有效數字（多篇）（新版多篇）

A Level 物理有效數字問題 篇一

A Level 物理有效數字問題

(by: Dr. Yu) 筆者：Dr. 喻麟佑，華南國際預科中心，學術副校長，美國亞利桑那大學物理學博士

一、前言：

很多教師都感覺得到，有效數字（significant figures, 或簡寫成 s.f.），無論是在劍橋（Cambridge CIE）或者是愛得思（Edexcel）的A Level 物理考試裏面，總是令人有點擔心的，尤其是劍橋的A Level 物理。筆者有鑑於此，特撰寫此文，以減低種種不必要的誤會或困擾，請各界多加指教。

為什麼會有“有效數字”的需要呢？為什麼比小數點幾位數更重要呢？這個有效數字的真意，老師們如果切實領悟了，就會發覺其重要性與必要性。否則，雖然知道怎麼按照規定來使用，但不明白它真正的用意，卻還是不究竟的了。

二、有效數字的基本概念與含義

來描述有效數字的基本概念，就讓筆者舉一個最簡單的例子來出發吧。我們用直尺來量物體的長度。大家都明白，一個直尺的精密度（最小刻度），大概是1mm（1毫米），也就是0.1 cm （0.1釐米）。好了，我們用這支尺來測量一支牙籤的長度，我們得到了測量值：

牙籤的長度 = 6.4 cm

這是一個有效數字為2的數值。那麼，如果有一位同學説，我測到的是：

牙籤的長度 = 6.43 cm

這位同學，很可能是言過其實了，他或她怎麼能夠確定那0.03 cm是可靠的呢？其中猜測的成分就比較高的了，也就是説，那多出來的一位數是“無效的”了。然而，我們説，牙籤的長度 = 6.4 cm，可以相當明確的、肯定的説：那不是6.3 cm 或6.5 cm，而是6.4 cm，這6.4 cm的兩位數字，則都是“有效的”了。再説，牙籤的長度 = 6.4 cm, 這種描述，應該是令人滿意的了，畢竟只是一支牙籤。如果有些物體，精確度非常重要，而必須測量出更精確的數值，那麼，就必須考慮使用更精密的儀器來測量，而不能憑猜測的。

我們再舉一個例子，還是用直尺，但是用來量度一條水庫魚的長度（筆者喜歡去吃農家菜），如果，我們得到：

水庫魚長度 = 64.3 cm （很大的一條魚）

那麼，這回是一個有效數字為3的數值了。有效數字多出了一位，其中的含義是什麼呢？ 事實上，這條水庫魚，即使我們我們用了2個有效數字來描述，説是64 cm，大部分的人也是能夠接受的，如果有人要求高些，也可以按要求，給出3個有效數字：64.3 cm。

我們現在來看看有效數字的含義：

先看牙籤的長度：

牙籤的長度 = 6.4 cm, 測量的誤差最多為加減0.1 cm，或説 1 mm（也就是最差的情況，一般不太可能那麼差）， 那麼最大的百分誤差是多少呢？我們來算算： 0.1/6.4 = 0.016 = 1.6 % 所以説，最大的百分誤差應該是加減1.6 %；百分之1.6，誤差不大，一般用途，可以接受。

再看看水庫魚長度：

水庫魚長度 = 64.3 cm，誤差最多也為加減 0.1 cm （亦即1 mm） 那麼最大的百分誤差可計算如下 0.1/64.3= 0.0016 = 0.16 % 最大的百分誤差誤差則是 0.16%，也就是千分之1.6了，精密度也就是更大了，精密了10倍。所以説，有效數字，可直接反映出百分誤差的大小。

再舉一個例子，比如説，我們用一個捲尺（也具有1 mm的刻度），來測量一段道路的長度，發現數值為

64.327米（或6432.7 cm）

這是一個有效數字為5的數值，其最大百分誤差為

0.001/64.327或0.1/6432.7 = 0.000016 = 十萬分之1.6（注：1 mm = 0.001 m）

十萬分之1.6的精密度，實在是不小，重點是，有沒有那個必要？或者，在某些用途中，十萬分之1.6的精密度，有沒有實際意義在？比如説，吾人報告此段道路的長度為64.3米（三位有效，3 s.f.），甚至説64米（兩位有效，2 s.f.），一般來説，是令人滿意的了，如果説是64.327米，可能有人會覺得很沒必要那麼説，甚至於很可笑了，因為開車時、或走路時，那0.001米，對大家來説，是沒太大意義的。即使説64.3米，其誤差也只有千分之1.6了，因為，即使最大誤差為10釐米（0.1米）那麼多，我們可以確定道路長度，在最大的誤差之下，則可能會是64.2米或64.4米（事實上不可能差那麼多），則最大百分誤差為 0.1米/64.3米 = 0.0016 = 0.16%，也就是千分之1.6了，針對一般用途來説，已經是非常精確的了。

