定義證明二重極限

第一篇：定義證明二重極限

定義證明二重極限

就是説當點(x,y)落在以(x0,y0)點附近的一個小圈圈內的時候，f(x,y)與a的差的絕對值會灰常灰常的接近。那麼就説f(x,y)在(x0,y0)點的極限為a

關於二重極限的定義，各類數學教材中有各種不同的表述，歸納起來主要有以下三種：定義1設函數在點的某一鄰域內有定義(點可以除外)，如果對於任意給定的正數。，總存在正數，使得對於所論鄰域內適合不等式的一切點p(x，y)所對應的函數值都滿足不等式那末，常數a就稱為函數當時的極限.定義2設函數的定義域為是平面上一點，函數在點兒的任一鄰域中除見外，總有異於凡的屬於d的點，若對於任意給定的正數。，總存在正數a，使得對d內適合不等式0<户幾卜8的一切點p，有不等式v(p)一週<。成立，則稱a為函數人p)當p～p。時的極限.定義3設函數x一人工，”的定義域為d，點產人工。，人)是d的聚點，如果對於任意給定的正數。，總存在正數8，使得對於適合不等式的一切點p(x，…ed，都有成立，則稱a為函數當時的極限.以上三種定義的差異主要在於對函數的前提假設不盡相同.定義1要求人x，…在點p入x。，汕)的某去心鄰域內有定義，而定義2允許人工，y)在點p。(x。，入)的任一去心鄰域內都有使人x，y)無定義的點，相應地，定義i要求見的去心鄰域內的點p都適合/(p)一a卜

利用極限存在準則證明：

(1)當x趨近於正無窮時，(inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收斂，並求其極限。

1)用夾逼準則:

x大於1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0

故(inx/x^2)的極限為0

2)用單調有界數列收斂:

分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a

x0>√a時,xn-x(n-1)=/2<0,單調遞減

且xn=/2>√a,√a為數列下界,則極限存在.

設數列極限為a,xn和x(n-1)極限都為a.

對原始兩邊求極限得a=/2.解得a=√a

同理可求x0<√a時,極限亦為√a

綜上,數列極限存在,且為√

(一)時函數的極限：

以時和為例引入.

介紹符號:的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數的極限：

由考慮時的極限引入.

定義函數極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗證函數極限的基本思路.

例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有於是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然後介紹等的幾何意義.

例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關係:

th類似有:例10證明:極限不存在.

例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有

=§2函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.

二、講授新課：

(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例説明.

5.迫斂性:

6.四則運算性質:(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.

利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2例3註:關於的有理分式當時的極限.

例4

例5例6例7

第二篇：證明二重極限不存在

證明二重極限不存在

如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在,是二元函數這一節的難點,在這裏筆者對這一問題不打算做詳細的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時,一個值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找幾條通過(或趨於)定點(x0,y0)的特殊曲線,如果動點(x,y)沿這些曲線趨於(x0,y0)時,f(x,y)趨於不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時,是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經過(x0,y0),並且定點是這條曲線的非孤立點,這一點很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對於型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時,不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時,所得的結論就不同(這時f(x,y)→1)。為什麼會出現這種情況呢?仔細分析一下就不難得到答案

2

若用沿曲線，(，y)一g(，y)=0趨近於(，y0)來討論，一0g，y。。可能會出現錯誤，只有證明了(，)不是孤立點後才不會出錯。o13a1673-3878(2014)0l__0l02__02如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在。是二元函數這一節的難點，在這裏筆者對這一問題不打算做詳細的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時。一個值得注意的問題。由二重極限的定義知，要討論limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找幾條通過(或趨於)定點(xo，yo)的特殊曲線，如果動點(x，y)沿這些曲線趨於(xo，y。)時，f(x，y)趨於不同的值，則可判定二重極限limf(x，y)不存在，這一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲線時，是有一定技巧的，不過不管找哪條曲線，這條曲線一定要經過(xo，y。)，並且定點是這條曲線的非孤立點，這一點很容易疏忽大意，特別是為圖方便，對於型如2的極限，在判卜’iogx，yy—·y0斷其不存在時，不少人找的曲線是f(x，y)一g(x，y)：0，這樣做就很容易出錯。

3

當沿曲線y=-x+x^2趨於(00)時，極限為lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

當沿直線y=x趨於(00)時，極限為limx^2/2x=0。故極限不存在。

4

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次極限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

當沿斜率不同的直線y=mx,(x,y)->(0,0)時，易證極限不同，所以它的二重極限不存在。

第三篇：用極限定義證明極限

例1、用數列極限定義證明：limn?2?0 n??n2?7

n?2時n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2????? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n

2

上面的系列式子要想成立，需要第一個等號和不等號（1）、（2）、（3）均成立方可。第一個等號成立的條件是n>2；不等號（1）成立的條件是2<n；不等號（2）成立的條件是7<n；

n4，即n>2；不等號（4）成立的條件是n?[]，故取n=max{7, 2?

