從一個角的頂點引出一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的角平分線(bisectorofangle)。三角形三個角平分線的交點叫做內心。
角平分線的性質
1、角平分線上的一點到角的兩邊距離相等。2.角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。(逆運用)三角形頂點到其內角的角平分線交對邊的點連的一條線段,叫三角形的角平分線。三角形的角平分線不是角的平分線:一個是線段,一個是射線。三角形角平分線有個有趣的性質:三角形ABC中角A的平分線為AD,則AB:AC=BD:CD.三角形的三條角平分線相交於一點,該點為三角形的內心,且內心到三條邊的距離相等。
3、角平分線是到角兩邊距離相等的所有點的集合。
中線
連線一個頂點與它對邊中點的線段,叫做三角形的中線。中線的交點為重心,重心分中線2:1(頂點到重心:重心到對邊中點)。中線:三角形中,連結一個頂點和它所對邊的中點的連線段叫做三角形的中線。中線也是線段,一個三角形有3條中線。在一個角為30°直角三角形中。60°角所對應的邊上的中線為斜邊的一半。在一個三角形中,其一短邊為斜邊的一半,且這個三角形為30°的直角三角行,那麼,60°角所對的邊上的中線在此三角形中有三個等量。
圖形變換的簡單應用
考點一、平移(3~5分)
1、定義
把一個圖形整體沿某一方向移動,會得到一個新的圖形,新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同,圖形的這種移動叫做平移變換,簡稱平移。
2、性質
(1)平移不改變圖形的大小和形狀,但圖形上的每個點都沿同一方向進行了移動
(2)連線各組對應點的線段平行(或在同一直線上)且相等。
考點二、軸對稱(3~5分)
1、定義
把一個圖形沿著某條直線摺疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那麼就說這兩個圖形關於這條直線成軸對稱,該直線叫做對稱軸。
2、性質
(1)關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形。
(2)如果兩個圖形關於某直線對稱,那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線。
(3)兩個圖形關於某直線對稱,如果它們的對應線段或延長線相交,那麼交點在對稱軸上。
3、判定
如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那麼這兩個圖形關於這條直線對稱。
4、軸對稱圖形
把一個圖形沿著某條直線摺疊,如果直線兩旁的部分能夠互相重合,那麼這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線就是它的對稱軸。
考點三、旋轉(3~8分)
1、定義
把一個圖形繞某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉,其中O叫做旋轉中心,轉動的角叫做旋轉角。
2、性質
(1)對應點到旋轉中心的距離相等。
(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角。
考點四、中心對稱(3分)
1、定義
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果旋轉後的圖形能夠和原來的圖形互相重合,那麼這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。
2、性質
(1)關於中心對稱的兩個圖形是全等形。
(2)關於中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經過對稱中心,並且被對稱中心平分。
(3)關於中心對稱的兩個圖形,對應線段平行(或在同一直線上)且相等。
3、判定
如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點,並且被這一點平分,那麼這兩個圖形關於這一點對稱。
4、中心對稱圖形
把一個圖形繞某一個點旋轉180°,如果旋轉後的圖形能夠和原來的圖形互相重合,那麼這個圖形叫做中心對稱圖形,這個店就是它的對稱中心。
考點五、座標系中對稱點的特徵(3分)
