七上第三章 整式及其加減
1.字母表示數
1)字母表示運算律 2)字母表示計算公式
字母可以表示任何數
2.代數式
1)概念:像4+3(x-1),x+x+(x+1),a+b,ab,2(+n),s/t 等式子都是代數式,單獨一個數或一個字母也是代數式,如-5,a,b等。
2)書寫要求:①字母與字母相乘時,乘號通常簡寫作“ ”或省略不寫;數字與字母相乘時,數字在前;帶分數與字母相乘時,應先把帶分數化成假分數後再與字母相乘;數字與數字相乘仍用“×”。
②除法一般寫成分數形式
③ 如果代數式是積或商的形式,單位直接寫在後面;如果是和或差的形式,必須先把代數式用括號括起來再寫單位。
3.整式
1)單項式:表示數字和字母的積,單獨的一個數或一個字母也是單項式。
① 係數:單項式中的數字因數(包括其前面的符號)
② 次數:單項式中,所有字母的指數的和;單獨的數字是0次單項式。
注意:(1)單項式中數與字母之間都是乘積關係,凡字母出現在分母中的式子一定不是單項式,如1/x不是單項式;(2)單項式中不含加減運算;(3)π是常數,在單項式中相當於數字因數;(4)定義中的“數”可以是小數,也可以是分數、整數。
2)多項式:幾個單項式的和;在多項式中,每個單項式叫做多項式的項,不含字母的項叫常數項;一個多項式含有幾項,就叫幾項式;
次數: 多項式裡,次數最高項的次數,是多項式的次數;
注意:(1)確定多項式的項時,不要忽略它的符號;(2)關於某個字母的n次項式,要求是合併同類項後的最簡多項式。
3) 整式:單項式和多項式統稱為整式。
4)同類項:① 概念:所含字母相同,並且相同字母的指數也相同的項;與它們的係數大小無關,與字母順序無關;幾個常數也是同類項。
②合併同類項法則:同類項的係數相加,所得結果作為係數,字母和字母的指數不變。
4.整式的加減:
1)整式加減是求幾個整式的和或差的運算,其實質是去括號,合併同類項
2)法則:幾個整式相加減,用括號把每一個整式括起來,再用加減號連線,然後去括號,合併同類項。
3)化簡求值:一是相加減化簡,二是用具體數值代替整式中的字母,三是按式子的運算關係計算,計算其結果。
5、探索與表達規律:圖形中的 規律、數字中的規律、算式中的規律。
1.有理數:
(1)凡能寫成形式的數,都是有理數。正整數、0、負整數統稱整數;正分數、負分數統稱分數;整數和分數統稱有理數。注意:0即不是正數,也不是負數;-a不一定是負數,+a也不一定是正數;不是有理數;
(2)有理數的分類:①②
(3)注意:有理數中,1、0、-1是三個特殊的數,它們有自己的特性;這三個數把數軸上的數分成四個區域,這四個區域的數也有自己的特性;
(4)自然數0和正整數;a>0a是正數;a<0a是負數;
a≥0a是正數或0a是非負數;a≤0a是負數或0a是非正數。
2.數軸:數軸是規定了原點、正方向、單位長度的一條直線。
3.相反數:
(1)只有符號不同的兩個數,我們說其中一個是另一個的相反數;0的相反數還是0;
(2)注意:a-b+c的相反數是-a+b-c;a-b的相反數是b-a;a+b的相反數是-a-b;
(3)相反數的和為0a+b=0a、b互為相反數。
4、絕對值:
(1)正數的絕對值是其本身,0的絕對值是0,負數的絕對值是它的相反數;注意:絕對值的意義是數軸上表示某數的點離開原點的距離;
(2)絕對值可表示為:或;絕對值的問題經常分類討論;
(3);;
(4)|a|是重要的非負數,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a·b|,。
5.有理數比大小:
(1)正數的絕對值越大,這個數越大;
(2)正數永遠比0大,負數永遠比0小;
(3)正數大於一切負數;
(4)兩個負數比大小,絕對值大的反而小;
(5)數軸上的兩個數,右邊的數總比左邊的數大;
(6)大數-小數>0,小數-大數<0.
6.互為倒數:乘積為1的兩個數互為倒數;注意:0沒有倒數;若a≠0,那麼的倒數是;倒數是本身的數是±1;若ab=1a、b互為倒數;若ab=-1a、b互為負倒數。
7.有理數加法法則:
(1)同號兩數相加,取相同的符號,並把絕對值相加;
(2)異號兩數相加,取絕對值較大的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值;
(3)一個數與0相加,仍得這個數。
8.有理數加法的運算律:
(1)加法的交換律:a+b=b+a;(2)加法的結合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
9.有理數減法法則:減去一個數,等於加上這個數的相反數;即a-b=a+(-b)。
10有理數乘法法則:
(1)兩數相乘,同號為正,異號為負,並把絕對值相乘;
(2)任何數同零相乘都得零;
(3)幾個數相乘,有一個因式為零,積為零;各個因式都不為零,積的符號由負因式的個數決定。
11有理數乘法的運算律:
(1)乘法的交換律:ab=ba;(2)乘法的結合律:(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac.