所以，以一般用途而言，2個有效數字（2 s.f.）往往隱含着百分之幾的誤差；而3個有效數字（3 s.f.），往往隱含着千分之幾的誤差。至於更多的有效數字，往往是用在非常特別的領域之中，有其非常特別的需求與用意在。

三、有效數字的表達方法

談到有效數字的表達方法，科學記數法 (scientific notation)，可以説是一種表達有效數字特別有用的方法，尤其是針對於特別大的數、或特別小的數，特別有幫助，例如

 地球的質量為：5.981024kg  電子的質量為：9.111031kg  光速在真空中為：3.00108 m/s  質子的電量為：1.601019 C

以上相當重要的物理數值，在大學教科書的數值表中，一般是給出三位有效數字為主。在大學物理中，如果沒有特別要求，一般的計算的結果，大多是以三位有效數字以內來表達，除非有特別要求，必須使用高於三位有效數字，才使用之。

但是，有時，科學記數法，並非最佳的表達法，很多時候，沒有必要來用，例如，20頭羊，偏要寫成2.00101頭羊，反而顯得過分了些，比較沒有必要。

我們再多看一些例子：

 0.0207，前面的兩個0不是有效數字，後面的2、0、7均為有效數字，所以0.0207是一個有3個有效數字的數值，也可以寫成 2.07102，也是有3位有效數字。  4.307106，4、3、0、7均為有效數字，後面的10的6次方不是有效數字，所以4.307106是一個有4個有效數字的數值。

 2.60 有3個有效數字，小數點前後的2、6、0均為有效數字。

 0.01300，前面的兩個0不是有效數字，但是，最後的四位數1、3、0、0均為有效數字（最後的兩個0也算）。所以這是一個有4個有效數字的數值。

 200.340 有6位有效數字。

 2.998108，若寫成3個有效數字的數值，則為3.00108。 以上表達有效數字的原則比較沒有問題，然而， 我們來看以下一個問題：

Find the weight (in Newton) of a 325 kg object on the surface of the Earth. (g = 9.8 N/kg)

我們可以計算在地球表面的重力：

Weight = mg =325kg9.8N/kg3185N

要寫成2位有效數字的答案（因為9.8乃2位有效數字），則可以寫成 Weight = 3200 N，或者也可以寫成3.2103N，也就是説，在這裏3200，是一個正確的2位有效數字的表達，這是完全沒有問題的，在A Level物理考題的Mark Scheme裏面，是普遍表明的、使用的，讀者不可不察。

因此把3185寫成2位有效數字的答案，並非一定要寫成3.2103。

如果堅持要説3200是一個4位有效數字的數值，就不應該了。

因此，給與一個整數形式的表達，後面的零算不算是有效數字，是要看問題本身的實際狀況，以及整個計算過程的狀況而定，比如説以上題為例，不可直接把3200定為4位有效數字的表達了。像這種例子，在A Level物理考題的Mark Scheme裏面表達的非常之多，尤其是答案是三位數、四位數，往往不用科學記數法來寫，以免反而變麻煩了。先舉一個例子，在2011年六月愛得思A Level物理Unit 5 第16題的Mark Scheme裏，表明如下：

其中計算出來的温度T = 971 K，然而答案則寫為970 K，顯然是一個2位有效數字的答案，這是合理的，因為在計算中，我們可以看出3.2 W只有兩位有效數字。再多舉幾個例子：

2012年夏季，愛得思A Level物理Unit 5的Mark Scheme裏：

以上的答案，很明顯，Energy = 780 J，與Temperature = 180 K，雖然沒有用科學記數法來寫，但都是以二位有效數字來表達的（不能説是有3位有效數字了，後面的0，不能稱為有效數字），這是合理的，因為在計算中，最低的有效數字有兩位的。

2012年一月（春季），愛得思A Level物理Unit 5的Mark Scheme裏：

顯然，Time = 1100 s，雖然沒有用科學記數法來寫，還是以二位有效數字來表達的（不能説是有4位有效數字了，後面的0，實在是不能稱為有效數字的），這是合理的，因為觀察計算過程，就完全可以明白了。諸如此類的例子，比比皆是，不甚枚舉。

