(1)刻畫函數(比初等方法精確細微);
(2)同幾何中切線聯繫(導數方法可用於研究平面曲線的切線);
(3)應用問題(初等方法往往技巧性要求較高,而導數方法顯得簡便)等關於 次多項式的導數問題屬於較難類型。
2.關於函數特徵,最值問題較多,所以有必要專項討論,導數法求最值要比初等方法快捷簡便。
3.導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型,也是大學聯考中考察綜合能力的一個方向,應引起注意。
1、題型:
1)。切線問題。
2)。單調性,極值,值域,最值問題。
3)。函數零點(方程的根)的個數和分佈問題。
4)。不等式恆成立、存在性、不等式證明問題。
5)。與數列、不等式、解析幾何的綜合問題。
2、常規步驟:
1)求導數並變形,寫出定義域。
變形的方法:
①。整式:因式分解或配方。
②。分式:通分母,並因式分解。
③。指數式:提取公因式。
④根式:分子有理化
2)解方程 , 判斷導數的正負
判斷導數正負的方法:
①。檢驗法。②。圖像法。③。單調性法。④。求導數的導數。
3)列表由導函數的正負確認原函數的單調性和極值、最值
4)畫函數草圖解決問題。
1、難點分佈:
1)。無切點的切線問題;
2)。含參討論,分段討論;
3)。不等式證明、恆成立、存在性問題;
4)。與數列、不等式、解析幾何的綜合問題。
2、突破難點的方法:
1)切線問題,函數y=f(x):
①設切點為(x0,y0)
②求導, y'=f'(x),
③三代入:
2)。參數影響到導數的正負,就根據分歧分類討論,絕對值函數變為分段函數,分兩部分討論研究。
一般的`分歧有:
①參數對整體正負的影響。
②參數對有根無根、根的大小的影響,不能自認為有根。
③參數對根在區間內外的影響,不能自認為根在區間內。
3)。構造函數解決不等式證明、恆成立和存在性問題。
有兩種構造函數的方法:
①主變量法,在那個變量的區間上恆成立,就以這個變量為主變量構造函數。
②分離法,把兩個變量分離到不等式兩邊,構造函數。
③構造左右兩個函數,比較們它的最值。
④放縮法,對於含以自然常數為底的指數函數和對數函數的不等式,利用它們的切線(一次函數)進行放縮證明
構造函數的方向,函數越熟悉越好,能判斷導數的正負即可。
4)。採用逆向思維和聯想的方法解決導數與數列、不等式、解析幾何的綜合問題。
導數應用的題型與方法
導數是微積分的初步知識,是研究函數,解決實際問題的有力工具。在高中階段對於導數的學習,主要是以下幾個方面:
1、導數的常規問題:
(1)刻畫函數(比初等方法精確細微);(2)同幾何中切線聯繫(導數方法可用於研究平面曲線的切線);(3)應用問題(初等方法往往技巧性要求較高,而導數方法顯得簡便)等關於次多項式的導數問題屬於較難類型。
2、關於函數特徵,最值問題較多,所以有必要專項討論,導數法求最值要比初等方法快捷簡便。
3、導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型,也是大學聯考會考察綜合能力的一個方向,應引起注意。
①求切線的斜率。
②導數與函數的單調性的關係
已知 (1)分析 的定義域;(2)求導數 (3)解不等式 ,解集在定義域內的部分為增區間(4)解不等式 ,解集在定義域內的部分為減區間。
我們在應用導數判斷函數的單調性時一定要搞清以下三個關係,才能準確無誤地判斷函數的單調性。以下以增函數為例作簡單的分析,前提條件都是函數 在某個區間內可導。
③求極值、求最值。
注意:極值≠最值。函數f(x)在區間[a,b]上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個。
f/(x0)=0不能得到當x=x0時,函數有極值。
但是,當x=x0時,函數有極值 f/(x0)=0
判斷極值,還需結合函數的單調性説明。
1.求導法則:
(c)/=0 這裏c是常數。即常數的導數值為0。
(xn)/=nxn-1 特別地:(x)/=1 (x-1)/= ( )/=-x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k?f(x))/= k?f/(x)