説起數學家中最出名的天才，那一定是高斯。
關於高斯的故事，最廣為流傳的是“5050”。老師本來想用一道難題，讓全班的同學安靜一節課的時間，卻沒有想到小高斯只用了一兩分鐘就説出了答案。他把1、2、3……分別和100、99、98結對子相加，就得到50個101,最後輕易就算出從1加到100的和是5050。
你知道嗎？小高斯在三歲時，就已經學會計算了。有一天他觀看父親在計算幫工們的工錢，當他父親唸叨了半天總算報出總數時，身邊傳來微小的聲音，“爸爸！算錯了，應該是這樣……”父親驚異地再算一次，果然是算錯了。雖然沒有人教過他，但小高斯靠平日的觀察，自己學會了計算。
小高斯家裏很窮，冬天，爸爸總是要他早早地上牀睡覺，好節省燃油。可是高斯很喜歡看書，每次都帶着一棵蕪菁（像蘿蔔的一種植物）。他把中心挖空，塞進棉布卷當燈芯，淋上油脂點火看書，一直到累了才鑽入被窩睡覺。
高斯的進步很快，不久之後，老師就沒什麼東西可以教他了。後來，高斯進了高一級學校，可數學老師看了他的作業後，告訴他以後不必上數學課了。
值得一提的是，高斯不光數學好，語文也非常棒，當他18歲時，為自己將來到底是繼續研究古典文學還是數學而苦惱，正在這時，他解決了一個困擾數學家兩千多年之久的問題“尺規作正十七邊形”，於是，他決定繼續讀數學系。
有一個比喻説得非常好。如果我們把18世紀的數學家想象為一系列的高山峻嶺，那麼最後一個令人肅然起敬的巔峯就是高斯；如果把19世紀的數學家想象為一條條江河，那麼其源頭就是高斯。
人們一直把高斯的成功歸功於他的“天才”，他自己卻説:“假如別人和我一樣深刻和持續地思考數學真理，他們會作出同樣的發現。”
祖沖之祖籍河北，他的祖父和父親都曾在南朝做官，因而他出生於南方。 晉朝末年，由於北方連年混戰，中原地區的人口大量遷移到南方，促使長江流域的農業生產和社會經濟各方面都有迅速的發展，祖沖之正是誕生在這樣的時代環境裏。祖家歷代對天文曆法都很有研究。在家庭的影響下，祖沖之從小便對天文學和數學發生了濃厚的興趣。
在青年時代，他便對劉歆、張衡、王蕃、劉徽等人的工作進行了深入細緻的研究，駁正了他們的錯誤。以後他繼續鑽研，在科學技術方面作出極有價值的貢獻。精確到小數點後第六位數的圓周率，便是他其中最傑出的成就之一。在天文曆法方面，他曾將自古代到他生活年代為止所有可以蒐羅到的文獻資料，全部整理了一遍，並且通過親自觀測和推算，做了深切的驗證。他指出當時所流行的何承天（公元370-447年）編定的歷法有許多嚴重的錯誤。因此他便開始編制另一種新的歷法。
宋大明6年（公元462年），33歲的祖沖之編好了新的歷法“大明曆”。這是一部最好的歷法，但是卻遭到了當時朝廷中最得勢人物戴法興的反對。許多官員懼怕戴法興的勢力，不敢對祖沖之新曆作公正的評定。祖沖之為了堅持真理，勇敢地與戴法興展開了辯論，他寫了一篇有名的《駁議》，逐條駁斥了戴法興的無理責難。這場辯論，實際上反映了當時科學發展過程中科學和反科學、進步和保守之間的尖鋭鬥爭。戴法興等人認為：歷代流傳下來的東西，都是古制，是不可革的，是“萬世不易”的，他們認為天文曆法不是“凡人”可以修改的，他們説：“非衝之淺慮妄可穿鑿”，甚至進一步責罵祖沖之是“誣天背經”。祖沖之對他們提出了尖鋭的反駁。他認為日月五星的運行“非出神怪”，“是有形可檢，有數可推”，只要進行細心的觀測和推算。孟子早先所説“千年之日至（夏至、冬至）可生而致”的話是完全可以做到的。祖沖之在《駁議》中寫了兩句非常有名的話“願聞顯據，以覆理實”，“浮詞虛貶，竊非所懼”。他希望雙方都拿出真實的證據，辨明真正的是非，至於造謠和誹謗，那是他絲毫不怕的。由於種種阻礙，大明曆一直到他死後十年，在樑朝才得以頒行（公元510年）。