四、使用有效數字的一些法則

使用有效數字，有許多默認的法則，比如説有關  四捨五入的原則，

 不同有效數字運算在一起的原則，  甚至於，與對數計算有關的

等等原則，相信讀者大多有所瞭解，限於篇幅，本短文不加以贅述了。

五、結語

A Level物理對於有效數字的表達，有某種程度的強調，在實驗部分的考卷裏，會更加地重視，甚至於因此而扣分，也是完全可能的。即使不是實驗考題，若在有效數字方面，表達的不好（給太多無意義的有效數字，或沒按要求，給的太少），會給改考官一個不太好的印象，甚至於遭到扣分，也是可能的。劍橋的物理A Level，就更加的講究了，請各位老師及同學多加註意。 祝 身體健康

~Dr. Yu 謹識

2014/1/6，於廣州，華南國際預科中心

《近似數字與有效數字》教學設計 篇二

《近似數字與有效數字》教學設計

【教學目標】

使學生初步理解和掌握近似數字與有效數字的概念，並且給出一個 四捨五入得到的近似小數，能準確地確定它的精確度和有效數字。 【教學過程】

1、複習提問

在實際應用中，小數通過乘法取得積，往往不需要保留很多的小數位數，我們已經通過“四捨五入法”根據實際需要，保留一定的小數位數，取它的近似值。

例如 將2.953保留整數得3； 2.953保留一位小數得3.0； 2.953保留一位小數得2.95。

二、新課 1.做一做：（1）數一數班上男生的人數， 34人

（2）量一量你的數學課本的長度和寬度，量的長26釐米，寬18.5釐米。 準確數字：一個與實際完全符合的數叫做準確數字。 如： 男生34人，全班65人，車牀126台等。

近似數字：一個與實際非常接近的數，叫近似數字。

（1）課本的寬度18.5釐米，由於所用的尺受到精確度的限制，並且用眼觀察時，不可能非常細緻，因此量到的寬度與實際寬度有所偏差。

（2）我國陸地面積為960平方千米。

（3）小明今年是12歲 。這裏的18.5，960，12都是一個與實際接近的近似數字。

你還能舉出一些日常遇到的近似小數嗎？ 練習

1， π=3.14，其中3.14是 數；

2， 一盒香煙有20支，其中20是 數；

3， 人一步能走0.8米路的距離，其中0.8是 數； 4， 水星的半徑為2440000米，其中2440000是 數。 2.關於精確度問題：

使用近似數字，就有一個近似程度的問題，也就是精確度的問題。 我們知道 π =3.1415926„

計算中，我們需按要求取它的近似小數。

如果只取整數，那麼按“四捨五入”的法則應為3，就叫精確到個位； 如果取1位小數，那麼應為3.1，叫做精確地0.1，（或叫精確到十分位）； 如果取2位小數，那麼應為3.14，叫做精確到0.01，（或叫精確到百分位） „„

一般地，一個近似小數四捨五入到某一位，就説這個近似小數精確到那一位。 3．近似小數的有效數字

定義：在一個近似小數中，從最左邊第一個不是零的數字起，到右邊最後一位四捨五入所得的數字止，所有數字都叫這個數的有效數字。

一共包含的數字的個數，叫做這個近似數字的有效數字的個數。譬如，小明身高為1.70米，1.70這個近似數字精確到百分位，共有3個有效數字1、7、0。

又如，近似數字1.02有3個有效數字，1、0、2。 例1 下列由四捨五入得到的近似數字，各精確到哪一位？各有幾個有效數字？

132.4 0.0572 2.40萬 30000 例2 用四捨五入法，按括號內要求對下列各數得出其的近似數字。 0.34082 （精確到千分位） 1.5046（精確到百分位） 0.0692（保留2個有效數字） 30542（保留3個有效數字） 注意：30542應用科學計數法表示3.05×10。或者用3.05萬。 又如生活中，有時要用“去尾法”或“進一法”來估計的。

譬如，七年級年級準備派112名同學外出參觀，想租用45人坐的客車，那麼需要租多少輛？

112÷45=2.488„這裏不能用四捨五入法取2輛，而應用“進一法”，需要租客車3輛。

例3，近似小數1.6與1.60相同嗎？

分析：從三方面進行比較，1，精確度；2，有效數字；3，原來值的範圍。 設a=1.6，則原來值的範圍是：1.55≤a＜1.65； 設b=1.60，則原來值的範圍是：1.595≤b＜1.605。

例4，3.3是3 1／3的近似值，3 1／3是3.3的真值。

由四捨五入法得到的近似數字是1.6，則它的真值範圍是1.55≤1.6＜1.65。 【小結】正確理解和掌握近似數字，準確數，精確數和有效數字的概念；給出一個近似數字，要能準確地確定它精確到哪一位，有幾個有效數字；並能熟練地按要求計算出任何數的近似數字。

【作業】

1、課本 P2.14 2.選作 0.9999 保留2個有效數字是：_________ 28726 精確到千位是：_________ 2.08×10的有效數字是：_________

