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“古希臘”這個詞，我們耳熟能詳，很多人卻不瞭解它。
如果《幾何原本》的作者歐幾里得能夠代表整個古希臘人民，那麼我可以説，古希臘是古代文化中最燦爛的一支——因為古希臘的數學中，所包含的不僅僅是數學，還有着難得的邏輯，更有着耐人尋味的哲學。
《幾何原本》這本數學著作，以幾個顯而易見、眾所周知的定義、公設和公理，互相搭橋，展開了一系列的命題：由簡單到複雜，相輔而成。其邏輯的嚴密，不能不令我們佩服。
就我目前拜訪的幾個命題來看，歐幾里得證明關於線段“一樣長”的題，最常用、也是最基本的，便是畫圓：因為，一個圓的所有半徑都相等。一般的數學思想，都是很複雜的，這邊剛講一點，就又跑到那邊去了;而《幾何原本》非常容易就被我接受，其原因大概就在於歐幾里得反覆運用一種思想、使讀者不斷接受的緣故吧。
不過，我要着重講的，是他的哲學。
書中有這樣幾個命題：如，“等腰三角形的兩底角相等，將腰延長，與底邊形成的兩個補角亦相等”，再如，“如果在一個三角形裏，有兩個角相等，那麼也有兩條邊相等”。這些命題，我在讀時，內心一直承受着幾何外的震撼。
我們七年級已經學了幾何。想想那時做這類證明題，需要證明一個三角形中的兩個角相等的時候，我們總是會這麼寫：“因為它是一個等腰三角形，所以兩底角相等”——我們總是習慣性的認為，等腰三角形的兩個底角就是相等的;而看《幾何原本》，他思考的是“等腰三角形的兩個底角為什麼相等”。想想看吧，一個思想習以為常，一個思想在思考為什麼，這難道還不夠説明現代人的問題嗎?
大多數現代人，好奇心似乎已經泯滅了。這裏所説的好奇心不單單是指那種對新奇的事物感興趣，同樣指對平常的事物感興趣。比如説，許多人會問“宇航員在空中為什麼會飄起來”，但也許不會問“我們為什麼能夠站在地上而不會飄起來”;許多人會問“吃什麼東西能減肥”，但也許不會問“羊為什麼吃草而不吃肉”。
我們對身邊的事物太習以為常了，以致不會對許多“平常”的事物感興趣，進而去琢磨透它。牛頓為什麼會發現萬有引力?很大一部分原因，就在於他有好奇心。
如果僅把《幾何原本》當做數學書看，那可就大錯特錯了：因為古希臘的數學滲透着哲學，學數學，就是學哲學。
哲學第一課：人要建立好奇心，不僅探索新奇的事物，更要探索身邊的平常事，這就是我讀《幾何原本》意外的收穫吧!
今天我讀了一本書，叫《幾何原本》。它是古希臘數學家、哲學家歐幾里德的一本不朽之作，集合希臘數學家的成果和精神於一書。
《幾何原本》收錄了原著13卷全部內容，包含了5條公理、5條公設、23個定義和467個命題，即先提出公理、公設和定義，再由簡到繁予以證明，並在此基礎上形成歐氏幾何學體系。歐幾里德認為，數學是一個高貴的世界，即使身為世俗的君主，在這裏也毫無特權。與時間中速朽的物質相比，數學所揭示的世界才是永恆的。
《幾何原本》既是數學著作，又極富哲學精神，並第一次完成了人類對空間的認識。古希臘數學脱胎於哲學，它使用各種可能的描述，解析了我們的宇宙，使它不在混沌、分離，它完全有別於起源並應用於世俗的中國和古埃及數學。它建立起物質與精神世界的確定體系，致使渺小如人類也能從中獲得些許自信。
本書命題1便提出瞭如何作等邊三角形，由此產生了三角形全等定理。即角、邊、角或邊、角、邊或邊、邊、邊相等，並進一步提出了等腰三角形——等邊即等角;等角即等邊。就這樣歐幾里德分別從點、線、面、角四個部分，由淺入深，提出了自己的幾何理論。前面的命題為後面的鋪墊;後面的命題由前面的推導，環環相扣，十分嚴謹。
這本書博大精深，我只能看懂十分之一左右，非常震撼，歐幾里德不愧為幾何之父!他就是數學史上最亮的一顆星。我要向他學習，沿着自己的目標堅定的走下去。
《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數學的成果和精神於一身。既是數學鉅著，也是哲學鉅著，並且第一次完成了人類對空間的認識。該書自問世之日起，在長達兩千多年的時間裏，歷經多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版，至今已有一千多種不同版本。
除《聖經》以外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛能夠和《幾何原本》相比。漢語的最早譯本是由意大利傳教士利瑪竇和明代科學家徐光啟於1607年合作完成的，但他們只譯出了前六卷。證實這個殘本斷定了中國現代數學的基本術語，諸如三角形、角、直角等。日本、印度等東方國家皆使用中國譯法，沿用至今。近百年來，雖然大陸的中學課本必提及這一偉大著作，但對中國讀者來説，卻無緣一睹它的全貌，納入家庭藏書更是妄想。
