大學聯考數學知識點之二項分佈（精品多篇）

大學聯考數學知識點之二項分佈 篇一

二項分佈：

一般地，在n次獨立重複的試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，則，k=0，1，2，…n，

此時稱隨機變量X服從二項分佈，記作X~B(n，p)，並記。

獨立重複試驗：

(1)獨立重複試驗的意義：做n次試驗，如果它們是完全同樣的一個試驗的重複，且它們相互獨立，那麼這類試驗叫做獨立重複試驗。

(2)一般地，在n次獨立重複試驗中，設事件A發生的次數為X，在每件試驗中事件A發生的概率為p，那麼在n次獨立重複試驗中，大學聯考數學，事件A恰好發生k次的概率為此時稱隨機變量X服從二項分佈，記作 並稱p為成功概率。

(3)獨立重複試驗：若n次重複試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴於其他各次試驗的結果，則稱這n次試驗是獨立的。

(4)獨立重複試驗概率公式的特點：是n次獨立重複試驗中某 事件A恰好發生k次的概率。其中，n是重複試驗的次數，p是一次試驗中某事件A發生的概率，k是在n次獨立重複試驗中事件A恰好發生的次數，需要弄清公式中n，p，k的。意義，才能正確運用公式。

二項分佈的判斷與應用：

(1)二項分佈，實際是對n次獨立重複試驗從概率分佈的角度作出的闡述，判斷二項分佈，關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重複試驗，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足這兩個條件，隨機變量就不服從二項分佈。

(2)當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對於總體來説又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果時，我們可以把它看作獨立重複試驗，利用二項分佈求其分佈列。

求獨立重複試驗的概率：

(1)在n次獨立重複試驗中，“在相同條件下”等價於各次試驗的結果不會受其他試驗的影響，即2，…，n)是第i次試驗的結果。

(2)獨立重複試驗是相互獨立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字樣的用獨立重複試驗的概率公式計算更簡單，要弄清n，p，k的意義。

求二項分佈：

二項分佈是概率分佈的一種，與獨立重複試驗密切相關，解題時要注意結合二項式定理與組合數等性質。

摘 要： 篇二

二項分佈是一種常見的離散型隨機變量的概率模型，在概率教學中佔有重要地位。本文從二項分佈的定義入手，重點分析和闡述了二項分佈和“0-1”分佈、超幾何分佈、泊松分佈、正態分佈的近似關係及基於這些關係所帶來的計算上的便利。以期在教學中能使學生更全面深入的理解和認識二項分佈。

.二項分佈的定義 篇三

設隨機變量X示n重伯努利試驗中事件A發生的次數，其概率函數為：

p(x)=P(X=x)=Cxnpxqn-x x=0，1，…，n

則稱設隨機變量X服從參數為n和p的二項分佈，記為X～B(n，p)，也稱廣義貝努裏試驗。

關鍵詞： 篇四

二項分佈 “0-1”分佈 超幾何分佈 泊松分佈 正態分佈近似

.結束語 篇五

綜上所述，二項分佈B(n，p)可看成n個獨立同“0-1”分佈的隨機變量的和，從而利用和函數的關係易於計算二項分佈的某些特徵值；在產品抽樣中，若產品總數N很大，抽取的樣品個數n相對於N較小時(nN≤0.1)，所抽取的次品數所服從的超幾何分佈可用二項分佈近似；當n很大，p較小，一般要求p≤0.1，λ=np適中時可用泊松分佈近似二項分佈；當n充分大。

參考文獻： 篇六

[1]沈恆範。概率論與數理統計教程第5版[M]。北京：高等教育出版社，2011.6：55-63.

[2]李裕奇。概率論與數理統計[M]。北京：國防工業出版社，2001.8：193-195.

[3]魏振軍。概率論與數理統計三十三講[M]。北京：中國統計出版社，2005.

.二項分佈與其它分佈的關係 篇七

2.1二項分佈與“0-1”分佈間的關係

進行一次試驗，其結果要麼“成功”，要麼“失敗”，記X=1成功0失敗，即隨機變量X表示一次試驗中成功的次數，且p(x)=P(X=x)=pxq1-x(x=0，1)則稱隨機變量X～“0-1”分佈，p為試驗結果“成功”發生的概率。該試驗也稱為貝努裏試驗。

X～“0-1”分佈，其期望、平方的期望、方差及特徵函數容易得到：

E(X)=0×(1-p)+1×p=p

E(X2)=02×(1-p)+12×p=p

D(X)=E(X2)-E2(X)=p-p2=p(1-p)