有效數字（大全 篇三

一、有效數字

1、在分析工作中實際能測量到的數字就稱為有效數字。

2、在記錄有效數字時，規定只允許數的末位欠準，而且只能上下差1。

二、有效數字修約規則

用“四捨六入五成雙”規則捨去過多的數字。

即當尾數≤4時，則舍；尾數≥6時，則入；尾數等於5時，若5前面為偶數則舍，為奇數時則入。當5後面還有不是零的任何數時，無論5前面是偶或奇皆入。例如：將下面左邊的數字修約為三位有效數字

2.324→2.32 2.325→2.32 2.326→2.33 2.335→2.34 2.32501→2.33

三、有效數字運算法則

1、在加減法運算中，每數及它們的和或差的有效數字的保留，以小數點後面有效數字位數最少的為標準。在加減法中，因是各數值絕對誤差的傳遞，所以結果的絕對誤差必須與各數中絕對誤差最大的那個相當。

例如：2.0375＋0.0745＋39.54 = ？

39.54是小數點後位數最少的，在這三個數據中，它的絕對誤差最大，為±0.01，所以應以39.54為準，其它兩個數字亦要保留小數點後第二位，因此三數計算應為：

2.04＋0.07＋39.54 = 41.65

2、在乘除法運算中，每數及它們的積或商的有效數字的保留，以每數中有效數字位數最少的為標準。在乘除法中，因是各數值相對誤差的傳遞，所以結果的相對誤差必須與各數中相對誤差最大的那個相當。

例如：13.92×0.0112×1.9723 = ？

0.0112是三位有效數字，位數最少，它的相對誤差最大，所以應以0.0112的位數為準，即：

13.9×0.0112×1.97 = 0.307

3、分析結果小數點後的位數，應與分析方法精密度小數點後的位數一致。

4、檢驗結果的寫法應與藥典規定相一致。

有效數字教案 篇四

2.11 有效數字與科學計數法（第一課時）

學習任務分析：

學習目標：

1、瞭解近似數與有效數字的概念，體會近似數的意義及在生活中的作用

2、能説出一個近似數的精確度或有幾個有效數字，能按照要求用四捨五入的方法取一個數的近似數 學習重點：

按要求取一個數的近似數 學習難點：

正確地求一個近似數的精確度及它的有效數字的個數

學習過程設計：

一、問題與情境1： 請你想一想：

在實際應用中，往往不需要保留很多的小數位數，在國小算術中我們曾學過用“四捨五入法”根據實際需要保留一定的小數位數，取它的近似值． 練習：求下列近似值： (1)將2.953保留整數得3 (2)將2.953保留一位小數得3.0 (3)將2.953保留兩位小數得2.95 若按數的近似值記法有： 2.953≈3 （保留整數） 2.953≈3.0 （保留一位小數） 2.953≈2.95 （保留兩位小數）

二、問題與情境2： 自我學習

1．準確數和近似數

在日常生活和生產實際中，我們接觸到很多這樣的數：例如七年級(6)班有55個學生，某工廠有126台機牀，我有4個練習本，這些數：55、126、4都是與實際完全符合的準確數．但是在實際生活和實際計算中存在着大量與實際上大體符合的近似數．

又如月球到地球的距離約是38萬公里，李明同學的身高約是1.63米，38萬、1.63米都是與實際接近的近似數．

在計算面積、體積時，由於測量出來的長度都不可能做到絕對準確，因此所求面積、體積也是一個近似數．

所以，準確數是與實際完全符合的數，近似數是與實際接近的數． 由此我們看到在解決實際問題時，往往只能用近似數，一方面搞得絕對準確是不可能的，另一方面往往也沒有必要搞得完全準確．

2．關於精確度問題．

在大量的實際數學問題中，都會遇到近似數問題，使用近似數，我們知道就有一個近似程度問題，也即精確度問題．

例如前面提到的積2.953 2.953≈3 保留整數，叫做精確到個位（或精確到1）；

2.953≈3.0 保留一位小數，叫做精確到十分位（或精確到0.1）； 2.953≈2.95 保留兩位小數，叫做精確到百分位（或精確到0.01）． 結果取3，就叫做精確到個位（或精確到1）； 取3.3，就叫做精確到十分位（或精確到0.1）； 取3.33，就叫做精確到百分位（或精確到0.01）． „„

一般地，一個近似數，四捨五入到哪一位，就説這個近似數精確到哪一位．

3．近似數的有效數字

在一個近似數中，從左邊第一個不是零的數字起，到右邊最後一位四捨五入所得的數字止，一共包含的數字的個數，叫做這個近似數的有效數字的個數（或位數），其中任意一位上的數字都是有效數字． 上例中，3有一個有效數字：3； 3.0有兩個有效數字：