祖沖之除天文曆法和數學之外，對機械方面也有研究，他製造過“指南車”和“千里船”，此外，他對音律也很精通，對古代的許多書籍進行過註釋，他還寫過十卷小説，他真稱得上是一個多才多藝的科學家。關於他在數學方面的著作，最著名的要算是《綴術》，此外還有《九章算術譯註》、《重差注》等等，但這些也都失傳了。
祖沖之的兒子祖𣈶也是一位傑出的數學家，他繼承了祖沖之在數學和天文曆法方面的工作，並進一步發揚光大了他父親的成就。祖沖之的“大明曆”就是經過祖𣈶三次建議之後才被樑朝採用的。關於球體體積的計算也是作為祖𣈶的工作流傳下來的。祖𣈶終生好學不倦。傳説他小的時候，專心讀書，連打雷也不覺得，走路時思考問題，曾經撞到別人身上。
祖沖之父子的名字，不僅在國內已是受到稱道，在世界上也受到了應有的重視。
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1957年2月8日，20世紀最重要的科學家之一約翰·馮·諾依曼(John von Neumann)因癌症在美國逝世。美國科學院曾在他去世前發來問候，並詢問他：“你一生中最偉大的三個成就是什麼？”要知道，當時人們已經把諾依曼視為“計算機之父”，他提出了世界上第一個通用存儲程序計算機的設計方案。此外他與摩根斯特恩(Oskar Morgenstern)合著的《博弈論與經濟行為》被視為博弈論的奠基之作；他曾是美國核威懾計劃的協調員，“曼哈頓計劃”中最重要的科學家之一，長崎原子彈的締造者。
諾依曼的回答卻出乎人們的意料，他説，“我最重要的貢獻是希爾伯特空間自伴算子理論、量子力學的數學基礎和遍歷性定理。”一語震驚世人。
天才的30歲
控制論的創始人諾伯特·維納曾説，“數學是年輕人的遊戲”，適合一個人在創造力勃發的時期鑽研它。對於很多數學天才來説，獲得造詣的黃金時期，也就是在30歲之前。諾依曼是20世紀舉世公認的天才，而且理所當然地把人生的前30年用在了數學上。
如今關於“天才神童”諾依曼的説法見諸許多傳記和報道，比如6歲時就能心算做8位數乘除法，8歲時已經精通微積分，12歲就能讀懂並領會波萊爾(Emile Borel)的大作《函數論》。雖然傳説種種不可盡信，但www.本站baihuawen本站我們可以確切地知道的是，諾依曼年輕時在數學上的成就非同一般。
1903年12月28日出生在匈牙利布達佩斯的少年諾依曼，11歲時就被建議從中學輟學回家，原因是老師認為他的數學天賦驚人，在中學簡直浪費。諾依曼的父親是一個富裕的猶太銀行家，請來了當時在布達佩斯大學當助教的菲克特對諾依曼進行家庭輔導。