徐光啟在譯此作時，對該書有極高的評價，他説：“能精此書者，無一事不可精;好學此書者，無一事不科學。”現代科學的奠基者愛因斯坦更是認為：如果歐幾里得未能激發起你少年時代的科學熱情，那你肯定不會是一個天才的科學家。由此可見，《幾何原本》對人們理性推演能力的影響，即對人的科學思想的影響是何等巨大。
《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，大約成書於公元前300年左右，是一部劃時代的著作，是最早用公理法建立起演繹數學體系的典範。它從少數幾個原始假定出發，通過嚴密的邏輯推理，得到一系列的命題，從而保證了結論的準確可靠。《幾何原本》的原著有13卷，共包含有23個定義、5個公設、5個公理、286個命題。是當時整個希臘數學成果、方法、思想和精神的結晶，其內容和形式對幾何學本身和數學邏輯的發展有着巨大的影響。自它問世之日起，在長達二千多年的時間裏一直盛行不衰。它歷經多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版後，至今已有一千多種不同的版本。除了《聖經》之外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相比。但《幾何原本》超越民族、種族、宗教信仰、文化意識方面的影響，卻是《聖經》所無法比擬的。
《幾何原本》的希臘原始抄本已經流失了，它的所有現代版本都是以希臘評註家泰奧恩(Theon，約比歐幾里得晚七百年)編寫的修訂本為依據的。
《幾何原本》的泰奧恩修訂本分13卷，總共有465個命題，其內容是闡述平面幾何、立體幾何及算術理論的系統化知識。第一卷首先給出了一些必要的基本定義、解釋、公設和公理，還包括一些關於全等形、平行線和直線形的熟知的定理。該卷的最後兩個命題是畢達哥拉斯定理及其逆定理。這裏我們想到了關於英國哲學家T.霍布斯的一個小故事：有一天，霍布斯在偶然翻閲歐幾里得的《幾何原本》，看到畢達哥拉斯定理，感到十分驚訝，他説：“上帝啊!這是不可能的。”他由後向前仔細閲讀第一章的每個命題的證明，直到公理和公設，他終於完全信服了。第二卷篇幅不大，主要討論畢達哥拉斯學派的幾何代數學。
第三捲包括圓、弦、割線、切線以及圓心角和圓周角的一些熟知的定理。這些定理大多都能在現在的中學數學課本中找到。第四卷則討論了給定圓的某些內接和外切正多邊形的尺規作圖問題。第五卷對歐多克斯的比例理論作了精彩的解釋，被認為是最重要的數學傑作之一。據説，捷克斯洛伐克的一位並不出名的數學家和牧師波爾查諾(Bolzano，1781-1848)，在布拉格度假時，恰好生病，為了分散注意力，他拿起《幾何原本》閲讀了第五卷的內容。他説，這種高明的方法使他興奮無比，以致於從病痛中完全解脱出來。此後，每當他朋友生病時，他總是把這作為一劑靈丹妙藥問病人推薦。第七、八、九卷討論的是初等數論，給出了求兩個或多個整數的最大公因子的“歐幾里得算法”，討論了比例、幾何級數，還給出了許多關於數論的重要定理。第十卷討論無理量，即不可公度的線段，是很難讀懂的一卷。最後三卷，即第十一、十二和十三卷，論述立體幾何。目前中學幾何課本中的內容，絕大多數都可以在《幾何原本》中找到。
《幾何原本》按照公理化結構，運用了亞里士多德的邏輯方法，建立了第一個完整的關於幾何學的演繹知識體系。所謂公理化結構就是：選取少量的原始概念和不需證明的命題，作為定義、公設和公理，使它們成為整個體系的出發點和邏輯依據，然後運用邏輯推理證明其他命題。《幾何原本》成為了兩千多年來運用公理化方法的一個絕好典範。
誠然，正如一些現代數學家所指出的那樣，《幾何原本》存在着一些結構上的缺陷，但這絲毫無損於這部著作的崇高價值。它的影響之深遠.使得“歐幾里得”與“幾何學”幾乎成了同義語。它集中體現了希臘數學所奠定的數學思想、數學精神，是人類文化遺產中的一塊瑰寶。
古希臘大數學家歐幾里德是與他的鉅著——《幾何原本》一起名垂千古的。這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數學著作，也是歐幾里德最有價值的一部著作，在《原本》裏，歐幾里德系統地總結了古代勞動人民和學者們在實踐和思考中獲得的幾何知識，歐幾里德把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質，從而建立了一套從公理、定義出發，論證命題得到定理得幾何學論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系——幾何學。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。
