1.5.1 有理數的乘方
第1課時 乘方 教學內容 課本第41頁至第42頁。 教學目標 1.知識與技能 （1）正確理解乘方、冪、指數、底數等概念。 （2）會進行有理數乘方的運算。 2.過程與方法 通過對乘方意義的理解，培養學生觀察、比較、分析、歸納、概括的能力，滲透轉化思想。 3.情感態度與價值觀 培養探索精神，體驗小組交流、合作學習的重要性。 重、難點與關鍵 1.重點：正確理解乘方的意義，掌握乘方運算法則。 2.難點：正確理解乘方、底數、指數的概念，併合理運算。 3.關鍵：弄清底數、指數、冪等概念，注意區別－an與（－a）n的意義。 教學過程 一、複習提問 1.幾個不等於零的有理數相乘，積的符號是怎樣確定的？ 答：幾個不等於零的有理數相乘，積的符號由負因數的個數確定，當負因數的個數為奇數時，積為負；當負因數的個數為偶數時，積為正。 2.正方形的邊長為2，則面積是多少？稜長為2的正方體，則體積為多少？ 答：邊長為2時，正方形的面積為2×2=22=4，稜長為2的正方體的體積為2×2×2=23=8. 二、新授 邊長為a的正方形的面積是a·a，稜長為a的正方體的體積是a·a·a. a·a簡記作a2，讀作a的平方（或二次方）. a·a·a簡記作a3，讀作a的立方（或三次方）. 讓我們再看一個例子，某種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個，經過5個時，這種細胞由1個分裂成多少個？
1個細胞30分鐘分裂成2個，1小時後分裂成2×2，1.5小時後分裂成2×2×2，…，5小時後要分裂10次，分裂成 =1024（個） 為了簡便，可將 記作210. 一般地，幾個相同的因數a相乘，記作an.即 =an 這種求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。 在an中，a叫底數，n叫做指數，當an看作a的n次方的結果時，也可以讀作a的n次冪。
例如，在94中，底數是9，指數是4，94讀作9的4次方，或9的4次冪，它表示4個9相乘，即9×9×9×；又如（－2）4的底數是－2，指數是4，讀作－2的4次方（或－2的4次冪），它表示（－2）×（－2）×（－2）×（－2）. 思考：32與23有什麼不同？（－2）3與－23的意義是否相同？其中結果是否一樣？（－2）4與－24呢？（ ）2與 呢？ 答：32的底數是3，指數是2，讀作3的2次冪，表示3×3，結果是9；23的底數是2，指數是3，讀作2的3次冪，表示2×2×2，結果是8. （－2）3的底數是－2，指數是3，讀作－2的3次冪，表示（－2）×（－2）×（－2），結果是－8；－23的底數是2，指數是3，讀作2的3次冪的相反數，表示為－（2×2×2），結果是－8. （－2）3與－23的意義不相同，其結果一樣。 （－2）4的底數是－2，指數是4，讀作－2的四次冪，表示
（－2）×（－2）×（－2）×（－2）， 結果是16；－24的底數是2，指數是4，讀作2的4次冪的相反數，表示為
－（2×2×2×2），其結果為－16. （－2）4與－24的意義不同，其結果也不同。 （ ）2的底數是 ，指數是2，讀作 的二次冪，表示 × ，結果是 ； 表示32與5的商，即 ，結果是 . 因此，當底數是負數或分數時，一定要用括號把底數括起來。 一個數可以看作這個數本身的一次方，例如5就是51，指數1通常省略不寫。 因為an就是n個a相乘，所以可以利用有理數的乘方運算來進行有理數的乘方運算。 例1：計算： （1）（－4）3；（2）（－2）4；（3）（－ ）5； （4）33； （5）24； （6）（－ ）2. 解：（1）（－4）3=（－4）×（－4）×（－4）=－64 （2）（－2）4=（－2）×（－2）×（－2）×（－2）=16 （3）（－ ）5=（－ ）×（－ ）×（－ ）×（－ ）×（－ ）=－ （4）33=3×3×3=27 （5）24=2×2×2×2=16 （6）（－ ）2=（－ ）×（－ ）= 例2：用計算器計算（－8）5和（－3）6. 解：用帶符號鍵（－）的計算器。 