φ(t)=E(eitX)=eit?o×(1-p)+eit?1×p=1-p+peit

將貝努裏試驗在相同條件下獨立進行n次，並以隨機變量Y表示n次試驗中“成功”的次數，則Y～B(n，p)。若以Xi表示第i次試驗中成功的次數，則X1，X2…Xn，獨立同“0-1”分佈(i=1，2…n)且Y=∑ni=1Xi。則二項分佈的期望、方差及特徵函數可由二項分佈和“0-1”分佈間的函數關係得到：

E(Y)=E（∑ni=1Xi）=∑ni=1E(Xi)=np

D(Y)=D（∑ni=1Xi）=∑ni=1D(Xi)=np(1-p)

φY(t)=E(eitY)=E(eit∑ni=1Xi)=∏ni=1E(eitXk)=∏ni=1(1-p+peit)=(1-p+peit)n

易見，在教學中利用二項分佈和“0-1”分佈的關係，使二項分佈的上述特徵數更容易計算和理解。

2.2二項分佈與超幾何分佈的關係

從含有M件次品的N件產品中任取n件（每次任意取出一個，取後不放回，連續取n次），設隨機變量X表示n件產品中出現的次品數，則X～H(n，M，N)，概率函數為：

p(x)=P(X=x)=CxMCn-xN-MCnN=p(x，n，M，N)x=0，1，…，n

若將上述取件方式變為每次任意取出一個，取後放回，連續取n次，則易知其中所含的次品數X～B(n，p)，其中p=MN。這裏有放回的抽樣使得每次抽取時的次品率保持不變，

且各次抽取結果相互獨立。

而當產品總數N很大時，抽取樣品的`個數n相對於N較小時（一般來説nN≤0.1），不放回抽樣可近似看成每次抽樣結果是相互獨立的有放回抽樣。據此現實意義，可幫助我們理解二項分佈與超幾何分佈的近似關係：

limN→∞CxMCn-xN-MCMN=Cxnpxqn-x x=0，1，…，n

其中，p=MN，q=1-MN=MN-M，一般要求nN≤0.1。證明見文獻[1]。

超幾何分佈是一種重要的、應用廣泛的概率模型。據此關係在合適的條件下可將服從超幾何分佈的隨機變量的概率值的計算近似為服從二項分佈的隨機變量的概率值進行計算。

2.3二項分佈和泊松分佈間的關係

若隨機變量X表示某個交通路口單位時間內發生交通事故的次數，設所觀察的這段時間為[0，1]，取一個很大的自然數n，把這段時間分為等長的n段

l1=0，1n，l2=1n，2n，…li=in，i+1n，…ln=n-1n，1

假定：(1)在每段li內，恰好發生一次交通事故的概率與時段長度成正比，可取為λn;

（2）由於n很大，故每段時間間隔很小，認為在這麼小的時段內發生兩次或更多次的交通事故是不可能的。故在每個時段內不發生交通事故的概率為1-λn;

(3)li各時間段內是否發生交通事故是獨立的。

因此，在[0，1]時段內要麼發生一次交通事故，其概率為λn，要麼不發生交通事故，其概率為1-λn，而各時間段內是否發生交通事故是獨立的。故[0，1]時段內發生交通事故的次數X服從二項分佈B(n，λn)，其概率函數為：

P(X=x)=Cxn（λn）x(1-λn)n-x x=0，1，…，n

嚴格的説，上式只是近似成立，當n→∞時，limn→∞Cxnpxqn-x=λxx!e-λ其中λ=np。一般要求p≤0.1。證明見文獻[1]。在教學中可利用此關係使學生自然的理解泊松分佈的特性，它常用來描述大量隨機試驗中稀有事件出現的次數。

2.4二項分佈和正態分佈的關係

據棣莫弗――拉普拉斯定理[2]：設Yn～B(n，p)n=1，2，…則對z有：

limn→∞P(Yn-npnpq≤z)=12π∫z-∞e-t22dt

由此可知，當n充分大時，服從二項分佈的隨機變量Yn近似的服從正態分佈N(np，npq)。這裏是用一個連續型的正態分佈來近似離散型的二項分佈，應用時p應滿足0.1 在教學中可利用此關係説明二項分佈以正態分佈為極限分佈，並且，當n充分大時

P(m1≤Yn≤m2)≈Φ(m2-npnpq)-Φ(m1-npnpq)

也就是説可利用標準正態分佈表來解決較難計算的二項分佈的概率計算問題。