兩千多年來，《幾何原本》一直是學習幾何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學者都曾學習過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養，從而作出了許多偉大的成就。
從歐幾里得發表《幾何原本》到現在，已經過去了兩千多年，儘管科學技術日新月異，由於歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有着嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養、提高青少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。
少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店裏買了一本《幾何原本》。開始他認為這本書的內容沒有超出常識範圍，因而並沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的“座標幾何”很感興趣而專心攻讀，後來，牛頓於1664年4月在參加特列台獎學金考試的時候遭到落選，當時的考官巴羅博士對他説：“因為你的幾何基礎知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。”這席談話對牛頓的震動很大，於是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反覆進行了深入鑽研，為以後的科學工作打下了堅實的數學基礎。
但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家。都不可能把問題全部解決。由於歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的“根據”問題並沒有得到徹底的解決，他的理論體系並不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什麼作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了“連續”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。
徐光啟（公元1562—1633年）字子先，號玄扈，吳淞（今屬上海）人。他從萬曆末年起，經過天啟、崇禎各朝，曾作到文淵閣大學士的官職（相當於宰相）。他精通天文曆法，是明末改歷的主要主持人。他對農學也頗有研究，曾根據前人所著各種農書，附以自己的見解，編寫了著名的《農政全書》，全書有六十餘卷，共六十多萬字。明朝末年，滿族的統治階級從東北關外屢次發動戰爭，徐光啟曾屢次上書論軍事，並在通州練新兵，主張採用西方火炮。他是一位熱愛祖國的科學家。
他沒有入京做官之前，曾在上海、廣東、廣西等地教書。在此期間，他曾博覽羣書，在廣東還接觸到一些傳教士，對他們傳入的西方文化開始有所接觸。公元1600年，他在南京和利瑪竇相識，以後兩人又長期同住在北京，經常來往。他和利瑪竇兩人共同譯《幾何原本》一書，1607年譯完前六卷。當時徐光啟很想全部譯完，利瑪竇卻不願這樣做。直到晚清時代，《幾何原本》後九卷的翻譯工作才由李善蘭（公元1811—1882年）完成的。
《幾何原本》是我國最早第一部自拉丁文譯來的數學著作。在翻譯時絕無對照的詞表可循，許多譯名都從無到有，當時創造的。毫無疑問，這是需要精細研究煞費苦心的。這個譯本中的許多譯名都十分恰當，不但在我國一直沿用至今，並且還影響了日本的、朝鮮各國。如點、線、直線、曲線、平行線、角、直角、鋭角、鈍角、三角形、四邊形……這許多名詞都是由這個譯本首先定下來的。其中只有極少的幾個經後人改定，如“等邊三角形”，徐光啟當時記作“平邊三角形”；“比”，當時譯為“比例”；而“比例”則譯為“有理的比例”等等。
《幾何原本》有嚴整的邏輯體系，其敍述方式和中國傳統的《九章算術》完全不同。徐光啟對《幾何原本》區別於中國傳統數學的這種特點，有着比較清楚的認識。他還充分認識到幾何學的重要意義，他説“竊百年之後，必人人習之”。
清康熙帝時，編輯數學百科全書《數理精藴》（公元1723年），其中收有《幾何原本》一書，但這是根據公元十八世紀法國幾何學教科書翻譯的，和歐幾里得的《幾何原本》差別很大。
