(1)公約數和最大公約數
幾個數公有的約數,叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個,叫做這幾個數的最大公約數。
例如:4是12和16的。最大公約數,可記做:(12 ,16)=4
(2)公倍數和最小公倍數
幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。
例如:36是12和18的最小公倍數,記作[12,18]=36。
(3)最大公約數和最小公倍數的關係
如果用a和b表示兩個自然數
1、那麼這兩個自然數的最大公約數與最小公倍數關係是:
(a,b)×[a,b]=a×b。
(多用於求最小公倍數)
2、(a,b) ≤ a ,b ≤ [a,b]
3、[a,b]是(a,b)的倍數,(a,b)是[a,b]的約數
4、(a,b)是a+b 和a-b 的約數,也是(a,b)+[a,b]和(a,b)-[a,b]的約數
(4)求最大公約數的方法很多,主要:短除法、分解質因數法、輾轉相除法。
例如:
1、(短除法)用一個數去除30、60、75,都能整除,這個數最大是多少?
解:∵
(30,60,75)=5×3=15
這個數最大是15。
2、(分解質因數法)求1001和308的最大公約數是多少?
解:1001=7×11×13(這個質分解常用到) , 308=7×11×4
所以最大公約數是7×11=77
在這種方法中,先將數進行質分解,而後取它們“所有共有的質因數之積”便是最大公約數。
3、(輾轉相除法)用輾轉相除法求4811和1981的最大公約數。
解:∵4811=2×1981+849,
1981=2×849+283,
849=3×283,
∴(4811,1981)=283。
補充說明:如果要求三個或更多的數的最大公約數,可以先求其中任意兩個數的最大公約數,再求這個公約數與另外一個數的最大公約數,這樣求下去,直至求得最後結果。
(5)約數個數公式
一個合數的約數個數,等於它的質因數分解式中每個質因數的個數(即指數)加1的連乘的積。
例如:求240的約數的個數。
解:∵240=24×31×51,
∴240的約數的個數是
(4+1)×(1+1)×(1+1)=20,
∴240有20個約數。
約數和倍數:若整數a能夠被b整除,a叫做b的倍數,b就叫做a的約數。
公約數:幾個數公有的約數,叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個,叫做這幾個數的最大公約數。
最大公約數的性質:
1、幾個數都除以它們的最大公約數,所得的幾個商是互質數。
2、幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。
3、幾個數的公約數,都是這幾個數的最大公約數的約數。
4、幾個數都乘以一個自然數m,所得的積的最大公約數等於這幾個數的最大公約數乘以m。
例如:12的約數有1、2、3、4、6、12;
18的約數有:1、2、3、6、9、18;
那麼12和18的公約數有:1、2、3、6;
那麼12和18最大的公約數是:6,記作(12,18)=6;
求最大公約數基本方法:
1、分解質因數法:先分解質因數,然後把相同的因數連乘起來。
2、短除法:先找公有的約數,然後相乘。
3、輾轉相除法:每一次都用除數和餘數相除,能夠整除的那個餘數,就是所求的最大公約數。
公倍數:幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。
12的倍數有:12、24、36、48……;
18的倍數有:18、36、54、72……;
那麼12和18的公倍數有:36、72、108……;
那麼12和18最小的公倍數是36,記作[12,18]=36;
最小公倍數的性質:
1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。
2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等於這兩個數的乘積。
求最小公倍數基本方法:
1、短除法求最小公倍數;
2、分解質因數的方法
最小公倍數(Least Common Multiple,縮寫L.C.M.),是數論中的一個概念。兩個整數公有的倍數稱為它們的公倍數,其中最小的一個正整數稱為它們兩個的最小公倍數。如果有一個自然數a能被自然數b整除,則稱a為b的倍數,b為a的約數,對於兩個整數來說,指該兩數共有倍數中最小的一個。計算最小公倍數時,通常會藉助最大公約數來輔助計算。
基本定義幾個數共有的倍數叫做這幾個數的公倍數,其中除0以外最小的一個公倍數,叫做這幾個數的最小公倍數。自然數a、b的最小公倍數可以記作[a,b],自然數a、b的最大公因數可以記作(a、b),當(a、b)=1時,[a、b]= a×b。
如果兩個數是倍數關係,則它們的最小公倍數就是較大的數,相鄰的兩個自然數的最小公倍數是它們的乘積。
最小公倍數=兩數的乘積/最大公約(因)數, 解題時要避免和最大公約(因)數問題混淆。
最小公倍數的適用範圍:分數的加減法,中國剩餘定理(正確的題在最小公倍數內有解,有唯一的解)。
因為,素數是不能被1和自身數以外的其它數整除的數;素數X的N次方,是隻能被X的N-1以下次方,1和自身數整除。
所以,在求A,B,C,D,E,…,Z的最小公倍數時,只需要把這些數分解為素數的N次方之間的乘積後,取各素因子的最高次方的乘積,就是這些數的最小公倍數。