12.有理數除法法則:除以一個數等於乘以這個數的倒數;注意:零不能做除數,。
13.有理數乘方的法則:
(1)正數的任何次冪都是正數;
(2)負數的奇次冪是負數;負數的偶次冪是正數;注意:當n為正奇數時:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,當n為正偶數時:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.
14.乘方的定義:
(1)求相同因式積的運算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底數,相同因式的個數叫做指數,乘方的結果叫做冪;
(3)a2是重要的非負數,即a2≥0;若a2+|b|=0a=0,b=0;
(4)據規律底數的小數點移動一位,平方數的小數點移動二位。
15.科學記數法:把一個大於10的數記成a×10n的形式,其中a是整數數位只有一位的數,這種記數法叫科學記數法。
16.近似數的精確位:一個近似數,四捨五入到那一位,就說這個近似數的精確到那一位。
17.有效數字:從左邊第一個不為零的數字起,到精確的位數止,所有數字,都叫這個近似數的有效數字。
18.混合運演算法則:先乘方,後乘除,最後加減;注意:怎樣算簡單,怎樣算準確,是數學計算的最重要的原則。
19.特殊值法:是用符合題目要求的數代入,並驗證題設成立而進行猜想的一種方法,但不能用於證明。
第一章
1.1 正數與負數
在以前學過的0以外的數前面加上負號“-”的數叫負數(negative number)。
與負數具有相反意義,即以前學過的0以外的數叫做正數(positive number)(根據需要,有時在正數前面也加上“+”)。
1.2 有理數
正整數、0、負整數統稱整數(integer),正分數和負分數統稱分數(fraction)。
整數和分數統稱有理數(rational number)。
通常用一條直線上的點表示數,這條直線叫數軸(number axis)。
數軸三要素:原點、正方向、單位長度。
在直線上任取一個點表示數0,這個點叫做原點(origin)。
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數(opposite number)。(例:2的相反數是-2;0的相反數是0)
數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值(absolute value),記作|a|。
一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。兩個負數,絕對值大的反而小。
1.3 有理數的加減法
有理數加法法則:
1、同號兩數相加,取相同的符號,並把絕對值相加。
2、絕對值不相等的異號兩數相加,取絕對值較大的加數的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。
3、一個數同0相加,仍得這個數。
有理數減法法則:減去一個數,等於加這個數的相反數。
1.4 有理數的乘除法
有理數乘法法則:兩數相乘,同號得正,異號得負,並把絕對值相乘。任何數同0相乘,都得0。
乘積是1的兩個數互為倒數。
有理數除法法則:除以一個不等於0的數,等於乘這個數的倒數。
兩數相除,同號得正,異號得負,並把絕對值相除。0除以任何一個不等於0的數,都得0。 mì
求n個相同因數的積的運算,叫乘方,乘方的結果叫冪(power)。在a的n次方中,a叫做底數(base number),n叫做指數(exponent)。
負數的奇次冪是負數,負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數,0的任何次冪都是0。
把一個大於10的數表示成a×10的n次方的形式,使用的就是科學計數法。
從一個數的左邊第一個非0數字起,到末位數字止,所有數字都是這個數的有效數字(significant digit)。
第二章 一元一次方程
2.1 從算式到方程
方程是含有未知數的等式。
方程都只含有一個未知數(元)x,未知數x的指數都是1(次),這樣的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。
解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值,這個值就是方程的解(solution)。
等式的性質:
1、等式兩邊加(或減)同一個數(或式子),結果仍相等。
2、等式兩邊乘同一個數,或除以同一個不為0的數,結果仍相等。
2.2 從古老的代數書說起--一元一次方程的討論(1)
把等式一邊的某項變號後移到另一邊,叫做移項。
第三章 圖形認識初步
3.1 多姿多彩的圖形
幾何體也簡稱體(solid)。包圍著體的是面(surface)。
3.2 直線、射線、線段
線段公理:兩點的所有連線中,線段做短(兩點之間,線段最短)。
連線兩點間的線段的長度,叫做這兩點的距離。
3.3 角的度量
1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度
3.4 角的比較與運算
如果兩個角的和等於90度(直角),就說這兩個叫互為餘角(compiementary angle),即其中每一個角是另一個角的餘角。
如果兩個角的和等於180度(平角),就說這兩個叫互為補角(supplementary angle),即其中每一個角是另一個角的補角。
等角(同角)的補角相等。
等角(同角)的餘角相等。