到清朝末年廢科舉、興學堂之後，幾何學方成為學校中必修科目之一。到這時才出現了徐光啟所預料的`“必人人而習之”的情況
也許這算不上是個謎。稍具文化修養的人都會告訴你，歐幾里德《幾何原本》是明末傳入的，它的譯者是徐光啟與利瑪竇。但究竟何時傳入，在中外科技史界卻一直是一個懸案。
着名的科技史家李約瑟在《中國科學技術史》中指出：“有理由認為，歐幾里德幾何學大約在公元1275年通過阿拉伯人第一次傳到中國，但沒有多少學者對它感興趣，即使有過一個譯本，不久也就失傳了。”這並非離奇之談，元代一位老穆斯林技術人員曾為蒙古人服務，一位受過高等教育的敍利亞景教徒愛薩曾是翰林院學士和大臣。波斯天文學家札馬魯丁曾為忽必烈設計過《萬年曆》。歐幾里德的幾何學就是通過這方面的交往帶到中國的。14世紀中期成書的《元祕書監志》卷七曾有記載：當時官方天文學家曾研究某些西方着作，其中包括兀忽烈的的《四季算法段數》15冊，這部書於1273年收入皇家書庫。“兀忽烈的”可能是“歐幾里德”的另一種音譯，“四擘”
是阿拉伯語“原本”的音譯。着名的數學史家嚴敦傑認為傳播者是納西爾。丁。土西，一位波斯着名的天文學家的。
有的外國學者認為歐幾里德《幾何原本》的任何一種阿拉伯譯本都沒有多於13冊，因為一直到文藝復興時才增輯了最後兩冊，因此對元代時就有15冊的歐幾里德的幾何學之説似難首肯。
有的史家提出原文可能仍是阿拉伯文，而中國人只譯出了書名。也有的認為演繹幾何學知識在中國傳播得這樣遲緩，以後若干世紀都看不到這種影響，説明元代顯然不存在有《幾何原本》中譯本的可能性。也有的學者提出假設：皇家天文台搞了一個譯本，可能由於它與2000年的中國數學傳統背道而馳而引不起廣泛的興趣的。
真正在中國發生影響的譯本是徐光啟和利瑪竇合譯的克拉維斯的註解本。但有的同志認為這算不上是完整意義上的歐幾里德的幾何學。因為利瑪竇老師的這個底本共十五卷，利瑪竇只譯出了前六卷，認為已達到他們用數學來籠絡人心的目的，於是沒有答應徐光啟希望全部譯完的要求。200 多年後，後九卷才由着名數學家李善蘭與美國傳教士偉烈亞力合譯完成，也就是説，直到1857年這部古希臘的數學名着才有了完整意義上的中譯本。那麼，這能否説：《幾何原本》的完整意義上的傳入中國是在近代呢？（鄒振環）
《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數學的成果和精神於一身。既是數學鉅著，也是哲學鉅著，並且第一次完成了人類對空間的認識。該書自問世之日起，在長達兩千多年的時間裏，歷經多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版，至今已有一千多種不同版本。
除《聖經》以外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛能夠和《幾何原本》相比。漢語的最早譯本是由意大利傳教士利瑪竇和明代科學家徐光啟於1607年合作完成的，但他們只譯出了前六卷。證實這個殘本斷定了中國現代數學的基本術語，諸如三角形、角、直角等。日本、印度等東方國家皆使用中國譯法，沿用至今。近百年來，雖然大陸的中學課本必提及這一偉大著作，但對中國讀者來説，卻無緣一睹它的全貌，納入家庭藏書更是妄想。
徐光啟在譯此作時，對該書有極高的評價，他説：“能精此書者，無一事不可精;好學此書者，無一事不科學。”現代科學的奠基者愛因斯坦更是認為：如果歐幾里得未能激發起你少年時代的科學熱情，那你肯定不會是一個天才的科學家。由此可見，《幾何原本》對人們理性推演能力的影響，即對人的科學思想的影響是何等巨大。在高等數學中，有正交的概念，最早的概念起源應該是畢達哥拉斯定理，我們稱之為勾股定理，只是勾3股4弦5是一種特例，而畢氏定理對任意直角三角形都成立。並由畢氏定理，發現了無理數根號2。在數學方法上初步涉及演繹法，又在證明命題時用了歸謬法(即反證法)。可能由於受丟番圖(Diophantus)對一個平方數分成兩個平方數整數解的啟發，350多年前，法國數學家費馬提出了著名的費馬大定理，吸引了歷代數學家為它的證明付出了巨大的努力，有力地推動了數論用至整個數學的進步。1994年，這一曠世難題被英國數學家安德魯威樂斯解決。
多少年來，千千萬萬人(著名的有牛頓(Newton)、阿基米德(Archimedes)等)通過歐幾里得幾何的學習受到了邏輯的訓練，從而邁入科學的殿堂。