開啟計算器後按照下列步驟進行： （ （－） 8 ） ∧ 5 = 顯示：（－8）^ 5 －32768 即（－8）5=－32768 （ （－） 3 ） ∧ 6 = 顯示：（－3）^ 6 729 即（－3）6=729 用帶符號轉換鍵 +/－ 的計算器： 8 +/－ ∧ 5 = 顯示：－32768 3 +/－ ∧ 6 = 顯示：729 所以（－8）5=－32768 （－3）6=729 從例1和例2，你能發現正數的冪、負數的冪的正負有什麼規律？ 底數為正數時，不論指數是偶數還是奇數，其結果都是正數。 若底數為負數，當指數是偶數時，其結果是正數，當指數是奇數時其結果為負數。 實際上這可以根據有理數的乘法法則，積的符號由負因數的個數來確定，負因數是奇數個時，積為負數，負因數個數為偶數時，積為正。 因此，可以得出：負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；正數的任何非零次冪都是正數；0的任何非零次冪都是0. 三、鞏固練習 1.課本第52頁練習1、2. 2.補充練習。 （1）下面各式計算正確的是（ ）. a.－22=－4 b.－（－2）2=4 c.（－3）2=6 d.（－3）3=1 （2）下列各式是否正確，若有錯誤，請改正過來。 ①∵43=4×3=13，34=3×4=12，∴43=34 ②∵（－3）2=－3×3=－9，－32=－3×3=－9，∴（－3）2=－92 （3）如果（－2）m>0，則（－1）m=_______；如果（－ ）n<0，則（－1）n=_____. 四、課堂小結 正確理解乘方的意義，a n表示n個a相乘的積。注意（－a）n與－a n 兩者的區別及相互關係：（－a）n的底數是－a，表示n個－a相乘的積；－a n底數是a，表示n個a相乘的積的相反數。當n為偶數時，（－a）n與－a n互為相反數，當n為奇數時，（－a）n與－a n相等。 五、作業佈置 課本第47頁習題1.5第1題，第48頁第11、12題。
1.5.1 有理數的乘方
第2課時 有理數的混合運算 教學內容 課本第43頁至第44頁。 教學目標 1.知識與技能 掌握有理數混合運算的順序，能正確地進行有理數的加、減、乘、除、乘方的混合運算。 2.過程與方法 通過例題學習，發展學生觀察、歸納、猜想、推理等能力。 3.情感態度與價值觀 體驗獲得成功的感受、增加學習自信心。 重、難點與關鍵 1.重點：能正確地進行有理數的加、減、乘、除、乘方的混合運算。 2.難點：靈活應用運算律，使計算簡單、準確。 3.關鍵：明確題目中各個符號的意義，正確運用運算法則。 教學過程 一、複習提問 1.我們已經學習了哪幾種有理數的運算？ 2.有理數的乘方法則是什麼？ 二、新授 下面的算式裏有哪幾種運算？
3+50÷22×（－ ）－1 ① 這個算式裏，含有有理數的加、減、乘、除、乘方五種運算，按怎樣的順序進行運算？ 有理數的混合運算，應按以下運算順序進行： 1.先乘方，再乘除，最後加減； 2.同級運算，從左往右進行； 3.如果有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。 例如上面①式 3+50÷22×（－ ）－1 =3+50÷4×（－ ）－1 =3+50× ×（－ ）－1 =3－ －1 =－ 例3：計算：（1）2×（－3）3－4×（－3）+15； （2）（－2）3+（－3）×[（－4）2+2]－（－3）2÷（－2）. 分析：分清運算順序，先乘方，再做中括號內的運算，接着做乘除，最後做加減。計算時，特別注意符號問題。 解：（1）原式=2×（－27）－（－12）+15 =－54+12+15 =－27 （2）原式=－8+（－3）×（16+2）－9÷（－2） =－8+（－3）×18－（－4.5） =－8－54+4.5=－57.5 例4：觀察下面三行數： －2，4，－8，16，－32，64，…① 0，6，－6，18，－30，66，… ② －1，2，－4，8，－16，32，… ③ （1）第①行數按什麼規律排列？ （2）第②、③行數與第①行數分別有什麼關係？ （3）取每行數的第10個數，計算這三個數的和。 分析：（1）第行數，從符號看負、正相隔，奇數項為負數，偶數項為正數，從絕對值看，它們都是2的乘方。 解：（1）第①行數是 －2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6，… （2）對比①②兩行中位置對應的數，你有什麼發現？
