1、不同角度觀察一個物體，看到的面都是兩個或三個相鄰的面。
2、不可能一次看到長方體或正方體相對的面。
注意點
1)這裏所説的正面、左面和上面，都是相對於觀察者而言的。
2)站在任意一個位置，最多隻能看到長方體的3個面。
3)從不同的位置觀察物體，看到的形狀可能是不同的。
4)從一個或兩個方向看到的圖形是不能確定立體圖形的形狀的。
5)同一角度觀察不同的立體圖形，得到的平面圖形可能是相同，也可能是不同的。
6)如果從物體的右面觀察，看到的不一定和從左面看到的完全相同。
一、學習目標：
1、理解分數的意義和基本性質，會比較分數的大小，會把假分數化成帶分數或整數，會進行整數、小數的互化，能夠比較熟練地進行約分和通分；
2、掌握因數和倍數、質數和合數、奇數和偶數等概念，以及2、3、5的倍數的特徵；會求100以內的兩個數的公因數和最小公倍數；
3、理解分數加、減法的意義，掌握分數加、減法的計算方法，比較熟練地計算簡單的分數加、減法，會解決有關分數加、減法的簡單實際問題；
4、知道體積和容積的意義以及度量單位，會進行單位之間的換算，感受有關體積和容積單位的實際意義；
5、結合具體情境，探索並掌握長方體和正方體的體積和表面積的計算方法，探索某些實物體積的測量方法；
6、能在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形，以及將簡單圖形旋轉90度；欣賞生活中的圖案，靈活運用平移、對稱和旋轉在方格紙上設計圖案；
7、通過豐富的實例，理解眾數的意義，會求一組數據的眾數，並解釋結果的實際意義；根據具體的問題，能選擇適當的統計量表示數據的不同特徵；
8、認識複式折線統計圖，能根據需要選擇合適的統計圖表示數據。
二、學習難點：
1、用軸對稱的知識畫對稱圖形；
2、確區別平移和旋轉的現象，並能在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移後的圖形；
3、理解因數和倍數的意義；因數和倍數等概念間的聯繫和區別；正確判斷一個常見數是質數還是合數；
4、長方體表面積的計算方法；長方體、正方體體積計算；
5、理解、歸納分數與除法的關係；用除法的意義理解分數的意義；
6、理解真分數和假分數的意義及特徵；
7、理解和掌握分數和小數互化的方法。
三、知識點概括總結：
1、軸對稱：
如果一個圖形沿一條直線摺疊，直線兩側的圖形能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這時，我們也説這個圖形關於這條直線（成軸）對稱。
對稱軸：摺痕所在的這條直線叫做對稱軸。如下圖所示：
國小數學知識點
2、軸對稱圖形的性質：把一個圖形沿着某一條直線摺疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那麼就説這兩個圖形關於這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，摺疊後重合的點是對應點。軸對稱和軸對稱圖形的特性是相同的，對應點到對稱軸的距離都是相等的。
3、軸對稱的性質：經過線段中點並且垂直於這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。這樣我們就得到了以下性質：
（1）如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麼對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
（2）類似地，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
（3）線段的垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等。
（4）對稱軸是到線段兩端距離相等的點的集合。
4、軸對稱圖形的作用：
（1）可以通過對稱軸的一邊從而畫出另一邊；
（2）可以通過畫對稱軸得出的兩個圖形全等。
5、因數：整數B能整除整數A，A叫作B的倍數，B就叫做A的因數或約數。在自然數的範圍內例：在算式6÷2=3中，2、3就是6的因數。
6、自然數的因數（舉例）：
6的因數有：1和6，2和3.
10的因數有：1和10，2和5.
15的因數有：1和15，3和5.
25的因數有：1和25，5.
7、因數的分類：除法裏，如果被除數除以除數，所得的商都是自然數而沒有餘數，就説被除數是除數的倍數，除數和商是被除數的因數。
我們將一個合數分成幾個質數相乘的形式，這樣的幾個質數叫做這個合數的質因數。
8、倍數：對於整數m，能被n整除(n/m)，那麼m就是n的倍數。如15能夠被3或5整除，因此15是3的倍數，也是5的倍數。
一個數的倍數有無數個，也就是説一個數的倍數的集合為無限集。注意：不能把一個數單獨叫做倍數，只能説誰是誰的倍數。
9、完全數：完全數又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數。它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函數），恰好等於它本身。
10、偶數：整數中，能夠被2整除的數，叫做偶數。
11、奇數：整數中，能被2整除的數是偶數，不能被2整除的數是奇數，
12、奇數偶數的性質：
關於奇數和偶數，有下面的性質：
（1）奇數不會同時是偶數；兩個連續整數中必是一個奇數一個偶數；
（2）奇數跟奇數和是偶數；偶數跟奇數的和是奇數；任意多個偶數的和都是偶數；
（3)兩個奇(偶）數的差是偶數；一個偶數與一個奇數的差是奇數；
（4）除2外所有的正偶數均為合數；
（5）相鄰偶數公約數為2，最小公倍數為它們乘積的一半。
（6）奇數的積是奇數；偶數的積是偶數；奇數與偶數的積是偶數；
（7）偶數的個位上一定是0、2、4、6、8;奇數的個位上是1、3、5、7、9.