1、關於原點對稱的點的特徵
兩個點關於原點對稱時,它們的座標的符號相反,即點P(x,y)關於原點的對稱點為P’(-x,-y)
2、關於x軸對稱的點的特徵
兩個點關於x軸對稱時,它們的座標中,x相等,y的符號相反,即點P(x,y)關於x軸的對稱點為P’(x,-y)
3、關於y軸對稱的點的特徵
兩個點關於y軸對稱時,它們的座標中,y相等,x的符號相反,即點P(x,y)關於y軸的對稱點為P’(-x,y)
一、知識總結
(一)平方根與立方根
1、平方根
(1)定義:一般地,如果一個數的平方等於a,那麼這個數叫做a的平方根,也叫做二次方根。
(2)表示:非負數a的平方根記作± ,讀作“正負根號a”,(a叫做被開方數)
(3)性質:正數的平方根有兩個,且互為相反數;0的平方根為0;負數的沒有平方根。
(4)開平方:求平方根的運算叫做開平方。
Ⅰ、平方根是開平方的結果;Ⅱ、開平方與平方互為逆運算。
2、算術平方根
(1)定義:正數a的正的平方根a叫做a的算術平方根,0的算術平方根是0。
(2)性質:(1)一個數a的算術平方根具有非負性; 即:a≥0恆成立。
(2)正數的算術平方根只有1個,且為正數;0的算術平方根是0; 負數的沒有算術平方根。
3、立方根:
(1)定義:一般地,如果一個數的立方等於a,那麼這個數叫做a的立方根,也叫做三次方根。
(2)表示:a的立方根記作a,讀作“三次根號a”(a叫做被開方數,3叫根指數)
(3)性質:正數的立方根是1個正數;負數的立方根是1個負數;0的立方根是0。
(二)實數
1、無理數:無限不迴圈的小數。(一個無理數與若干有理數之間的運算結果還是無理數)
2、實數:有理數和無理數統稱為實數。
3、實數分類:
(1)按定義分(略)
(2)按正負性分(略)
4、實數與數軸上的點一一對應。
5、實數的相反數、絕對值、倒數:(與有理數的相反數、絕對值、倒數意義類似)
6、實數的運算:實數與有理數一樣,可以進行加、減、乘、除、乘方運算,正數及零可以進行開平方運算,任意一個實數可以進行開立方運算,而且有理數的運演算法則和運算律對於實數仍然適用。
7、實數大小:(1)正數>0 >負數;
(2)兩個負數相比,絕對值大的反而小;絕對值小的反而大。
(3)數軸上不同的點表示的數,右邊點表示的數總比左邊的點表示的數大。 實數比較大小的方法:作差法、平方法、作商法、倒數法、估值法
第七章 一元一次不等式與不等式組
一、知識總結
(一)不等式及其性質
1、不等式:
(1)定義用“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)等不等號表示大小關係的式子,叫做不等式用“≠”表示不等關係的式子也是不等式。
(2)不等式的解:能使不等式成立的未知數的值,叫做不等式的解。
(3)不等式的解集:一般地,一個含有未知數的不等式的所有解,組成這個不等式的解集。求不等式的解集的過程叫做解不等式。
不等式的解集與不等式的解的區別:解集是能使不等式成立的未知數的取值範圍,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知數的值。
二者的關係是:解集包括解,所有的解組成了解集。
(4)解不等式:求不等式解的過程叫做解不等式。
2、不等式的基本性質
性質1:不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變。 即:如果a?b,那麼a?c?b?c.
性質2:不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個正數,不等號的方向不變。 即:如果a?b,並且c?0,那麼ac?bc;ab?。 cc
性質3:不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個負數,不等號的方向改變。 即:如果a?b,並且c?0,那麼ac?bc;ab?。 cc
性質4:如果a?b,那麼b?a.(對稱性)
性質5:如果a?b,b?c,那麼a?c.(傳遞性)
(二)一元一次不等式
1、定義:含有一個未知數,未知數的次數是1,且不等號兩邊都是整式的不等式, 叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法:
根據是不等式的`基本性質;一般步驟為:
(1)去分母;
(2)去括號;
(3)移項;
(4)合併同類項;
(5)係數化為1.