第②行數是第①行相應的數加2. 即 －2+2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，… 對比①③兩行中位置對應的數，你有什麼發現？ 第③行數是第①行相應的數的一半，即 －2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，… （3）根據第①行數的規律，得第10個數為（－2）10，那麼第②行的第10個數為（－2）10+2，第③行中的第10個數是（－2）10×0.5. 所以每行數中的第10個數的和是： （－2）10+[（－2）10+2]+[（－2）10×0.5] =1024+（1024+2）+1024×0.5 =1024+1026+512=2562 三、鞏固練習 課本第44頁練習。 （1）原式=1×2+（－8）÷4=2+（－2）=0 （2）原式=－125－3× =－125 （4）原式=10000+[16－（3+9）×2] =10000+（16－12×2） =10000+（16－24）=10000+（－8） =9992 四、課堂小結 在進行有理數混合運算時，一般按運算順序進行，但有時根據運算律會使運算更簡便，因此要在遵守運算順序外，還要注意靈活運用運算律，使運算快捷、準確。 五、作業佈置課本第47頁至第48頁習題1.5第3、8題。教學反思我創設實際問題情境，試學生理解乘方的意義；為了更容易理解乘方和冪的關係，我用加減乘除與和差積商作對比； 組織學生觀察比較一些算式，猜想得到其中的乘方運算法則。教學時，多次提醒學生：負數的乘方，分數的乘方，在書寫時一定要把整個負數（連同符號）分數用小括號括起來；讓學生通過觀察特例，自己總結規律。同時引導學生感受2和10的冪增長的速度非常快。在教學過程中，學生在計算時出現了各種各樣的問題，延緩了教學進程。主要問題有：負數的乘方與一個數的乘方的相反數有混淆，甚至有同學把一個數的乘方的相反數理解為零減去一個數的乘方，把本來陌生的概念搞得更為複雜；分數的乘方與分子的乘方也很混淆；還有對有理數的乘法運算，甚至國小的乘法運算學生掌握得不牢固。 ！
有理數的乘方(第1課時)
教學任務分析
教學流程安排
課 前 準 備
教學過程設計
案例點評：
以在國際象棋上放米粒的故事引課，學習之後又解決這個問題，使課程既豐富多彩，又妙趣橫生，也產生了前後呼應的效果。
該案例中，教學過程的設計符合新課程標準和課程改革的要求，通過教學情景創設和優化課堂教學設計，真正體現了在活動中學習數學，在活動中“做數學”，利用教具使教學內容形象、直觀並具有親和力，極大地調動了學生的學習積極性和熱情，培養了學生學習數學的興趣。教學過程始終堅持讓學生自己去動腦、動手、動口，在分析、練習基礎上掌握知識。整個教學過程都較好地落實了“學生的主體地位和教師的主導作用”，讓學生體會到學習成功的樂趣。
教學目標：1、理解有理數乘方的意義，掌握有理數乘方的運算。 2、培養學生觀察、分析、比較、歸納、概括的能力。運用有理數乘方運算解決 實際問題。 3、培養勤思、認真和勇於探索的精神，感知數學知識具有普遍聯繫性。教學重點： 理解有理數乘方的意義，掌握有理數乘方的運算。教學難點： 正確進行有理數乘方的運算。教學過程：一、課前預習 動畫：手工拉麪是我國的傳統麪食，製作時，拉麪師傅將一團和好的面，揉搓成一根長條後，手握兩端用力拉長，然後將長條對摺，再拉長，再對摺，每次對摺稱為一扣，如此反覆操作，連續拉六、七次後便成了許多細細的麪條，假如一共拉扣6次，你能算出共有多少根麪條嗎？ 解答：2×2×2×2×2×2＝64根 摺紙：將一張對摺再對摺，直到無法對摺為止，數數看，這時的紙總共有多少層？ （依照上面的例子）二、探索知識： 我們把2×2×2×2×2×2記作26，讀作“2的6次方” 7×7×7×7×7記作75，讀作“7的5次方”