13、質數：指在一個大於1的自然數中，除了1和此整數自身外，沒法被其他自然數整除的數。
14、合數：比1大但不是素數的數稱為合數。1和0既非素數也非合數。合數是由若干個質數相乘而得到的。
質數是合數的基礎，沒有質數就沒有合數。
15、長方體：由六個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫長方體。長方體的任意一個面的對面都與它完全相同。
16、長、寬、高：長方體的每一個矩形都叫做長方體的面，面與面相交的線叫做長方體的稜，三條稜相交的點叫做長方體的頂點，相交於一個頂點的三條稜的長度分別叫做長方體的長、寬、高。
17、長方體的特徵：
（1）長方體有6個面，每個面都是長方形，至少有兩個相對的兩個面完全相同。特殊情況時有兩個面是正方形，其他四個面都是長方形，並且完全相同。
（3）長方體有12條稜，相對的稜長度相等。可分為三組，每一組有4條稜。還可分為四組，每一組有3條稜。
（3）長方體有8個頂點。每個頂點連接三條稜。
（4）長方體相鄰的兩條稜互相（相互）垂直。
18、長方體的表面積：因為相對的2個面相等，所以先算上下兩個面，再算前後兩個面，最後算左右兩個面。
設一個長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則它的表面積S：
S=2ab+2bc+2ca
=2(ab+bc+ca)
19、長方體的體積：
長方體的體積=長×寬×高
設一個長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則它的體積V：
V=abc=Sh
20、長方體的稜長：
長方體的稜長之和=（長+寬+高）×4
長方體稜長字母公式C=4(a+b+c)
相對的稜長長度相等
長方體稜長分為3組，每組4條稜。每一組的稜長度相等
21、正方體：側面和底面均為正方形的直平行六面體叫正方體，即稜長都相等的六面體，又稱“立方體”、“正六面體”。正方體是特殊的長方體。
22、正方體的特徵：
（1）有6個面，每個面完全相同。
（2）有8個頂點。
（3）有12條稜，每條稜長度相等。
（4）相鄰的兩條稜互相（相互）垂直。
23、正方體的表面積：
因為6個面全部相等，所以正方體的表面積=一個面的面積×6=稜長×稜長×6
設一個正方體的稜長為a，則它的表面積S：
S=6×a×a或等於S=6a2
24、正方體的體積：
正方體的體積=稜長×稜長×稜長；設一個正方體的稜長為a，則它的體積為：
V=a×a×a
25、正方體的展開圖：正方體的平面展開圖一共有11種。
國小數學知識點
26、分數：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫分數。表示這樣的一份的數叫分數單位。
27、分數分類：分數可以分成：真分數，假分數，帶分數，百分數
28、真分數：分子比分母小的分數，叫做真分數。真分數小於一。如：1/2，3/5，8/9等等。真分數一般是在正數的範圍內研究的。
29、假分數：分子大於或者等於分母的分數叫假分數，假分數大於1或等於1.