3、0； 2.95有三個有效數字：

2、9、5．

三、問題與情境3： 請你試一試

例1 下列由四捨五入得到的近似數各精確到哪一位，各有哪幾個有效數字？ (1)43.8；(2)0.03086；(3)2.4萬；(4)3000．

解：(1)43.8，精確到十分位（即精確到0.1）有三個有效數字4、3、8； (2)0.03086，精確到十萬分位（即精確到0.00001）有四個有效數字3、0、8、6； (3) 2.4萬，精確到千位，有兩個有效數字2、4； (4)3000，精確到個位，有四個有效數字3、0、0、0．

注意：(1)有效數字是從左邊第一個不是零的數起；

（2）從左邊第一個不是零的數起到精確到的位數（即最後一位四捨五入所得的數）止，所有的數字．例(2)中，0.03086左邊第一個不是零的數是3，最後一位四捨五入所得的數是6，從3到6的所有的數是3、0、8、6，左邊的兩個0不算，3與6之間的0要算，這個近似數有4個有效數字3、0、8、6；

（3） 要注意末位的零，如(4)中末三個0不能丟．

（4）在實際生活中，有時近似數並不是按“四捨五入”法得到的。如：七年級3班共有54名同學，想租用38座的客車外出秋遊。因為54÷38=1.421„„，這裏就不能用四捨五入法，二要用“進一法”（或叫收尾法）來估計應該租用客車的數量，即應租2輛。

四、問題與情境4： 看你行不行

練習1 下列由四捨五入得到的近似數，各精確到哪一位，各有哪幾個有效數字？ (1)25.7；(2)0.407；

(3)103萬；(4)1.60；(5)10億．

解：(1)25.7，精確到十分位，有三個有效數字2、5、7； (2)0.407，精確到千分位，有三個有效數字4、0、7； (3)103萬，精確到萬位，有三個有效數字1、0、3； (4)l.60，精確到百分位，有三個有效數字1、6、0； (5)10億，精確到億位，有兩個有效數字1、0．

練習2．近似數1.6和1.60有什麼不同，能把近似數1.60寫成1.6嗎？ 答：近似數1.6和1.60的精確度不同，1．6是精確到十分位，有兩個有效數字1、6，1.60精確到百分位，有3個有效數字1、6、0．

練習3．從近似數的觀點看，近似數2.4萬和24000這兩個數的意義相同嗎？ 答：2. 4萬和24000這兩個近似數的意義並不相同．2.4萬表示精確到千位，它有兩個有效數字2、4，24000表示精確到個位，它有五個有效數字2、4、0、0、0．

五、問題與情境5： 自我提升：

1．正確理解和掌握近似數、準確數、精確度和有效數字等概念；

2．要學會給出一個近似數，能準確地確定它精確到哪一位，它有哪幾個有效數字；

3．對例1後面提及到的注意事項應引起重視．

六、問題與情境6 自我檢測：

1．用四捨五入法對下列各數按括號中的要求取近似值： (1)12.17，0.009403，8607000 （保留三個有效數字）； (2)2.768，3.4017，92.598 （精確到百分位）； (3)19.74，8.965，0.409 （精確到0.1）； (4)3590，17289，3.04×104 （精確到千位）； (5)1.375，0.768，0.002561 （保留兩個有效數字）； (6)89.6，213.4，1906.57 （精確到個位）； (7)3709，496317，23.91 （保留兩個有效數字）．

2．用四捨五入法按要求保留有效數字，取近似數，並説出它精確到哪一位？ (l)56.32 （保留三個有效數字）； (2)0.6648 （保留一個有效數字）； (3)0.7096 （保留兩個有效數字）； (4)472864 （保留四個有效數字）．

3．用四捨五入法按括號裏面要求的精確度取近似數，並指出近似數有幾個有效數字？

(1)708.45 （精確到個位）； (2)50437413 （精確到萬位）； (3)0.04537 （精確到0.0001）； (4)1.9561 （精確到0.1）．

4．判斷下列説法是否正確？為什麼？ (1)近似數10.0與近似數10的精確度相同； (2)近似數4千萬和近似數4000萬精確度一樣；

(3)2.718精確到十分位後（即精確到0.1）有兩個有效數字； (4)近似數25.0和近似數25的有效數字相同，都為2、5．

典型例題

例1 判斷下列各數，哪些是準確數，哪些是近似數：

（1）七年級(2)班有43名學生，數學期末考試的平均成績是82.5分； (2)某歌星在體育館舉辦音樂會，大約有一萬二千人蔘加； (3)通過計算，直徑為10cm的圓的周長是31.4cm； (4)檢查一雙沒洗過的手，發現帶有各種細菌80000萬個； (5)1999年我國國民經濟增長7.8％．