n個 一般地，a×a×a×a×…×a＝an,讀作“a的n次方”，a叫做底數，n叫做指數。求相同因數的積的運算叫做乘方。乘方運算的結果叫做冪 特別是，一個數的二次方，也叫做這個數的平方；一個數的三次方，也叫做這個數的立方。三、例題講解例1、計算（1）26 （2）73 （3）（－3）4 （4）（－4）3 （5）－34 （6）－43 例2、計算：（1）（ ）5 （2） （ ）3 （3） （- ）4 正數的任何次冪都是正數； 負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數。例3、把下列各式寫成冪的形式（1）－（－2）·（－2）4·（－2）·（＋2）（2）（－a)2aaaaa5·a·b2·b 例4、探索規律：31＝3，個位數字是3；32＝9，個位數字是9；33＝27，個位數字是7；34＝81，個位數字是1；35＝243，個位數字是3；……，你能説出37的個位數字是多少嗎？3個位數字呢？解答：∵個位數字是四個一循環，∴37的個位數字是7,3個位數字是3四、隨堂練習a組1、填空：（1）（－1）＝＿＿＿＿（2）（－1）＝＿＿＿＿（3）（－1）2n=＿＿＿（4）（－1）2n+1=__2、選擇（1）下列説法正確的是（ ）a、負數的偶次冪是正數 b、正數的奇次冪是負數c、任何小於1的數都大於它的平方 d、一個數的平方等於它的倒數，這個數為1或－1。（2）設a＝（－1.8）3，b＝（－1.8）4，c＝（－1.8）5，則a,b,c的大小關係為（ ）a、a
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教學目標：1掌握科學記數法的表示方法，知道科學記數法的必要性。2 通過實際問題了解科學記數法的必要性和重要性，通過比較法得出科學記數法的表示方法。 教學重點：科學記數法的表示方法及運用教學難點：科學記數法的表示方法，科學記數法的運用教學過程： 一、課前預習 105＝100000 106＝1000000 1010＝＿＿＿＿＿＿ 1012＝＿＿＿＿ 觀察10n的特點，你發現了什麼規律：10n的特點是1後面有n個0，共有n+1位。 “先見閃電，後聞雷聲”，這個現象的解釋是：光的傳播速度大約為300000000m/s，而聲音在常温下的傳播速度大約為340m/s。可見光的速度大大快於聲音的速度。 二、自主探索 日常生活中我們還會遇到一些特別大的數，如 有人體中大約有25000000000000個紅細胞。 全世界人口大約是6100000000人 地球的陸地面積約為149000000千米2 地球的海洋麪積約為361000000千米2 算一算5000000×5000000 可以發現一些足夠大的數在讀、寫、算都不方便，根據10n的特點，我們可以這樣來表示這些較大的數。 300000000＝3×100000000＝3×108 25000000000000＝2.5×10000000000000＝2.5×1013 一般地，一個大於10的數可以寫成a×10n的形式，其中1≤a<10,n是正整數，這種記數方法稱為科學記數法。(scientific notation) 二、例題講解： 例1、1972年3月發射的“先驅者10號”是人類發往太陽系外的第一艘人造太空探測器，至XX年2月人們最後一次收到它發回的信號時，它以飛離地球12XX00000km，用科學記數法表示。 例2、用科學記數法表示下列各數： （1）400320 （2）1000000 （3）－726.4 （4）0.31×104 例3、下列各數的原數是多少？ （1）1.25×104 （2）－3.03×102 （3）3×105 （4）－4.2378×103 例4、一天有8.64×104秒，一年有365天，一年有多少秒？（用科學記數法表示） 三、隨堂練習a 組 1、用科學記數法表示 （1）696000 （2）－1230 （3）1 （4） -5000000（5）10000 （6）0.078×105 （7）-300001 （8）-0.23×1082、太陽的直徑約為1390000千米，用科學記數法表示為（ ） a、1.39×104千米 b、1.39×108千米 c、1.39×106米 d、1.39×109米 b 組3、XX年6月1日零時，三峽大壩正式下閘蓄水，到上午9時，只留3個導流底孔，保留至少3410米3/秒的下泄流量，維持下游航運及發電的基本運行。自6月1日上午9時起，預計24小時流過的水量至少為米3（用科學記數法表示） 4、一天有8.64×年有多少秒？用科學記數法表示這個數。c 組 一個人如果平均每天隨便扔掉一個白色塑料方便袋，而一個白色塑料袋可以污染0.06m2的土地。照這樣計算，一個100萬人口的城市，僅塑料袋一項大約每天造成多少平方米土地的污染？用科學記數法表示。四、學習小結 這節課你學會了什麼？
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