摘 要：微分方程數值解是高等院校信息與計算科學專業的一門重要專業基礎課。
本課程既有數學上的嚴密性、邏輯性，又有數值計算的科學性，在數值分析中佔有極其重要的地位。
雙語教學是教育部積極倡導的一種教學模式，主要採用漢語和英語相結合的方式進行授課。
本文主要探討該課程的雙語教學模式，並對教學過程中出現的一些問題進行了思考。
關鍵詞：微分方程 數值解法 雙語教學 有限差分法
微分方程數值解法就主要研究如何通過離散算法將連續形式的微分方程轉化為有限維問題，如代數方程組，進而來求解其近似解[1]。
它以逼近論、數值代數等學科為基礎，探討有效的微分方程數值解法。
主要包括求解區域網格劃分、離散方程的建立、方程性能分析、近似解收斂性分析等環節。
探索微分方程數值解法是有積極而重要的科學意義的，這是因為：(1)在實際應用中，我們只關心方程在某個範圍內對應於某些特定的自變量的解的取值或近似值；(2)絕大多數情況下，無法找到方程的解析解，即使解析解存在也不一定能表示為顯式解。
微分方程數值解法在計算物理、化學、流體力學航空航天等很多工程領域具有廣泛的應用。
目前已發展成為一門計算技術學科，其核心理論內容也成為高校計算數學和應用數學等專業的核心基礎專業課程之一[2]。
1 雙語教學的必要性
現代社會的高素質專業人才不僅要具備紮實的專業知識，還須具備流利地應用英語進行溝通和交流的能力。
雙語教學是教育部積極倡導的一種課堂教學模式，在2001年公佈的《關於加強高等學校本科教學工作提高教學質量的。若干意見》中指出要“積極推動使用英語等外語進行教學”[3]，主要是在課堂教學過程中採用母語和以英文為代表的多種語言教學。
其目的就是為了跟上經濟全球化的步伐和迎接科技革命的挑戰。
對高新技術領域中的諸如信息技術、生物技術、金融、法律等專業，力爭三年內，外語教學課程達到所開課程的5%～10%[3]。
2005年，在教育部頒佈的《關於進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見》中進一步要求高校要“以大學英語教學改革為突破口，提高大學生的國際交流與合作能力”，進一步明確了要“提高雙語教學課程的質量並擴大雙語教學的課堂數量”[4]。
可見，國家教育部門對高校採用雙語教學給予了相當的重視和期望。
微分方程數值解法既有數學上嚴密的邏輯性、獨特的理論結構體系，又在各種工程計算中有着重要的應用，因此是聯繫純數學理論和工程應用的橋樑和紐帶。
另一方面，很多數值計算軟件開發平台和幫助文件都是用英文開發的，而數值微分各種理論算法又可以直接用偽代碼表示，如何對數學專業英語很嫻熟，那麼應用這些數值計算軟件就得心應手，亦可以熟練與國際同行交流。
再者，該課程一般在高年級開設，通過大學兩年的英語教學積累，大部分同學已經達到了大學英語四級水平，可以較容易的閲讀數學專業文獻。
同時，高年級的同學對數學基礎理論知識，如數學分析、高等代數、數值分析、常微分方程、偏微分方程等有了較好的掌握，繼續接受方程的數值解的概念和理論是順理成章的事情。
因此，無論是實際工程需要還是學生自身素質，對微分方程數值解進行雙語教學都是可行的、必須的。
本文擬結合重慶理工大學信息與計算科學專業課程的設置，對微分方程數值解法的雙語教學模式進行探討，以尋求適合我校數學專業課程的雙語教學模式。
2 課堂教學模式探討和上機實驗
課堂理論教學是學習《微分方程數值解法》的主要方式，務必引起足夠重視。
摘要：本文結合數例詳細闡述了最基本的解決常微分方程初值問題的數值法，即Euler方法、改進Euler法，並進行了對比，總結了它們各自的優點和缺點，為我們深入探究微分方程的其他解法打下了堅實的基礎。
關鍵詞:常微分方程 數值解法 Euler方法 改進Euler法
1、Euler方法
由微分方程的相關概念可知，初值問題的解就是一條過點 的積分曲線 ，並且在該曲線上任一點 處的切線斜率等於函數 的值。
根據數值解法的基本思想，我們取等距節點 ，其中h為步長，在點 處，以 為斜率作直線 交直線 於點 。
如果步長 比較小，那麼所作直線 與曲線 的偏差不會太大，所以可用 的近似值，即： ，再從點 出發，以 為斜率作直線 ，作為 的近似值，即：
重複上述步驟，就能逐步求出準確解 在各節點 處的近似值。
一般地，若 為 的近似值，則過點 以 為斜率的直線為：
從而 的近似值為：
此公式就是Euler公式。
因為Euler方法的思想是用折線近似代替曲線，所以Euler方法又稱Euler折線法。
Euler方法是初值問題數值解中最簡單的一種方法，由於它的精度不高，當步數增多時，由於誤差的積累，用Euler方法作出的折線可能會越來越偏離曲線 。
舉例説明：
解： ，
精確解為：
1.2 -0.96 -1 0.04
1.4 -0.84 -0.933 0.933
1.6 -0.64 -0.8 0.16
1.8 -0.36 -0.6 0.24
2.0 0 -0.333 0.33
2.2 0.44 0 0.44
通過上表可以比較明顯地看出誤差隨着計算在積累。
2、改進Euler法
方法構造
在常微分方程初值問題 ，對其從 到 進行定積分得:
用梯形公式將右端的定積分進行近似計算得：
用 和 來分別代替 和 得計算格式:
這就是改進的Euler法。
解：
解得：
由於 ，是線形函數可以從隱式格式中解出
問題的精確解是
誤差
0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.02140
0.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.05183
0.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.09411
2.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973
通過比較上表的第四列與第五列就能非常明顯看出改進Euler方法精度比Euler方法精度高。
3、結語
Euler方法是一種最簡單的解決常微分方程初值問題的方法，相應的它的精度最低，在計算中如果步長h較大的話，誤差將會比較大，所以使用時應注意控制步長h，並且隨着步長的增多誤差的不斷積累，最後所得的結果誤差也會較大，只有在控制步長、精度要求不高的情況下使用，主要適用於對 的估值上；雖然改進Euler法在取相同步長h時它的計算量是Euler方法的二倍，但它的精度比較高，能夠滿足一般要求，平時使用較多。
參考文獻
[1]朱思銘，王壽鬆，李豔會。常微分方程（第三版）[M]。北京:高等教育出版社，2006.
[2]餘德浩，湯華中。《微分方程數值解法》。科學出版社，北京:2002.
[3]李慶樣等編。《數值分析》。高等教育出版社，2000.
蒙田範文網