44[]}。這樣當n>n時，有n>7，n?[]。 ??

4 因為n>7,所以等號第一個等號、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因為n?[]，所以不等號（3）成立的條件是1??

|不等式（4）能成立，因此當n>n時，上述系列不等式均成立，亦即當n>n時，

在這個例題中，大量使用了把一個數字放大為n或n?2?0|??。 n2?7n的方法，因此，對於具體的數，．．．．．．．2

可把它放大為（k為大於零的常數）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n?4?0 n??n2?n?1

n?4n?4n?4時n?n2n2(1)|2?0|?2?2???? n?n?1n?n?1n?n?1n2n

22不等號（1）成立的條件是n?[],故取n=max{4, []},則當n>n時，上面的不等式都成??例2、用數列極限定義證明：lim

立。

注：對於一個由若干項組成的代數式，可放大或縮小為這個代數式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2?n?1?n2

n2?n?1?n

n?n?n22

n(n?1)2?n?1

(?1)n

例3、已知an?，證明數列an的極限是零。 2(n?1)

(?1)n1(1)1(2)

證明：???0(設0???1)，欲使|an?0|?||????成立 22(n?1)(n?1)n?1

11??解得：n??1，由於上述式子中的等式和不等號（1）對於任意的正整n?1?

1數n都是成立的，因此取n?[?1]，則當n>n時，不等號（2）成立，進而上述系列等式由不等式?

和不等式均成立，所以當n>n時，|an?0|??。

在上面的證明中，設定0???1，而數列極限定義中的?是任意的，為什麼要這樣設定？這樣設定是否符合數列極限的定義？

在數列極限定義中，n是一個正整數，此題如若不設定0???1，則n?[?1]就有1

?

可能不是正整數，例如若?＝2，則此時n＝－1，故為了符合數列極限的定義，先設定0???1，這樣就能保證n是正整數了。

那麼對於大於1的?，是否能找到對應的n？能找到。按照上面已經證明的結論，當?＝0.5時，有對應的n1，當n>n1時，|an?0|＜0.5成立。因此，當n＞n1時，對於任意的大於1的?，下列式子成立：

|an?0|＜0.5＜1＜?，亦即對於所有大於1的?，我們都能找到與它相對應的n=n1。因此，在數列極限證明中，?可限小。只要對於較小的?能找到對應的n，則對於較大的?．．．

就自然能找到對應的n。

第四篇：極限 定義證明

極限定義證明

趨近於正無窮，根號x分之sinx等於0

x趨近於負1/2，2x加1分之1減4x的平方等於2

這兩個用函數極限定義怎麼證明?

x趨近於正無窮，根號x分之sinx等於0

證明：對於任意給定的ξ>0，要使不等式

|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要

|sinx/√x|^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞),則x>sinx^2/ξ^2,

∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，

所以取x=1/ξ^2，當x>x時，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，

同函數極限的定義可得x→+∞時，sinx/√x極限為0.

x趨近於負1/2，2x加1分之1減4x的平方等於2

證明：對於任意給定的ξ>0，要使不等式

|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只

需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,則當0<|x+1/2|<δ時，必有

|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，

由函數極限的定義可得x→-1/2時，1-4x^2/2x+1的極限為2.

注意，用定義證明x走近於某一常數時的極限時，關鍵是找出那個絕對值裏面x減去的那個x0.

