧12推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
13圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
14定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦
相等，所對的弦的弦心距相等
15推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩
弦的弦心距中有一組量相等那麼它們所對應的其餘各組量都相等
16定理 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半
17推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
18推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所
對的弦是直徑
19推論3 如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形
20定理 圓的內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角都等於它
的內對角
21①直線l和⊙o相交 d＜r
②直線l和⊙o相切 d=r
③直線l和⊙o相離 d＞r
22切線的判定定理 經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線23切線的性質定理 圓的切線垂直於經過切點的半徑
24推論1 經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點
25推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心
26切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，
圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
27圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
28弦切角定理 弦切角等於它所夾的弧對的圓周角
29推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等
30相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等
第五篇：國中數學公式定理大全
國中數學公式定理大全
一、鋭角三角函數：
① ∠a是rt△abc的任一鋭角，則∠a的正弦：sin
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