公理化結構是近代數學的主要特徵。而《原本》是完成公理化結構的最早典範，它產生於兩千多年前，這是難能可貴的。不過用現代的標準去衡量，也有不少缺點。首先，一個公理系統都有若干原始概念，或稱不定義概念，作為其他概念定義的基礎。點、線、面就屬於這一類。而在《原本》中一一給出定義，這些定義本身就是含混不清的。其次是公理系統不完備，沒有運動、順序、連續性等公理，所以許多證明不得不借助於直觀。此外，有的公理不是獨立的，即可以由別的公理推出。這些缺陷直到1899年希爾伯特(Hilbert)的《幾何基礎》出版才得到了補救。儘管如此，畢竟瑕不掩瑜，《原本》開創了數學公理化的正確道路，對整個數學發展的影響，超過了歷史上任何其他著作。
《原本》的兩個理論支柱――比例論和窮竭法。為了論述相似形的理論，歐幾里得安排了比例論，引用了歐多克索斯的比例論。這個理論是無比的成功，它避開了無理數，而建立了可公度與不可公度的正確的比例論，因而順利地建立了相似形的理論。在幾何發展的歷史上，解決曲邊圍成的面積和曲面圍成的體積等問題，一直是人們關注的重要課題。這也是微積分最初涉及的問題。它的解決依賴於極限理論，這已是17世紀的事了。然而在古希臘於公元前三四世紀對一些重要的面積、體積問題的證明卻沒有明顯的極限過程，他們解決這些問題的理念和方法是如此的超前，並且深刻地影響着數學的發展。
化圓為方問題是古希臘數學家歐多克索斯提出的，後來以“窮竭法”而得名的方法。“窮竭法”的依據是阿基米得公理和反證法。在《幾何原本》中歐幾里得利用“窮竭法”證明了許多命題，如圓與圓的面積之比等於直徑平方比。兩球體積之比等於它們的直徑的立方比。阿基米德應用“窮竭法”更加熟練，而且技巧很高。並且用它解決了一批重要的面積和體積命題。當然，利用“窮竭法”證明命題，首先要知道命題的結論，而結論往往是由推測、判斷等確定的。阿基米德在此做了重要的工作，他在《方法》一文中闡述了發現結論的一般方法，這實際又包含了積分的思想。他在數學上的貢獻，奠定了他在數學史上的突出地位。
作圖問題的研究與終結。歐幾里得在《原本》中談了正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正十五邊形的作圖，未提及其他正多邊形的作法。可見他已嘗試着作過其他正多邊形，碰到了“不能”作出的情形。但當時還無法判斷真正的“不能作”，還是暫時找不到作圖方法。
高斯並未滿足於尋求個別正多邊形的作圖方法，他希望能找到一種判別準則，哪些正多邊形用直尺和圓規可以作出、哪些正多邊形不能作出。也就是説，他已經意識到直尺和圓規的“效能”不是萬能的，可能對某些正多邊形不能作出，而不是人們找不到作圖方法。1801年，他發現了新的研究結果，這個結果可以判斷一個正多邊形“能作”或“不能作”的準則。判斷這個問題是否可作，首先把問題化為代數方程。
然後，用代數方法來判斷。判斷的準則是：“對一個幾何量用直尺和圓規能作出的充分必要條件是：這個幾何量所對應的數能由已知量所對應的數，經有限次的加、減、乘、除及開平方而得到。”(圓周率不可能如此得到，它是超越數，還有e、劉維爾數都是超越數，我們知道，實數是不可數的，實數分為有理數和無理數，其中有理數和一部分無理數，比如根號2，是代數數，而代數數是可數的，因此實數中不可數是因為超越數的存在。雖然超越數比較多，但要判定一個數是否為超越數卻不是那麼的簡單。)至此，“三大難題”即“化圓為方、三等分角、二倍立方體”問題是用尺規不能作出的作圖題。正十七邊形可作，但其作法不易給出。高斯(Gauss)在1796年19歲時，給出了正十七邊形的尺規作圖法，並作了詳盡的討論。為了表彰他的這一發現，他去世後，在他的故鄉不倫瑞克建立的紀念碑上面刻了一個正十七邊形。
幾何中連續公理的引入。由歐氏公設、公理不能推出作圖題中“交點”存在。因為，其中沒有連續性(公理)概念。這就需要給歐氏的公理系統中添加新的公理――連續性公理。雖然19世紀之前費馬與笛卡爾已經發現解析幾何，代數有了長驅直入的進展，微積分進入了大學課堂，拓撲學和射影幾何已經出現。但是，數學家對數系理論基礎仍然是模糊的，沒有引起重視。直觀地承認了實數與直線上的點都是連續的，且一一對應。直到19世紀末葉才完滿地解決了這一重大問題。從事這一工作的學者有康託(Cantor)、戴德金(Dedekind)、皮亞諾(Peano)、希爾伯特(Hilbert)等人。
當時，康託希望用基本序列建立實數理論，代德金也深入地研究了無理數理念，他的一篇論文發表在1872年。在此之前的1858年，他給學生開設微積分時，知道實數系還沒有邏輯基礎的保證。因此，當他要證明“單調遞增有界變量序列趨向於一個極限”時，只得藉助於幾何的直觀性。