假分數通常可以化為帶分數或整數。如果分子和分母成倍數關係，就可化為整數，如不是倍數關係，則化為帶分數。
30、分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘以或除以一個不為0的數，分數的值不變。
31、約分：
長方體的特徵：長方體有6個面，12條稜，8個頂點，相對的兩個面的面積相等，
相對的4條稜的長度相等，相交於一個頂點的三條稜的長度分別叫做長、寬、高。
正方體的特徵：正方體有6個面，12條稜，8個頂點，6個面的面積都相等，12
條稜的長度都相等。
表面積：物體表面所有面積的總和。
長方體的表面積：長方體6個面的總面積，叫做長方體的表面積。
長方體表面積公式：長方體的表面積=（長×寬+寬×高+長×高）×2
用字母表示：s=(ab+bh+ah)×2
正方體的表面積：正方體6個面的總面積叫做正方體的表面積。
正方體表面積公式：正方體表面積=稜長×稜長×6
用字母表示：s=6a2
長方體的體積： 長方體的體積=長×寬×高=底面積×高
用公式表示：v=abh=sh
正方體的體積： 正方體的體積=稜長×稜長×稜長=底面積×高
用公式表示：v=a.a.a=a3=sh
▼《觀察物體》
1、不同角度觀察一個物體 ， 看到的面都是兩個或三個相鄰的面。
2、不可能一次看到長方體或正方體相對的面。
注意點
1)這裏所説的正面、左面和上面，都是相對於觀察者而言的。
2)站在任意一個位置，最多隻能看到長方體的3個面。
3)從不同的位置觀察物體，看到的形狀可能是不同的。
4)從一個或兩個方向看到的圖形是不能確定立體圖形的形狀的。
5)同一角度觀察不同的立體圖形，得到的平面圖形可能是相同，也可能是不同的。
6)如果從物體的右面觀察，看到的不一定和從左面看到的完全相同。
第二單元 因數和倍數
1、整除：被除數、除數和商都是自然數，並且沒有餘數。
整數與自然數的關係：整數包括自然數。
2、因數、倍數：大數能被小數整除時，大數是小數的倍數，小數是大數的因數。
例：12是6的倍數，6是12的因數。
（1）數a能被b整除，那麼a就是b的倍數，b就是a的因數。因數和倍數是相互依存的，不能單獨存在。
（2）一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身。
一個數的因數的求法：成對地按順序找。
（3）一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身。
一個數的倍數的求法：依次乘以自然數。
(4)2、3、5的倍數特徵
1) 個位上是0，2，4，6，8的數都是2的倍數。
2)一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
3)個位上是0或5的數，是5的倍數。
4)能同時被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍數）的最大的兩位數是90，最小的三位數是120。
同時滿足2、3、5的倍數，實際是求2×3×5=30的倍數。
5)如果一個數同時是2和5的倍數，那它的個位上的數字一定是0。
3、完全數：除了它本身以外所有的因數的和等於它本身的數叫做完全數。
如：6的因數有：1、2、3（6除外），剛好1+2+3=6，所以6是完全數，小的完全數有6、28等
4：自然數按能不能被2整除來分：奇數、偶數。
奇數：不能被2整除的數。叫奇數。也就是個位上是1、3、5、7、9的數。
偶數：能被2整除的數叫偶數（0也是偶數），也就是個位上是0、2、4、6、8的數。
最小的奇數是1，最小的偶數是0.
關係： 奇數+、- 偶數=奇數
奇數+、- 奇數=偶數
偶數+、-偶數=偶數。
5、自然數按因數的個數來分：質數、合數、1、0四類。
質數（或素數）：只有1和它本身兩個因數。
合數：除了1和它本身還有別的因數（至少有三個因數：1、它本身、別的因數）。
1： 只有1個因數。“1”既不是質數，也不是合數。
最小的質數是2，最小的合數是4，連續的兩個質數是2、3。
每個合數都可以由幾個質數相乘得到，質數相乘一定得合數。
20以內的質數：有8個(2、3、5、7、11、13、17、19)
100以內的質數有25個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以內找質數、合數的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍數，是的就是合數，不是的就是質數。
關係：奇數×奇數=奇數
質數×質數=合數
6、最大、最小
A的最小因數是：1;
A的最大因數是：A;
A的最小倍數是：A;
最小的自然數是：0;
最小的奇數是：1;
最小的偶數是：0;
最小的質數是：2;
最小的合數是：4;
7、分解質因數：把一個合數分解成多個質數相乘的形式。
用短除法分解質因數 （一個合數寫成幾個質數相乘的形式）。
比如：30分解質因數是：(30=2×3×5)
8、互質數：公因數只有1的兩個數，叫做互質數。
兩個質數的互質數：5和7
兩個合數的互質數：8和9
一質一合的互質數：7和8
兩數互質的特殊情況：
⑴1和任何自然數互質；