解：(1)43是準確數．因為43是質數，求平均數時不一定除得盡，所以82.5一般是近似數； (2)一萬二千是近似數；

(3)10是準確數，因為3.14是π的近似值，所以31.4是近似數； (4)80000萬是近似數；

(5)1999是準確數，7.8％是近似數．

説明：1．在近似數的計算中，分清準確數和近似數是很重要的，它是決定我們用近似計算法則進行計算，還是用一般方法進行計算的依據． 2．產生近似數的主要原因：

（1）“計算”產生近似數．如除不盡，有圓周率π參加計算的結果等等； (2)用測量工具測出的量一般都是近似數，如長度、重量、時間等等；

（3）不容易得到，或不可能得到準確數時，只能得到近似數，如人口普查的結果，就只能是一個近似數；

（4）由於不必要知道準確數而產生近似數．

例2 下列由四捨五入得到的近似數，各精確到哪一位？各有哪幾個有效數字？

(1)38200 (2)0.040 (3)20.05000 (4)4×10

4分析：對於一個四捨五入得到的近似數，如果是整數，如38200，就精確到個位；如果有一位小數，就精確到十分位；兩位小數，就精確到百分位；象0.040有三位小數就精確到千分

4位；象20.05000就精確到十萬分位；而4×10=40000，只有一個有效數字4，則精確到萬位．有效數字的個數應按照定義計算．

解：(1)38200精確到個位，有五個有效數字3、8、2、0、0． (2)0.040精確到千分位（即精確到0.001）有兩個有效數字4、0． (3)20.05000精確到十萬分位（即精確到0.00001），有七個有效數字2、0、0、5、0、0、0． (4)4×10精確到萬位，有一個有效數字4． 4説明：(1)一個近似數的位數與精確度有關，不能隨意添上或去掉末位的零．如20.05000的有效數字是2、0、0、5、0、0、0七個．而20.05的有效數字是2、0、0、5四個．因為20.05000精確到0.00001，而20.05精確到0.01，精確度不一樣，有效數字也不同，所以右邊的三個0不能隨意去掉．

（2）對有效數字，如0.040，4左邊的兩個0不是有效數字，4右邊的0是有效數字． (3)近似數40000與4×10有區別，40000表示精確到個位，有五個有效數字4、0、0、0、40，而4×10表示精確到萬位，有1個有效數字4．

例3 下列由四捨五入得到的近似數，各精確到哪一位？各有幾個有效數字？

(1)70萬 (2)9.03萬 (3)1.8億 (4)6.40×10

54分析：因為這四個數都是近似數，所以

（1）的有效數字是2個：

7、0，0不是個位，而是“萬”位； (2)的有效數字是3個：

9、0、3，3不是百分位，而是“百”位； (3)的有效數字是2個：

1、8，8不是十分位，而是“千萬”位； (4)的有效數字是3個：

6、4、0，0不是百分位，而是“千”位． 解：(1)70萬。 精確到萬位，有2個有效數字7、0； (2)9.03萬。精確到百位，有3個有效數字9、0、3； (3)1.8億。精確到千萬位，有2個有效數字1、8； (4)6.40×10.精確到千位，有3個有效數字6、4、0． 5説明：較大的數取近似值時，常用×萬，×億等等來表示，這裏的“×”表示這個近似數的有效數字，而它精確到的位數不一定是“萬”或“億”．對於不熟練的學生，應當寫出原數之後再判斷精確到哪一位，例如9.03萬=90300，因為“3”在百位上，所以9.03萬精確到百位．

例4 用四捨五入法，按括號裏的要求對下列各數取近似值．

(1)1.5982（精確到0.01） (2)0.03049（保留兩個有效數字） (3)3.3074（精確到個位） (4)81.661（保留三個有效數字）

分析：四捨五入是指要精確到的那一位後面緊跟的一位，如果比5小則舍，如果比5大或等於5則進1，與再後面各位數字的大小無關．

(1)1.5982要精確到0.01即百分位，只看它後面的一位即千分位的數字，是8＞5，應當進1，所以近似值為1.60．

(2)0.03049保留兩個有效數字，3左邊的0不算，從3開始，兩個有效數字是3、0，再看第三個數字是4＜5，應當舍，所以近似值為0.030． (3)、(4)同上．