實際上，“直線上全體點是連續統”也是沒有邏輯基礎的。更沒有明確全體實數和直線全體點是一一對應這一重大關係。如，數學家波爾查奴(Bolzano)把兩個數之間至少存在一個數，認為是數的連續性。實際上，這是誤解。因為，任何兩個有理數之間一定能求到一個有理數。但是，有理數並不是數的全體。有了戴德金分割之後，人們認識至波爾查奴的説法只是數的稠密性，而不是連續性。由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀。直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續20xx多年的數學史上的第一次大危機。
原本還研究了其它許多問題，如求兩數(可推廣至任意有限數)最大公因數，數論中的素數的個數無窮多等。
也許這算不上是個謎。稍具文化修養的人都會告訴你，歐幾里德《幾何原本》是明末傳入的，它的譯者是徐光啟與利瑪竇。但究竟何時傳入，在中外科技史界卻一直是一個懸案。
著名的科技史家李約瑟在《中國科學技術史》中指出：“有理由認為，歐幾里德幾何學大約在公元1275年通過阿拉伯人第一次傳到中國，但沒有多少學者對它感興趣，即使有過一個譯本，不久也就失傳了。”這並非離奇之談，元代一位老穆斯林技術人員曾為蒙古人服務，一位受過高等教育的敍利亞景教徒愛薩曾是翰林院學士和大臣。波斯天文學家札馬魯丁曾為忽必烈設計過《萬年曆》。歐幾里德的幾何學就是通過這方面的交往帶到中國的。14世紀中期成書的《元祕書監志》卷七曾有記載：當時官方天文學家曾研究某些西方着作，其中包括兀忽烈的的《四季算法段數》15冊，這部書於1273年收入皇家書庫。“兀忽烈的”可能是“歐幾里德”的另一種音譯，“四擘”
是阿拉伯語“原本”的音譯。著名的數學史家嚴敦傑認為傳播者是納西爾·丁·土西，一位波斯著名的天文學家的。
有的外國學者認為歐幾里德《幾何原本》的任何一種阿拉伯譯本都沒有多於13冊，因為一直到文藝復興時才增輯了最後兩冊，因此對元代時就有15冊的歐幾里德的幾何學之説似難首肯。
有的史家提出原文可能仍是阿拉伯文，而中國人只譯出了書名。也有的認為演繹幾何學知識在中國傳播得這樣遲緩，以後若干世紀都看不到這種影響，説明元代顯然不存在有《幾何原本》中譯本的可能性。也有的學者提出假設：皇家天文台搞了一個譯本，可能由於它與2000年的中國數學傳統背道而馳而引不起廣泛的興趣的。
真正在中國發生影響的譯本是徐光啟和利瑪竇合譯的克拉維斯的註解本。但有的同志認為這算不上是完整意義上的歐幾里德的幾何學。因為利瑪竇老師的這個底本共十五卷，利瑪竇只譯出了前六卷，認為已達到他們用數學來籠絡人心的目的，於是沒有答應徐光啟希望全部譯完的要求。200 多年後，後九卷才由著名數學家李善蘭與美國傳教士偉烈亞力合譯完成，也就是説，直到1857年這部古希臘的數學名著才有了完整意義上的中譯本。那麼，這能否説：《幾何原本》的完整意義上的傳入中國是在近代呢?
《幾何原本》作為數學的聖經，第一部系統的數學著作，牛頓，愛因斯坦，就是以這種形式寫的《自然哲學的數學原理》和《相對論》，斯賓諾莎寫出哲學著作《倫理學》，倫理學可以作為哲學與社會科學以及心理學的接口，都是推理性很強。
幾何原本總共13卷，研究前六卷就可以了，因為後邊的都是應用前邊的理論，應用到具體的領域，無理數，立體幾何等領域，幾何原本我認為最精髓的就是合理的假設，對點線面的抽象，這樣才得以使得後面的定理成立，其中第五個公設後來還被推翻了，以點線面作為基礎，以歐幾里得工具作為工具，進行了各種幾何現象的嚴密推理，我認為這些定理成立的條件必須是在，對幾條哲學原則默許了之後，才能成立。主要是最簡單的幾何形狀，從怎麼畫出來，畫出來也是有根據的，再就是各種形狀的性質，以及各種形狀之間關係的定理，都是一步一步推理出來的。
在幾何原本後續的有阿波羅尼奧斯的《圓錐截線論》，牛頓的《自然哲學的數學原理》，算是比較系統的數學著作，也都是用歐幾里得工具進行證明的，後來的微積分工具的出現，我認為是圓周率的求解過程，無限接近的思想，才使得微積分工具產生，現代數學看似陣容豪華，可是並沒有新的工具的出現，只是對微積分工具在各個形狀上進行應用，數學主要是在空間上做文章，現在數學能幹的活看似挺多，但是也要得益於物理學的發展，數學一方面往一般性方面發展，都忘了，細想數學思想是比較沒什麼，只是腦力勞作比較大，特別是只是純數學研究，不做思想的人，很累也做不出有意義的工作。
看完二十世紀數學史，發現裏面的人的著作，我一本也不想看，太虛。
最近買了一本書，列出了古今中外有名的三十部科普作品，《幾何原本》名列第一(最早)，似乎不妥。《幾何原本》在西方的發行量僅次於《聖經》，可見其影響，但一般認為他是哲學書，譯成中文是套用古文“幾何”二字，我們的思維又將“幾何”與“算術”並列固定在了數學方面，就有了誤解，《幾何原本》稱為《原本》較為合適，“本”不是“版本”的意思。本，本質也!