⑵相鄰兩個自然數互質；
⑶兩個質數一定互質；
⑷2和所有奇數互質；
⑸質數與比它小的合數互質；
9、公因數、最大公因數
幾個數公有的因數叫這些數的公因數。其中最大的那個就叫它們的最大公因數。
用短除法求兩個數或三個數的最大公因數 （除到互質為止，把所有的除數連乘起來）
幾個數的公因數只有1，就説這幾個數互質。
如果兩數是倍數關係時，那麼較小的數就是它們的最大公因數。
如果兩數互質時，那麼1就是它們的最大公因數。
10、公倍數、最小公倍數
幾個數公有的倍數叫這些數的公倍數。其中最小的那個就叫它們的最小公倍數。
用短除法求兩個數的最小公倍數（除到互質為止，把所有的除數和商連乘起來）
用短除法求三個數的最小公倍數（除到兩兩互質為止，把所有的除數和商連乘起來）
如果兩數是倍數關係時，那麼較大的數就是它們的最小公倍數。
如果兩數互質時，那麼它們的積就是它們的最小公倍數。
11、求最大公因數和最小公倍數方法
用12和16來舉例
1、求法一：（列舉求同法）
最大公因數的求法：
12的因數有：1、12、2、6、3、4
16的因數有：1、16、2、8、4
最大公因數是4
最小公倍數的求法：
12的倍數有：12、24、36、48、…
16的倍數有：16、32、48、…
最小公倍數是48
2、求法二：（分解質因數法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因數是：
2×2=4（相同乘）
最小公倍數是：
2×2×3×2×2= 48（相同乘×不同乘）
用天平找次品規律：
1、把所有物品儘可能平均地分成3份，（如餘1則放入到最後一份中；如餘2則分別放入到前兩份中），保證找出次品而且稱的次數一定最少。
2、數目與測試的次數的關係：
2～3個物體，保證能找出次品需要測的次數是1次
4～9個物體，保證能找出次品需要測的次數是2次
10～27個物體，保證能找出次品需要測的次數是3次
28～81個物體，保證能找出次品需要測的次數是4次
82～243個物體，保證能找出次品需要測的次數是5次
244～729個物體，保證能找出次品需要測的次數是6次
第二單元知識點（觀察物體）
1、如何確定物體所在的位置？
（1）明確方向。
（2）明確距離。
2、根據方向和距離來確定物體的位置。
3、在生活中一般先説物體所在方向離的近（夾角較小）的方位。
4、平面圖形的一般畫法：
（1）先確定某建築物的方向。
（2）再確定角度。（測量角度時，哪個方位在前，0刻度線就對準誰。）
（3）最後確定距離。
5、兩個城市的位置具有相對性，方向相對，角度和距離不發生改變。例如：甲地在乙地的南偏東30度500米處，則乙地在甲地的北偏西30度500米處。
1、眾數：一組數據中出現次數最多的一個數或幾個數，就是這組數據的眾數。
眾數能夠反映一組數據的集中情況。
在一組數據中，眾數可能不止一個，也可能沒有眾數。
2、中位數：
（1）按大小排列；
（2）如果數據的個數是單數，那麼最中間的那個數就是中位數；
（3）如果數據的個數是雙數，那麼最中間的那兩個數的平均數就是中位數。
3、平均數的求法：
總數÷總份數=平均數
4、一組數據的一般水平：
（1）當一組數據中沒有偏大偏小的數，也沒有個別數據多次出現，用平均數表示一般水平。
（2）當一組數據中有偏大或偏小的數時，用中位數來表示一般水平。
（3）當一組數據中有個別數據多次出現，就用眾數來表示一般水平。
5、平均數、中位數和眾數的聯繫與區別:
①平均數：
一組數據的總和除以這組數據個數所得到的商叫這組數據的平均數。
容易受極端數據的影響，表示一組數據的平均情況。
②中位數：
將一組數據按大小順序排列，處在最中間位置的一個數叫做這組數據的中位數。
它不受極端數據的影響，表示一組數據的一般情況。
③眾數：
在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的眾數。
它不受極端數據的影響，表示一組數據的集中情況。
5、統計圖：我們學過——條形統計圖、複式折線統計圖。
條形統計圖優點：條形統計圖能形象地反映出數量的多少。
折線統計圖優點：折線統計圖不僅能表示出數量的多少，還能反映出數量的變化情況。
注：①畫圖時注意：
一“點”（描點）、二“連”（連線）、三“標”（標數據）。
②要用不同的線段分別連接兩組數據中的數。
6、打電話：
規律——人人不閒着，每人都在傳。（技巧：已知人數依次_2）
（1）逐個法：所需時間最多。
（2）分組法：相對節約時間。
（3）同時進行法：最節約時間
最大公因數和最小公倍數
公因數只有1的兩個數叫做互質數。
兩個數都是質數
互 1和任何自然數
質 相鄰的兩個自然數
1、2、4是8和12共有的因數，叫做它們的公因數。其中4是最大的公因數，叫它們的最大公因數。
12、24、36是4和6共有的倍數，叫做它們的公倍數。
其中，12是最小的公倍數，叫做它們的最小公倍數。
長方形和正方形
長方體和正方體的認識
（1）長方體有6個面
（2）長方體有12條稜
（3）長方體有8個頂點
（4）每個面都是什麼形狀？
（5）那些面是完全相同的？
長方形相對的面
（6）哪些稜的長度相等？
相對的稜
