1、不等式的基本性質:
性質1:如果a>b,b>c,那麼a>c（不等式的傳遞性）。
性質2:如果a>b,那麼a+c>b+c（不等式的可加性）。
性質3:如果a>b,c>0,那麼ac>bc;如果a>b,c<0,那麼acb,c>d,那麼a+c>b+d.
性質4:如果a>b>0,c>d>0,那麼ac>bd.
性質5:如果a>b>0,n∈N,n>1,那麼an>bn
例1:判斷下列命題的真假，並説明理由。若a>b,c=d,則ac2>bd2;（假)若，則a>b;（真）若a>b且ab<0,則；（假）若a若，則a>b;（真）若|a|b2;（充要條件）命題A:a命題A:，命題B:0説明:本題要求學生完成一種規範的證明或解題過程，在完善解題規範的過程中完善自身邏輯思維的嚴密性。a,b∈R且a>b,比較a3-b3與ab2-a2b的大小。(≥）説明:強調在最後一步中，説明等號取到的情況，為今後基本不等式求最值作思維準備。
例2：設a>b,n是偶數且n∈N,試比較an+bn與an-1b+abn-1的大小。説明:本例條件是a>b,與正值不等式乘方性質相比在於缺少了a,b為正值這一條件，為此我們必須對a,b的取值情況加以分類討論。因為a>b,可由三種情況(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到總有an+bn>an-1b+abn-1.通過本例可以開始滲透分類討論的數學思想。
1、集合的含義與表示
（1）通過實例，瞭解集合的含義，體會元素與集合的“屬於”關係；
（2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；
2、集合間的基本關係
（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；
（2）在具體情境中，瞭解全集與空集的含義；
3、集合的基本運算
（1）理解兩個集合的並集與交集的含義，會求兩個簡單集合的並集與交集；
（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；
（3）能使用Venn圖表達集合的關係及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用
二。【命題走向】
有關集合的大學聯考試題，考查重點是集合與集合之間的關係，近年試題加強了對集合的計算化簡的考查，並向無限集發展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用Venn圖解題方法的訓練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉換和化簡的訓練。考試形式多以一道選擇題為主，分值5分。
預測20__年大學聯考將繼續體現本章知識的工具作用，多以小題形式出現，也會滲透在解答題的表達之中，相對獨立。具體題型估計為：
（1）題型是1個選擇題或1個填空題；
（2）熱點是集合的基本概念、運算和工具作用
三。【要點精講】
1、集合：某些指定的對象集在一起成為集合
（1）集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作 ；若b不是集合A的元素，記作 ；
（2）集合中的`元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；
確定性：設A是一個給定的集合，_是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；
互異性：一個給定集合中的元素，指屬於這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重複出現同一元素；
無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同於元素的排列順序無關；
（3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內；
描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內。
具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）範圍，再畫一條豎線，在豎線後寫出這個集合中元素所具有的共同特徵。
注意：列舉法與描述法各有優點，應該根據具體問題確定採用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜採用列舉法。
（4）常用數集及其記法：
非負整數集（或自然數集），記作N;
正整數集，記作N_或N+；
整數集，記作Z;
有理數集，記作Q;
實數集，記作R。
注意：求集合的並、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區分交集與並集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與並集的問題時，常常從這兩個字眼出發去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法。
1、數列的定義
按一定次序排列的一列數叫做數列，數列中的每一個數都叫做數列的項。
（1）從數列定義可以看出，數列的數是按一定次序排列的，如果組成數列的數相同而排列次序不同，那麼它們就不是同一數列，例如數列1，2，3，4，5與數列5，4，3，2，1是不同的數列。
（2）在數列的定義中並沒有規定數列中的數必須不同，因此，在同一數列中可以出現多個相同的數字，如：-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構成數列：-1，1，-1，1，…。
（4）數列的項與它的項數是不同的，數列的項是指這個數列中的某一個確定的數，是一個函數值，也就是相當於f(n)，而項數是指這個數在數列中的位置序號，它是自變量的值，相當於f(n)中的n.