記g(x)=lim^(1/n)，n趨於正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,},x趨於正無窮。把max{a1,}記作a。

不妨設f1(x)趨於a;作b>a>=0,m>1;

那麼存在n1,當x>n1,有a/m<=f1(x)

注意到f2的極限小於等於a，那麼存在n2，當x>n2時，0<=f2(x)

同理，存在ni，當x>ni時，0<=fi(x)

取n=max{n1,};

那麼當x>n,有

(a/m)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+(x)^n

所以a/m<=^(1/n)

對n取極限，所以a/m<=g(x)n時成立;

令x趨於正無窮，

a/m<=下極限g(x)<=上極限g(x)<=b;

注意這個式子對任意m>1,b>a都成立，中間兩個極限都是固定的數。

令m趨於正無窮，b趨於a;

有a<=下極限g(x)<=上極限g(x)<=a;

這表明limg(x)=a;

證畢;

證明有點古怪是為了把a=0的情況也包含進去。

還有個看起來簡單些的方法

記g(x)=lim^(1/n)，n趨於正無窮;

g(x)=max{f1(x),(x)};

然後求極限就能得到limg(x)=max{a1,}。

其實這個看起來顯然，但對於求極限能放到括號裏面，但真要用極限定義嚴格説明卻和上面的證明差不多。

有種簡單點的方法，就是

max{a,b(請繼續關注)}=|a+b|/2+|a-b|/2從而為簡單代數式。

多個求max相當於先對f1，f2求max，再對結果和f3求，然後繼續，從而為有限次代數運算式，

故極限可以放進去。

2

一)時函數的極限：

以時和為例引入.

介紹符號:的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數的極限：

由考慮時的極限引入.

定義函數極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗證函數極限的基本思路.

例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有於是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然後介紹等的幾何意義.

例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關係:

th類似有:例10證明:極限不存在.

例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有

=§2函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.

二、講授新課：

(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例説明.

5.迫斂性:

6.四則運算性質:(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.

利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2例3註:關於的有理分式當時的極限.

例4

例5例6例7

2

第五篇：函數極限的定義證明

習題1?3

1. 根據函數極限的定義證明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.

x??2x?12

1證明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3

1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5

1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2. 根據函數極限的定義證明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.

證明 (1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.

證明 因為?? ?0, ?x?(2)分析

sinxx?0?

12?

, 當|x|?x時, 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.

x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

證明 因為???0, ?x?

?2

, 當x?x時, 有

xsinxx

?0??, 只須

?

.

?0??, 所以lim

x???

?0.

3. 當x?2時,y?x2?4. 問?等於多少, 使當|x?2|<?時, |y?4|<0. 001？

解 由於x?2, |x?2|?0, 不妨設|x?2|?1, 即1?x?3. 要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0. 0002, 則當0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0. 001.5

x2?1x?3

4. 當x??時, y?

x2?1x2?3

?1, 問x等於多少, 使當|x|>x時, |y?1|<0.01?

解 要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, x?.0.01

5. 證明函數f(x)?|x| 當x?0時極限為零.

x|x|

6. 求f(x)?, ?(x)?當x?0時的左﹑右極限, 並説明它們在x?0時的極限是否存在.

xx

證明 因為

x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以極限limf(x)存在.

x?0

因為

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以極限lim?(x)不存在.

x?0

7. 證明: 若x???及x???時, 函數f(x)的極限都存在且都等於a, 則limf(x)?a.

x??

證明 因為limf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0,

x???

x???

?x1?0, 使當x??x1時, 有|f(x)?a|?? ;?x2?0, 使當x?x2時, 有|f(x)?a|?? .

取x?max{x1, x2}, 則當|x|?x時, 有|f(x)?a|?? , 即limf(x)?a.

x??

8. 根據極限的定義證明: 函數f(x)當x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在並且相等.

證明 先證明必要性. 設f(x)?a(x?x0), 則??>0, ???0, 使當0<|x?x0|<? 時, 有

|f(x)?a|<? .

因此當x0??<x<x0和x0<x<x0?? 時都有

|f(x)?a|<? .

這説明f(x)當x?x0時左右極限都存在並且都等於a .再證明充分性. 設f(x0?0)?f(x0?0)?a, 則??>0,??1>0, 使當x0??1<x<x0時, 有| f(x)?a<? ;??2>0, 使當x0<x<x0+?2時, 有| f(x)?a|<? .

取??min{?1, ?2}, 則當0<|x?x0|<? 時, 有x0??1<x<x0及x0<x<x0+?2 , 從而有

| f(x)?a|<? ,

即f(x)?a(x?x0).

9. 試給出x??時函數極限的局部有界性的定理, 並加以證明.

解 x??時函數極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當x??時的極限存在? 則存在x?0及m?0? 使當|x|?x時? |f(x)|?m?

證明 設f(x)?a(x??)? 則對於? ?1? ?x?0? 當|x|?x時? 有|f(x)?a|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?

這就是説存在x?0及m?0? 使當|x|?x時? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|?