1921年，諾依曼通過高等教育升學考試時，已被人們當作數學家了。他的第一篇論文是和老師菲克特合寫的，那時他還不到18歲。作為銀行家的父親希望諾依曼掌握一些“有實際用途”的科學，請人勸阻諾依曼不要專攻數學，後來父子倆達成妥協。諾依曼首先在布達佩斯大學註冊為數學專業的學生，但並不聽課，只是每年按時參加考試。與此同時，他又進入德國柏林大學，1923年轉入瑞士蘇黎世聯邦工業大學學習化學。1926年他獲得了蘇黎世聯邦工業大學化學學位，同時也獲得了布達佩斯大學的數學博士學位。、
在柏林和蘇黎世期間的諾依曼已經決定投身於數學了，他並沒有常去拜訪大名鼎鼎的毒氣發明家哈伯教授，而是和希爾伯特的學生施密德(Erhard Schmidt)走得很近。1921年至1925年發表的兩篇論文《關於引入無窮序數》和《集合論的一種公理化》使這位年輕的本科生名聲大震，論文在當時的重量級人物間傳閲過，希爾伯特傳記的作者認為，從那時起，年輕的諾依曼就成了希爾伯特家的常客。
1926年春，諾依曼來到哥廷根大學擔任希爾伯特的助手。此時德國已是量子力學興起的第一陣地，海森堡、薛定諤剛提出各自的“量子理論”，隨後狄拉克將相對論引入量子力學，完成了量子理論的統一。這片新天地對於置身其中的諾依曼來説，無疑是一種巨大的誘惑。1927年，諾依曼已經投身於量子力學，他在希爾伯特的幫助下，發表了論文《量子力學的數學基礎》，將經典力學中的精確函數關係用概率關係代替。這使得希爾伯特的元數學在量子力學這個生氣勃勃的領域裏獲得了施展。
在量子力學發展史上，客觀地説，狄拉克對量子理論的數學處理是不夠嚴格的，而諾依曼通過對無界算子的研究，發展了希爾伯特算子理論，彌補了這個不足。諾貝爾物理學獎獲得者維格納(Paul Wigner)曾作過如下評價：“對量子力學的貢獻，就足以確保諾依曼在當代物理學中的特殊地位。”
在諾依曼早年發表的論文中，希爾伯特空間算子環理論方面的文章大約佔了1/3。這也足以看出，他花費了大部分的精力在這個領域。依託算子環理論，諾依曼發展出了一種新的代數和幾何，分別被命名為“諾依曼算子代數”和 “連續幾何”，後者是一個嶄新的領域，普通幾何學的維數為整數1、2、3等，而諾依曼提出決定一個空間的維數結構的，實際上是它所容許的旋轉羣。因而維數可以不再是整數，現在人們可以提到3.75維，而不是第4維。
1932年，即將到達30歲的諾依曼，做出了對純粹數學領域的最後一個重要貢獻：解決了遍歷定理的證明。它是20世紀數學分析研究領域中最有影響的成就之一，解決了希爾伯特在1900年那次著名的演説中提出的所謂“緊羣的第五問題”。
轉變
20世紀30年代，年輕的諾依曼由於才華出眾，在學術界越來越引人注目。他先後在柏林大學、漢堡大學擔任編外教授，但一直沒有正式教授的職位。1930年，諾依曼與瑪利埃塔·科維茜結婚，成家立業的壓力隨之而來，而此時恰逢美國數學家韋伯倫在普林斯頓廣羅英才，諾依曼欣然前往，橫渡大西洋，應邀來到美國普林斯頓大學擔任客座講師。1933年，普林斯頓成立高級研究院，一共設6個高級教授的名額，諾依曼是其中最年輕的一位，物理學家愛因斯坦是他的同事。
由於納粹迫害猶太血統的科學家，諾依曼無法再回德國，因而終生在美國定居，並加入了美國國籍。差不多正是從這時候起，諾依曼的科學生涯發生了一個重大轉變。在此之前，他是一位通曉物理學的登峯造極的純粹數學家，此後，則成了一位牢固掌握純粹數學的出神入化的應用數學家。他的興趣轉移到了兩個新領域：博弈論和計算機。