解：(1)1.5982≈1.60 (2)0.03049≈0.030 (3)3.3074≈3 (4)81.661≈81.7

説明：1.60與0.030的最後一個0都不能隨便去掉．1.60是表示精確到0.01，而1.6表示精確到0.1．對0.030，最後一個0也是表示精確度的，表示精確到千分位，而0.03只精確到百分位．

例5 用四捨五入法，按括號裏的要求對下列各數取近似值，並説出它的精確度（或有效數字）．

(1)26074（精確到千位） (2)7049（保留2個有效數字）

(3)26074000000（精確到億位） (4)704.9（保留3個有效數字） 分析：根據題目的要求： (1)26074≈26000； (2)7049≈7000

(3)26074000000≈26100000000 (4)704.9≈705

（1）、(2)、(3)題的近似值中看不出它們的精確度，所以必須用科學記數法表示． 解：(1)26074=2.6074×10≈2.6×10，精確到千位，有2個有效數字2、6．

44(2)7049=7.049×10≈7.0×10，精確到百位，有兩個有效數字7、0．

33(3)26074000000=2.6074×10≈2.61×10，精確到億位，有三個有效數字2、6、1．

10

10(4)704.9≈705，精確到個位，有三個有效數字7、0、5． 説明：求整數的近似數時，應注意以下兩點： (1)近似數的位數一般都與已知數的位數相同；

（2）當近似數不是精確到個位，或有效數字的個數小於整數的位數時，一般用科學記數法表示這個近似數．因為形如a×10n(1≤a＜10，n為正整數＝的數可以體現出整數的精確度． 例6 指出下列各問題中的準確數和近似數，以及近似數各精確到哪一位？各有幾個有效數字？

（1）某廠1998年的產值約為1500萬元，約是1978年的12倍；

（2）某校七年級(2)班有學生52人，平均身高約為1.57米，平均體重約為50.5千克； (3)我國人口約12億人；

（4）一次數學測驗，七年級(1)班平均分約為88.6分，七年級(2)班約為89.0分．

分析： 對於四捨五入得到的近似數，如果是整數，就精確到個位；若有1位小數，就精確到十分位，如近似數89.0就精確到十分位．若去掉末位的“0”成為89，則精確到個位了，這就不是原來的精確度了，故近似數末位的零不能去掉．

解：(1)1998和1978是準確數．近似數1500萬元，精確到萬位，有四個有效數字；近似數12精確到個位，有兩個有效數字．

(2)52是準確數．近似數1.57精確到百分位，有3個有效數字；近似數50.5精確到十分位，有3個有效數字．

（3）近似數12億精確到億位，有兩個有效數字．

（4）近似數88.6和89.0都精確到十分位，都有3個有效數字．

説明：在大量的實際數學問題中，都會遇到近似數的問題．使用近似數，就有一個近似程度的問題，也就是精確度的問題．

一般地，一個近似數，四捨五入到哪一位，就説這個近似數精確到哪一位．這時，從左邊第一個不是0的數字起，到精確到的數位（這個數位上的數字若是0也得算）止，所有的數字，都叫做這個數的有效數字．

近似數和有效數字 篇五

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2.6近似數與有效數字

班級 姓名 學號 學習目標：1瞭解近似數與有效數字的概念，體會近似數的意義及在生活中的作用

2能説出一個近似數的精確度或有幾個有效數字，能按照要求用四捨五入的方法取一個數的近似數

學習難點：按要求用四捨五入法取一個數的近似數 教學過程：

（一）情境創設

李宇春以3528308條短信獲得冠軍

周筆暢以3270840條短信獲得亞軍 張靚穎則以1353906條短信獲得季軍

今年22歲的夏洛特·凱利4年前生出詹尼弗和簡孿生姐妹，今年7月30日又生出魯思和艾米麗兩位可愛的孿生小姐妹。艾米麗出生時體重約為8.12磅，魯思出生時的體重則為約7.20磅。

（設計説明：讓學生自己蒐集生活中與數有關的信息，從中進一步感受數的意義）

（二）講授新課

近似數

實際生產生活中的許多數據都是近似數，例如測量長度，時間，速度所得的結果都是近似數，且由於測量工具不同，其測量的精確程度也不同。在實際計算中對於像π這樣的數，也常常需取它們的近似值。請説説生活中應用近似數的例子。

（設計説明：通過交流生活中近似數的例子，使學生認識到生活中存在近似數，感受近似數在生活中的作用，體會數學與生活的關係）

取一個數的近似值有多種方法，四捨五入是最常用的一種方法。用四捨五入法取一個數的近似數時，四捨五入到哪一位，就説這個近似數精確到哪一位。 例如，圓周率=3.1415926„

取π≈3，就是精確到個位（或精確到1）取π≈3.1，就是精確到十分位（或精確到0.1） 取π≈3.14，就是精確到百分位位（或精確到0.01） 取π≈3.142，就是精確到千分位位（或精確到0.001）

有效數字

對一個近似數，從左面第一個不是0的數字起，到末位數字止，所有的數字都稱為這個近似數的有效數字。

例如：上面圓周率π的近似值中，3.14有3個有效數字3，1，4；3.142有4個有效數字3，1， 江蘇省泰州中學附中 鳳凰數學網

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4，2.