當然，目前為止我還沒有看出“哲學”二字來，但其實回到古希臘時代，“一個平面上的兩條平行線永遠不相交”就是一個哲學命題，還有諸如：圓於圓的關係、三角形的性質、點和線和麪等等，仔細想想，都是哲學!你失戀啦，你就想想，你和她，一個平面上的兩條平行線，相交不了的!你不服，那就等吧!等到一天結婚了，簡單，你們是一個平面上的兩條不平行的線，不過要注意：結婚後必須合併為一條線，否則，你知道的!哲學吧!
其實大家都知道，所有的科學都來自哲學，西方人用《聖經》以“神學”解釋世界，撫慰他們有罪的心靈;用《原本》以“哲理”解釋世界，試圖説明白客觀世界的來龍去脈。自圓其説而已，不過誰也不知對不對?宇宙無限，就是無邊嘛!“無邊”之外又是什麼呢?千萬別再想啦!問老師?老師告訴你：加時間的概念。暈，加混!我的大學繪圖老師説過。他去學了半年的四維空間(加時間嘛)，半年之後，他感覺到生活在《超人》裏關犯人的平面裏，還好，他沒有瘋，不過也許他瘋了，他就會感覺到自己是生活在四維空間。愛因斯坦就是個瘋子，所以他想通了!
不説廢話了，此書值得一讀!至少可以幫助你兒子記幾條几何定理，説不定會成為一個哲學家。放心，你絕對不會成為瘋子，你沒有那麼高的智商!
公理化結構是近代數學的主要特徵。而《原本》是完成公理化結構的最早典範，它產生於兩千多年前，這是難能可貴的。不過用現代的標準去衡量，也有不少缺點。首先，一個公理系統都有若干原始概念，或稱不定義概念，作為其他概念定義的基礎。點、線、面就屬於這一類。而在《原本》中一一給出定義，這些定義本身就是含混不清的。其次是公理系統不完備，沒有運動、順序、連續性等公理，所以許多證明不得不借助於直觀。此外，有的公理不是獨立的'，即可以由別的公理推出。這些缺陷直到1899年希爾伯特(Hilbert)的《幾何基礎》出版才得到了補救。儘管如此，畢竟瑕不掩瑜，《原本》開創了數學公理化的正確道路，對整個數學發展的影響，超過了歷史上任何其他著作。
《原本》的兩個理論支柱——比例論和窮竭法。為了論述相似形的理論，歐幾里得安排了比例論，引用了歐多克索斯的比例論。這個理論是無比的成功，它避開了無理數，而建立了可公度與不可公度的正確的比例論，因而順利地建立了相似形的理論。在幾何發展的歷史上，解決曲邊圍成的面積和曲面圍成的體積等問題，一直是人們關注的重要課題。這也是微積分最初涉及的問題。它的解決依賴於極限理論，這已是17世紀的事了。然而在古希臘於公元前三四世紀對一些重要的面積、體積問題的證明卻沒有明顯的極限過程，他們解決這些問題的理念和方法是如此的超前，並且深刻地影響着數學的發展。
化圓為方問題是古希臘數學家歐多克索斯提出的，後來以“窮竭法”而得名的方法。“窮竭法”的依據是阿基米得公理和反證法。在《幾何原本》中歐幾里得利用“窮竭法”證明了許多命題，如圓與圓的面積之比等於直徑平方比。兩球體積之比等於它們的直徑的立方比。阿基米德應用“窮竭法”更加熟練，而且技巧很高。並且用它解決了一批重要的面積和體積命題。當然，利用“窮竭法”證明命題，首先要知道命題的結論，而結論往往是由推測、判斷等確定的。阿基米德在此做了重要的工作，他在《方法》一文中闡述了發現結論的一般方法，這實際又包含了積分的思想。他在數學上的貢獻，奠定了他在數學史上的突出地位。
作圖問題的研究與終結。歐幾里得在《原本》中談了正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正十五邊形的作圖，未提及其他正多邊形的作法。可見他已嘗試着作過其他正多邊形，碰到了“不能”作出的情形。但當時還無法判斷真正的“不能作”，還是暫時找不到作圖方法。
高斯並未滿足於尋求個別正多邊形的作圖方法，他希望能找到一種判別準則，哪些正多邊形用直尺和圓規可以作出、哪些正多邊形不能作出。也就是説，他已經意識到直尺和圓規的“效能”不是萬能的，可能對某些正多邊形不能作出，而不是人們找不到作圖方法。1801年，他發現了新的研究結果，這個結果可以判斷一個正多邊形“能作”或“不能作”的準則。判斷這個問題是否可作，首先把問題化為代數方程。