早在20世紀20年代，撲克和國際象棋就引起了哥廷根的數學家們的興趣，諾依曼在1928年發表論文《團體博弈論》，第一次對博弈做出了完整的數學描述，宣告了博弈論的誕生。在這篇文章中，他證明了“極小極大定理”，這個定理用於處理最基本的二人博弈問題：如果博弈雙方中的任何一方，對每種可能的策略，考慮了可能遭到的最大損失，從而選擇“最大損失”最小的一種為“最優”策略，那麼從統計角度來看，他就能夠確保方案是最佳的。
不過在那時，關於這個理論的討論還是侷限在數學的範疇裏，針對的也還只是類似象棋與撲克這樣的問題，一直到1938年，諾依曼在普林斯頓遇到了同是移民的摩根斯特恩，這個理論與經濟學的聯繫才逐漸加強。
摩根斯特恩是一個來自維也納的經濟評論家，他的第一部作品《經濟預測》提出了一個悲觀的論點：通過已有的經濟學理論，來預測經濟興衰起伏是一種徒勞的行為，因為它忽略了經濟行為的參與者之間的依賴性。而博弈論解決的恰恰是合作與競爭關係中的問題。摩根斯特恩説服諾依曼與他合寫一部論著，證明博弈論才是一切經濟學理論的正確基礎。摩根斯特恩本人並不懂數學，因此幾乎是諾依曼獨立完成了這部1200多頁的論著，最後由摩根斯特恩執筆寫出了具有煽動性的緒論。
《博弈論與經濟行為》在1944年出版時，諾依曼在普林斯頓的聲望也達到了頂峯。有些科學家甚至頌揚它 “可能是20世紀前半期最偉大的科學貢獻之一”，它也啟迪了1994年諾貝爾獎獲得者約翰·納什發展出現代經濟學裏著名的“均衡理論”。
改變世界的邂逅
1936年9月，英國數學家阿蘭·麥席森·圖靈應邀來到普林斯頓高等研究院學習，成為了諾依曼的研究助手。這或許是計算機科學史上一次未被記載的偉大邂逅。圖靈帶來的關於一種萬能計算機器“圖靈機”的設想，在當時已經引起了諾依曼的興趣。不過這種興趣並沒有直接引導他去研製計算機，因為不久後二戰便爆發了。
諾依曼作為普林斯頓高級教授之一，應召參與了許多美國軍方的科學研究項目，其中便包括研製原子彈的“曼哈頓工程”。從1943年開始，諾依曼成為奧本海默的中央實驗室中身居要職的數學家，他對原子彈的最大貢獻就是提出了一個引發核燃料爆炸的內爆方法，這個方法將研製出原子彈的時間縮短了大約一年。
1944年夏天，“曼哈頓工程”進入了收尾階段。在美國東部的馬里蘭州阿伯丁火車站站台上，諾依曼和一位年輕軍官不期而遇，後者是美軍彈道實驗室的赫爾曼·哥爾斯廷上尉，原是一位數學家。哥爾斯廷出於對諾依曼的景仰，上前和他攀談。當上尉告訴諾依曼，目前他正從事一項科研，研製一台每秒鐘能進行333次乘法運算的電子計算機時，諾依曼頓時來了興趣，連連追問。哥爾斯廷被問得汗流浹背，用他後來的話説，“簡直像一場數學博士論文的答辯”。
原來，早在“曼哈頓工程”時，諾依曼就參與了原子核裂變的數據計算工作，龐大的數據運算全靠手工所花費的時間與精力是令人難以容忍的，而一台高速計算機正好派上用場。
這次談話之後不久，諾依曼就趕往賓夕法尼亞大學的摩爾學院，去看哥爾斯廷所講的那台機器。這台名為“愛尼亞克”(ENIAC)的機器，在當時已研製到一半，正在程序存儲問題上遇到瓶頸，對於諾依曼來説，這真是“天將降大任於斯人也”！他立即請求加入研究小組，並大膽地提出“實現程序由外存儲向內存儲的轉化，所有程序指令必須用二進制的方式存儲在磁帶上。”