（三）例題教學

例1 小亮用天平稱得罐頭的質量為2.026kg,，按要求取近似數，並指出每個近似數的有效數字： （1）精確到0.01kg;

（2）精確到0.1kg;

（3）精確到1kg. （設計説明：簡單應用上面所學知識，先四捨五入取近似值，再確定近似數的有效數字，應注意提醒學生不能隨便將小數點後的0去掉。） 例2 用四捨五入法，按要求對下列各數取近似值，並用科學記數法表示。 （1） 地球上七大洲的面積約為149480000（保留2個有效數字） （2） 某人一天飲水1890ml（精確到1000ml） （3） 小明身高1.595m（保留3個有效數字）

（4） 人的眼睛可以看見的紅光的波長為0.000077cm（精確到0.00001）

（設計説明：通過討論使學生理解用科學記數法記數，不僅便於記一些較大（小）的數，而且易於表示近似數的有效數字）

（四）課堂練習基礎訓練

書p78 1,2 2 創新探究

（2）張娟和李敏在討論問題。

張娟：如果你把7498近似到千位數，你就會得到7000. 李敏：不，我有另外一種解答方法，可以得到不同的答案。首先將7498近似到百位得7500，接着把7500近似到千位，就得到8000。 張娟：„„

你怎樣評價張娟和李敏的説法呢？ 3 研究性學習練習

（1） 有一個四位數x，先將它四捨五入到十位，得到近似數m，再把四位數m四捨五入到百位，得到近似數n，再把四位數n四捨五入到千位，恰好是2000，你能求出四位數x的最大值與最小值嗎？

（設計説明：通過練習，進一步鞏固所學知識，發展能力）

（五）課堂小結

舉出生活中的近似數，指出它們精確到哪一位？各有幾個有效數字？ 五 教後反思：

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【課後作業】

班級 姓名 學號

一、精心選一選

⒈圓周率π＝3.1415926„精確到千分位的近似數是

（

）

A．3.14

B．3.141

C．3.142

D．3.1416 ⒉近似數3.14×104的有效數字有

（

） Ａ．1個

Ｂ．2個

Ｃ．3個

Ｄ．4個

⒊2004年某市完成國內生產總值（GDP）達3466.53億元，用四捨五入法取近似值，保留3個有效數字，並用科學記數法表示，其結果是

（

） A．3.47×103億元

B．3.47×104億元 C．3.467×103億元

D．3.467×104億元

⒋對於近似數10.08與0.1008，下列説法正確的是

（

） A．它們的有效數字與精確位數都不相同

B．它們的有效數字與精確位數相同 C．它們的精確位數不同，有效數字相同

D．它們的有效數字不同，精確位數相同

二、細心填一填

⒌近似數1.69萬精確到

位，有

個有效數字，有效數字是

． ⒍小明的體重約為51.51千克，如果精確到10千克，其結果為

千克；如果精確到1千克，其結果為

千克；如果精確到0.1千克，其結果為

千克．

⒎2003年10月15日9時10分，我國神舟五號載人飛船準確進入預定軌道．16日5時59分，返

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回艙與推進艙分離，返回地面．其間飛船繞地球共飛行了14圈，飛行的路程約為60萬km，則神舟五號載人飛船繞地球平均每圈飛行

km（用科學記數法表示，結果保留3個有效數字）．

三、用心做一做

⒏計算：⑴3＋2－3（保留兩個有效數字）

⑵

32（精確到0.01）

⒐以下問題中的近似數各精確到哪一位？各有幾個有效數字？ ⑴我國人口約為13億人； ⑵π的近似值是3.14；

⑶某廠2004年的產值約為2000萬元，約是1998年的6.8倍． ⒑用四捨五入法，，按要求對下列各數取近似值，並用科學記數法表示：

⑴太空探測器“先驅者10號”從發射到2003年2月人們收到它最後一次發回的信號時，它已飛離地球12200000000km（保留2個有效數字）；

⑵2005年6月5日是世界第34個世界環境日，目前全球海洋總面積約為36105.9萬km2（保留3個有效數字）；

⑶光年是天文學中的距離單位，1光年大約是9500000000000km； ⑷某市全年的路燈照明用電約需4200萬kw·h（精確到百萬位）．

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