然後，用代數方法來判斷。判斷的準則是：“對一個幾何量用直尺和圓規能作出的充分必要條件是：這個幾何量所對應的數能由已知量所對應的數，經有限次的加、減、乘、除及開平方而得到。”(圓周率不可能如此得到，它是超越數，還有e、劉維爾數都是超越數，我們知道，實數是不可數的，實數分為有理數和無理數，其中有理數和一部分無理數，比如根號2，是代數數，而代數數是可數的，因此實數中不可數是因為超越數的存在。雖然超越數比較多，但要判定一個數是否為超越數卻不是那麼的簡單。)至此，“三大難題”即“化圓為方、三等分角、二倍立方體”問題是用尺規不能作出的作圖題。正十七邊形可作，但其作法不易給出。高斯(Gauss)在1796年19歲時，給出了正十七邊形的尺規作圖法，並作了詳盡的討論。為了表彰他的這一發現，他去世後，在他的故鄉不倫瑞克建立的紀念碑上面刻了一個正十七邊形。
幾何中連續公理的引入。由歐氏公設、公理不能推出作圖題中“交點”存在。因為，其中沒有連續性(公理)概念。這就需要給歐氏的公理系統中添加新的公理——連續性公理。雖然19世紀之前費馬與笛卡爾已經發現解析幾何，代數有了長驅直入的進展，微積分進入了大學課堂，拓撲學和射影幾何已經出現。但是，數學家對數系理論基礎仍然是模糊的，沒有引起重視。直觀地承認了實數與直線上的點都是連續的，且一一對應。直到19世紀末葉才完滿地解決了這一重大問題。從事這一工作的學者有康託(Cantor)、戴德金(Dedekind)、皮亞諾(Peano)、希爾伯特(Hilbert)等人。
當時，康託希望用基本序列建立實數理論，代德金也深入地研究了無理數理念，他的一篇論文發表在1872年。在此之前的1858年，他給學生開設微積分時，知道實數系還沒有邏輯基礎的保證。因此，當他要證明“單調遞增有界變量序列趨向於一個極限”時，只得藉助於幾何的直觀性。
實際上，“直線上全體點是連續統”也是沒有邏輯基礎的。更沒有明確全體實數和直線全體點是一一對應這一重大關係。如，數學家波爾查奴(Bolzano)把兩個數之間至少存在一個數，認為是數的連續性。實際上，這是誤解。因為，任何兩個有理數之間一定能求到一個有理數。但是，有理數並不是數的全體。有了戴德金分割之後，人們認識至波爾查奴的説法只是數的稠密性，而不是連續性。由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀。直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。
《原本》還研究了其它許多問題，如求兩數(可推廣至任意有限數)最大公因數，數論中的素數的個數無窮多等。
在高等數學中，有正交的概念，最早的概念起源應該是畢達哥拉斯定理，我們稱之為勾股定理，只是勾3股4弦5是一種特例，而畢氏定理對任意直角三角形都成立。並由畢氏定理，發現了無理數根號2。在數學方法上初步涉及演繹法，又在證明命題時用了歸謬法(即反證法)。可能由於受丟番圖(Diophantus)對一個平方數分成兩個平方數整數解的啟發，350多年前，法國數學家費馬提出了著名的費馬大定理，吸引了歷代數學家為它的證明付出了巨大的努力，有力地推動了數論用至整個數學的進步。1994年，這一曠世難題被英國數學家安德魯威樂斯解決。
多少年來，千千萬萬人(著名的有牛頓(Newton)、阿基米德(Archimedes)等)通過歐幾里得幾何的學習受到了邏輯的訓練，從而邁入科學的殿堂。
使用最久的數學教科書--《幾何原本》
<幾何原本>(The Elements)由希臘數學家歐幾里得(Euclid,公元前330年～公元前275年)所著,是用公理方法建立演繹數學體系的最早典範.是至今流傳最廣、影響最大的.一部世界數學名著.
作 者：劉軍 ?作者單位：江蘇省大豐市第四中學,224100?刊 名：中學數學雜誌(國中版)?英文刊名：ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(CHUZHONGBAN)?年，卷(期)：2004?""(4)?分類號：?關鍵詞：?歐幾里得《幾何原本》的中譯及其意義
一 愛因斯坦的片面論斷 關於歐幾里得幾何學與中國的'關係,1953年愛因斯坦在給美國加州斯威策(er)的一封信中有這樣一段話:
作 者：席澤宗 ?作者單位：中國科學院自然科學史研究所?刊 名：科學文化評論?英文刊名：SCIENCE & CULTURE REVIEW?年，卷(期)：2008?5(2)?分類號：H0?關鍵詞：?
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