1945年6月，諾依曼將自己的思想撰寫成文，題為《關於離散變量自動電子計算機的草案》，提出了在數字計算機內部的存儲器中存放程序的概念。這是所有現代電子計算機的範式，被稱為“馮·諾依曼結構”，按這一結構建造的電腦稱為通用計算機。長達101頁的EDVAC方案是計算機發展史上的一個劃時代的文獻，它向世界宣告：電子計算機時代開始了。
然而這篇文章的出現卻使得“愛尼亞克”的研製者艾克特、莫齊利與諾依曼鬧翻了。原來這篇劃時代文獻，只單獨署了諾依曼的大名。諾依曼是半道插進來的，卻把辛辛苦苦做了一大半研製工作的艾克特和莫齊利拋到了腦後。這不能不讓艾克特和莫齊利心存不滿。由於此種原因，諾依曼的設想沒能在“愛尼亞克”上第一次實現。
1949年5月6日，英國劍橋大學的莫里斯·威爾克斯研製成功第一台通用計算機，名為“愛達賽克”(EDSAC)。威爾克斯僅用了一個晚上就將諾依曼的《關於離散變量自動電子計算機的草案》通讀，並做了詳盡的筆記。威爾克斯把他設計的機器命名為“機電存儲自動電子計算器”，表明他的基本設計思想來自諾依曼。
鮮明的個性
諾依曼在45歲那年，就已經成為全球公認的“20世紀最具世界性、最多才多藝、最才思敏捷的數學家”。無論在數學還是在經濟學、計算機、量子力學方面，諾依曼都展示了卓越的才能，取得了影響深遠的重大成果。
而這顆數學界耀眼的星星，其個人生活也常成為媒體報道的熱詞、猛料。與簡樸、超凡脱俗、富於正義感的英國數學家哈代（那一代數學家的偶像）不同，諾依曼是凡夫俗子。哈代是個純粹數學家，痛恨政治，厭惡工程學，而諾依曼恰恰興趣廣泛，對數學以外的一切並不排斥。
二戰中的諾依曼屬於首批乘飛機穿梭於紐約、洛杉磯、華盛頓的學術顧問，他的名字頻繁出現在政治新聞報道中。他是告訴美國人應該如何考慮原子彈和蘇聯人，以及如何和平利用原子能的人之一。據説1963年庫伯裏克(Kubrick)導演的影片中那個核戰爭狂(Dr. Strangelove)就是以他作為原型。他是一個激進的冷戰鬥士，主張向蘇聯發動一次先發制人的攻擊，並且為核試驗進行辯護。奧本海默在目睹第一顆原子彈的威力時説“現在我成了死神，世界的毀滅者”，卻被諾依曼譏諷為“有些人的事後懺悔，不過是為了擺脱自己的罪名。”
諾依曼結過兩次婚，非常富有。他喜歡昂貴的衣服、烈酒、高速汽車和色情笑話。他是一個工作狂，舉止粗魯，有時甚至冷酷無情。長期流傳在普林斯頓的一個笑話説，“馮·諾依曼其實是一個懂得怎樣完美模仿人類的外星人”。不過，在公開場合，他卻洋溢着匈牙利人的魅力與才智。他的住宅位於普林斯頓時髦的圖書館區，他常在家裏舉辦長時間的晚會，接待各界名流。他精通七種語言，談話時可以旁徵博引，從歷史、政治到股市無所不知。
計算機之父的思維運轉速度驚人，也是被反覆炒作的話題，在普林斯頓經常可以聽到諾依曼在計算表演中擊敗計算機的故事。有人提出類似“右起第四位是7的最小的2的冪是多少”的問題，機器和諾依曼同時開始計算，結果他首先完成。
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