大學聯考數學柯西不等式知識點總結精彩多篇

大學聯考數學柯西不等式知識點 篇一

所謂柯西不等式是指:設ai，bi∈R（i=1，2…，n，），則(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等號當且僅當==…=時成立。

柯西不等式證法:

柯西不等式的一般證法有以下幾種：

（1）柯西不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai， bi，則有 （∑ai^2） * （∑bi^2） ≥ （∑ai *bi）^2.

我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = （∑bi^2） * x^2 + 2 * （∑ai * bi） * x + （∑ai^2）

則我們知道恆有 f(x) ≥ 0.

用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi）^2 - 4 * （∑ai^2） * （∑bi^2） ≤ 0.

於是移項得到結論。

（2）用向量來證。

m=(a1，a2.。.。.。an) n=(b1，b2.。.。.。bn)

mn=a1b1+a2b2+。.。.。.+anbn=(a1^2+a2^2+。.。.。.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+。.。.。.+bn^2)^(1/2)乘以cosX.

因為cosX小於等於1，所以：a1b1+a2b2+。.。.。.+anbn小於等於a1^2+a2^2+。.。.。.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+。.。.。+bn^2)^(1/2)

這就證明了不等式。

柯西不等式還有很多種，這裡只取兩種較常用的證法。

柯西不等式應用:

可在證明不等式，解三角形相關問題，求函式最值，解方程等問題的方面得到應用。

巧拆常數：

例：設a、b、c 為正數且各不相等。

求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

分析：∵a 、b 、c 均為正數

∴為證結論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又 9=(1+1+1)(1+1+1)

證明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9

又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立

∴原不等式成立。

像這樣的例子還有很多，詞條裡不再一一列舉，大家可以在參考資料裡找到柯西不等式的證明及應用的具體文獻。

柯西簡介:

1789年8月21日生於巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動盪的政治漩渦中一直擔任公職。由於家庭的原因，柯西本人屬於擁護波旁王朝的正統派，是一位虔誠的天主教徒。

他在純數學和應用數學的功力是相當深厚的，很多數學的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。.。在數學寫作上，他是被認為在數量上僅次於尤拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經典之作，不過並不是他所有的創作質量都很高，因此他還曾被人批評高產而輕率，這點倒是與數學王子相反，據說，法國科學院''會刊''創刊的時候，由於柯西的作品實在太多，以致於科學院要負擔很大的印刷費用，超出科學院的預算，因此，科學院後來規定論文最長的只能夠到四頁，所以，柯西較長的論文只得投稿到其他地方。

柯西在代數學、幾何學、誤差理論以及天體力學、光學、彈性力學諸方面都有出色的工作。特別是，他弄清了彈性理論的基本數學結構，為彈性力學奠定了嚴格的理論基礎。

大學聯考數學得分技巧 篇二

在三門主科中，只有數學最容易拉開距離，也最為同學、家長所關心。由於大學聯考的特殊性，有些同學在考試開始的前5分鐘就已亂了方寸，導致誰都不希望的結果。

1、做好前面5個小題。不要小看這幾個小題，對穩定情緒，鼓舞士氣有很大作用。有些同學就是由於前面個別小題做得不順，影響整個考試情緒。而一旦前面發揮得好，會感到一路順手，所向披靡。

2、認真審題。由於前面題目簡單，想抓緊時間做完，以便騰出時間做後面的難題，結果把題目看錯了，非常可惜。如2000年上海卷第1題就有不少同學犯這種低階錯誤。

3、確實遇到暫時不會做的題目，可以放一放，但很多同學做不到。擔心前面就有不會做，後面肯定更難，從而心慌手抖，頭腦一片空白。

要知道難易對大家都一樣，你不會別人可能也不會。遇到暫時不會做的題目要敢於“合理放棄”，必要時你可以抬頭看看，周圍的人還在做這道難題，讓他們浪費時間吧，我去做會做的題目。這種心理暗示會減少你的壓力，等會做的做完了，狀態很好，勢如破竹，再回過來，有時一看就會了，這就能使你出色發揮。

4、對多數同學而言，最後兩題的最後一問是“用不著”做的，如果前面不細心失誤而把時間放攻難題上是得不償失，犯了策略性錯誤。

5、心理素質不太好的同學，不一定要先看整個試卷，因為遇到難題會緊張。

大學聯考數學柯西不等式知識點 篇三

一、一般形式

（∑（ai））（∑（bi）） ≥ （∑ai·bi）

等號成立條件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均為零。

一般形式的證明

（∑（ai^2））（∑（bi^2）） ≥ （∑ai·bi） ^2

證明：

等式左邊=(ai·bj+aj·bi)+。.。.。.。.。.。.。.。.。.。. 共n2 /2項

等式右邊=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+。.。.。.。.。.。.。.。.。.。共n2 /2項

用均值不等式容易證明 等式左邊≥等式右邊 得證

二、向量形式

|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，。.。，bn)(n∈N，n≥2)

等號成立條件：β為零向量，或α=λβ（λ∈R）。

向量形式的證明

令m=(a1，a2，…，an)，n=(b1，b2，…，bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m，n>=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos<m，n> ∵cos<m，n>≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) 注：“√”表示平方根。