通過以上的觀察和討論可以知道：長方體是由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。在一個長方體中，相對的面完全相同，相對的稜長度相等。
長方體有6個面，每個面一般都是長方形，（也可能有兩個相對的面是正方形）相對的面的面積相等；長方體有12條稜，相對的稜的長度相等，長方體有8個頂點。
正方體有6個面，每個面都是面積相等的正方形，正方體有12條稜，每條稜的長度都相等，正方體有8個頂點。
正方體是特殊的長方體。
6個面
正方體 12條稜
長方體 8個頂點
上下面：長×寬 左右面：高×寬 前後面：長×高
長方體和正方體的表面積
長方體或正方體6個面的總面積。
長方體和正方體的體積
物體所佔空間的大小叫做物體的體積。
計量體積要用體積單位有：立方厘米、立方分米、立方米。可以分別寫成cm³、dm³、m³。
長方體的體積=長×寬×高
V=a×b×h=abh
正方體的體積=稜長×稜長×稜長 V=a³
長方體（或正方體）的體積=底面積×高 V=sh
長方體（或正方體）的體積=橫截面面積×長 V=sa
長方體或正方體底面的面積叫做底面積。
長方體的體積=長×寬×高
=底面積×高
=橫截面面積×長
正方體的體積=稜長×稜長×稜長
=底面積×高
=橫截面面積×長
立方：
1³=1 2³=8 3³=27 4³=64
5³=125 6³=216 7³=343
8³=512 9³=729 10³=1000
平方：
1²=1 2²=4 3²=9 4²=16 5²=25
6²=36 7²=49 8²=64 9²=81 10²=100
1方=1立方米=體積
體積單位間的進率
1dm³=1000cm³ 1m³=1000dm³
1立方米=1000000立方厘米
1米=100釐米 1平方米=10000平方釐米
容積和容積單位
箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的體積。
計量容積，一般就用體積單位。計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，也可以寫成L和ML。
1L=1000ML 1L=1dm³ 1ML=1cm³
探索圖形
三面塗色：頂點（八個頂點） 兩面：稜長(n-2)×12
一面：面（n-2)×(n-2)×6 沒塗：(n-2³）
分數的意義和性質
1、分數的意義
在進行測量、分物或計算時，往往不能正好得到整數的結果，這時常用分數來表示。
把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數叫做分數。
一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看做一個整體。把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。
一個整體可以用自然數1來表示，我們通常把它叫做單位“1”。
把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數叫做分數單位。例如三分之二的分數單位是三分之一。
分數與除法
被除數÷除數=除數分之被除數
a÷b=b分之a(b不等於0)
2、真分數和假分數
分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小於1。
分子比分母大或分子和分母相等的分數叫做假分數。假分數大於1或等於1。
這樣由整數和真分數合成的數叫做帶分數。
3、分數的基本性質
分數的分子和分母同時乘或者除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變。這叫做分數的基本性質。
被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，商不變。這叫做商不變性質。
4、約分
把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。
分子和分母只有公因數1，這樣的分數叫做最簡分數。約分時，通常要約成最簡分數。（所有題的答案都要是最簡分數）
5、通分
把異分母分別化成和原來相等的同分母分數，叫做通分。
6、分數和小數的互化
所有應用題（最簡分數）（所有題）
圖形的運動(三)
注意：旋轉時（小旗等）是朝上朝下。
分數的加法和減法
1、同分母分數加減法
同分母分數相加減，分母不變只把分子相加減，計算結果，能約分的要約成最簡分數。
2、異分母分數加減法
異分母分數相加、減，先通分，然後按照同分母分數相加減法則進行計算。
3、分數加減混合運算
無論是簡算，還是混合計算，結果都要是最簡分數。
喝牛奶
全部喝完：喝了一杯牛奶，看到了多少次水。
沒有喝完：計算喝了多少水和奶。
折線統計圖
1、單式折線統計圖
只有一根線的折線統計圖，叫做單式折線統計圖。
2、複式折線統計圖
有兩根線或兩根以上的統計圖，叫做複式折線統計圖。
數學廣角——找次品
2、3（1次）
4-9（2次）
10-27（3次）
28-81（4次）
82-243（5次）
…… ……
如果沒説輕或者重，在基礎上加1。
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