（5）次序對於數列來講是十分重要的，有幾個相同的數，由於它們的排列次序不同，構成的數列就不是一個相同的數列，顯然數列與數集有本質的區別。如：2，3，4，5，6這5個數按不同的次序排列時，就會得到不同的數列，而{2，3，4，5，6}中元素不論按怎樣的次序排列都是同一個集合。
2、數列的分類
（1）根據數列的項數多少可以對數列進行分類，分為有窮數列和無窮數列。在寫數列時，對於有窮數列，要把末項寫出，例如數列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有窮數列，如果把數列寫成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示無窮數列。
（2）按照項與項之間的大小關係或數列的增減性可以分為以下幾類：遞增數列、遞減數列、擺動數列、常數列。
3、數列的通項公式
數列是按一定次序排列的一列數，其內涵的本質屬性是確定這一列數的規律，這個規律通常是用式子f(n)來表示的，
這兩個通項公式形式上雖然不同，但表示同一個數列，正像每個函數關係不都能用解析式表達出來一樣，也不是每個數列都能寫出它的通項公式；有的數列雖然有通項公式，但在形式上，又不一定是唯一的，僅僅知道一個數列前面的有限項，無其他説明，數列是不能確定的，通項公式更非唯一。如：數列1，2，3，4，…，
由公式寫出的後續項就不一樣了，因此，通項公式的歸納不僅要看它的前幾項，更要依據數列的構成規律，多觀察分析，真正找到數列的內在規律，由數列前幾項寫出其通項公式，沒有通用的方法可循。
再強調對於數列通項公式的理解注意以下幾點：
（1）數列的通項公式實際上是一個以正整數集N_或它的有限子集{1，2，…，n}為定義域的函數的表達式。
（2）如果知道了數列的通項公式，那麼依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出這個數列的各項；同時，用數列的通項公式也可判斷某數是否是某數列中的一項，如果是的話，是第幾項。
（3）如所有的函數關係不一定都有解析式一樣，並不是所有的數列都有通項公式。
如2的不足近似值，精確到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所構成的數列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就沒有通項公式。
（4）有的數列的通項公式，形式上不一定是唯一的，正如舉例中的：
（5）有些數列，只給出它的前幾項，並沒有給出它的構成規律，那麼僅由前面幾項歸納出的數列通項公式並不唯一。
4、數列的圖象
對於數列4，5，6，7，8，9，10每一項的序號與這一項有下面的對應關係：
序號：1234567
項：45678910
這就是説，上面可以看成是一個序號集合到另一個數的集合的映射。因此，從映射、函數的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整集N_（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函數，當自變量從小到大依次取值時，對應的一列函數值。這裏的函數是一種特殊的函數，它的自變量只能取正整數。
由於數列的`項是函數值，序號是自變量，數列的通項公式也就是相應函數和解析式。
數列是一種特殊的函數，數列是可以用圖象直觀地表示的。
數列用圖象來表示，可以以序號為橫座標，相應的項為縱座標，描點畫圖來表示一個數列，在畫圖時，為方便起見，在平面直角座標系兩條座標軸上取的單位長度可以不同，從數列的圖象表示可以直觀地看出數列的變化情況，但不精確。
把數列與函數比較，數列是特殊的函數，特殊在定義域是正整數集或由以1為首的有限連續正整數組成的集合，其圖象是無限個或有限個孤立的點。
5、遞推數列
一堆鋼管，共堆放了七層，自上而下各層的鋼管數構成一個數列：4，5，6，7，8，9，10.①
數列①還可以用如下方法給出：自上而下第一層的鋼管數是4，以下每一層的鋼管數都比上層的鋼管數多1。
（1）先看“充分條件和必要條件”
當命題“若p則q”為真時，可表示為p=>q，則我們稱p為q的充分條件，q是p的必要條件。這裏由p=>q，得出p為q的充分條件是容易理解的。
但為什麼説q是p的必要條件呢？
事實上，與“p=>q”等價的逆否命題是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，則p一定不成立。這就是説，q對於p是必不可少的，因而是必要的。
（2）再看“充要條件”
若有p=>q，同時q=>p，則p既是q的充分條件，又是必要條件。簡稱為p是q的充要條件。記作p<=>q
回憶一下國中學過的“等價於”這一概念；如果從命題A成立可以推出命題B成立，反過來，從命題B成立也可以推出命題A成立，那麼稱A等價於B，記作A<=>B。“充要條件”的含義，實際上與“等價於”的含義完全相同。也就是説，如果命題A等價於命題B，那麼我們説命題A成立的充要條件是命題B成立；同時有命題B成立的充要條件是命題A成立。
（3）定義與充要條件
數學中，只有A是B的充要條件時，才用A去定義B，因此每個定義中都包含一個充要條件。如“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這一定義就是説，一個四邊形為平行四邊形的充要條件是它的兩組對邊分別平行。
顯然，一個定理如果有逆定理，那麼定理、逆定理合在一起，可以用一個含有充要條件的語句來表示。
“充要條件”有時還可以改用“當且僅當”來表示，其中“當”表示“充分”。“僅當”表示“必要”。
（4）一般地，定義中的條件都是充要條件，判定定理中的條件都是充分條件，性質定理中的“結論”都可作為必要條件。
（1）先看“充分條件和必要條件”
當命題“若p則q”為真時，可表示為p=>q，則我們稱p為q的充分條件，q是p的必要條件。這裏由p=>q，得出p為q的充分條件是容易理解的。
但為什麼説q是p的必要條件呢？
事實上，與“p=>q”等價的逆否命題是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，則p一定不成立。這就是説，q對於p是必不可少的，因而是必要的。
（2）再看“充要條件”
若有p=>q，同時q=>p，則p既是q的充分條件，又是必要條件。簡稱為p是q的充要條件。
記作p<=>q
回憶一下國中學過的“等價於”這一概念；如果從命題A成立可以推出命題B成立，反過來，從命題B成立也可以推出命題A成立，那麼稱A等價於B，記作A<=>B。“充要條件”的含義，實際上與“等價於”的含義完全相同。也就是説，如果命題A等價於命題B，那麼我們説命題A成立的充要條件是命題B成立；同時有命題B成立的充要條件是命題A成立。
（3）定義與充要條件
數學中，只有A是B的充要條件時，才用A去定義B，因此每個定義中都包含一個充要條件。如“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這一定義就是説，一個四邊形為平行四邊形的充要條件是它的兩組對邊分別平行。
顯然，一個定理如果有逆定理，那麼定理、逆定理合在一起，可以用一個含有充要條件的語句來表示。
“充要條件”有時還可以改用“當且僅當”來表示，其中“當”表示“充分”。“僅當”表示“必要”。
（4）一般地，定義中的條件都是充要條件，判定定理中的條件都是充分條件，性質定理中的“結論”都可作為必要條件。
1、集合的含義與表示。
（1）瞭解集合的含義、元素與集合的“屬於”關係。
（2）能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題。
2、集合間的基本關係。
（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。
（2）在具體情境中，瞭解全集與空集的含義。
3、集合的基本運算
（1）理解兩個集合的並集與交集的含義，會求兩個簡單集合的並集與交集。
（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集。
（3）能使用韋恩(Venn)圖表達集合的關係及運算。
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