解不等式應注意:
①去分母時,每一項都要乘同一個數,尤其不要漏乘常數項;
②移項時不要忘記變號;
③去括號時,若括號前面是負號,括號裡的每一項都要變號;
④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數時,不等號的方向要改變。
3、不等式的解集在數軸上表示:
(1)邊界:有等號的是實心圓圈,無等號的是空心圓圈;
(2)方向:大向右,小向左
(三)一元一次不等式組
1、定義:有幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式組
2、(一元一次)不等式組的解集:這幾個不等式解集的公共部分,叫做這個(一元一次)不等式組的解集。
3、解不等式組:求不等式組解集的過程,叫做解不等式組。
4、一元一次不等式組的解法
1)分別求出不等式組中各個不等式的解集
2)利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分,即這個不等式組的解集。
(四)一元一次不等式(組)解決實際問題
解題的步驟:
⑴審題,找出不等關係→ ⑵設未知數→ ⑶列出不等式(組)→
⑷求出不等式的解集→ ⑸找出符合題意的值→ ⑹作答。
一、同底數冪的乘法
(m,n都是整數)是冪的運算中最基本的法則,在應用法則運算時,要注意以下幾點:
a)法則使用的前提條件是:冪的底數相同而且是相乘時,底數a可以是一個具體的數字式字母,也可以是一個單項或多項式;
b)指數是1時,不要誤以為沒有指數;
c)不要將同底數冪的乘法與整式的加法相混淆,對乘法,只要底數相同指數就可以相加;而對於加法,不僅底數相同,還要求指數相同才能相加;
二、冪的乘方與積的乘方
三、同底數冪的除法
(1)運用法則的前提是底數相同,只有底數相同,才能用此法則
(2)底數可以是具體的數,也可以是單項式或多項式
(3)指數相減指的是被除式的指數減去除式的指數,要求差不為負
四、整式的乘法
1、單項式的概念:由數與字母的乘積構成的代數式叫做單項式。單獨的一個數或一個字母也是單項式。單項式的數字因數叫做單項式的係數,所有字母指數和叫單項式的次數。
如:bca22-的係數為2-,次數為4,單獨的一個非零數的次數是0。
2、多項式:幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項,次數項的次數叫多項式的次數。
五、平方差公式
表示式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2,兩個數的和與這兩個數差的積,等於這兩個數的平方差,這個公式就叫做乘法的平方差公式
公式運用
可用於某些分母含有根號的分式:
1/(3-4倍根號2)化簡:
六、完全平方公式
完全平方公式中常見錯誤有:
①漏下了一次項
②混淆公式
③運算結果中符號錯誤
④變式應用難於掌握。
七、整式的除法
1、單項式的除法法則
單項式相除,把係數、同底數冪分別相除,作為商的因式,對於只在被除式裡含有的字母,則連同它的指數作為商的一個因式。
注意:首先確定結果的係數(即係數相除),然後同底數冪相除,如果只在被除式裡含有的字母,則連同它的指數作為商的一個因式。
圖形初步認識
概念、定義:
1、我們把實物中抽象的各種圖形統稱為幾何圖形(geometricfigure)。
2、有些幾何圖形(如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等)的各部分不都在同一平面內,它們是立體圖形(solidfigure)。
3、有些幾何圖形(如線段、角、三角形、長方形、圓等)的各部分都在同一平面內,它們是平面圖形(planefigure)。
4、將由平面圖形圍成的立體圖形表面適當剪開,可以展開成平面圖形,這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖(net)。
5、幾何體簡稱為體(solid)。
6、包圍著體的是面(surface),面有平的面和曲的面兩種。
7、面與面相交的地方形成線(line),線和線相交的地方是點(point)。
8、點動成面,面動成線,線動成體。
9、經過探究可以得到一個基本事實:經過兩點有一條直線,並且只有一條直線。
簡述為:兩點確定一條直線(公理)。
10、當兩條不同的直線有一個公共點時,我們就稱這兩條直線相交(intersection),這個公共點叫做它們的交點(pointofintersection)。
11、點M把線段AB分成相等的兩條線段AM和MB,點M叫做線段AB的中點(center)。
12、經過比較,我們可以得到一個關於線段的基本事實:兩點的所有連線中,線段最短。簡單說成:兩點之間,線段最短。(公理)
13、連線兩點間的線段的長度,叫做這兩點的距離(distance)。
14、角∠(angle)也是一種基本的幾何圖形。
15、把一個周角360等分,每一份就是1度(degree)的角,記作1°;把一度的角60等分,每一份叫做1分的角,記作1′;把1分的`角60等分,每一份叫做1秒的角,記作1″。
16、從一個角的頂點出發,把這個角分成相等的兩個角的射線,叫做這個角的平分線(angularbisector)。
17、如果兩個角的和等於90°(直角),就是說這兩個叫互為餘角(complementary
angle),即其中的每一個角是另一個角的餘角。
18、如果兩個角的和等於180°(平角),就說這兩個角互為補角(supplementary
angle),即其中一個角是另一個角的補角
19、等角的補角相等,等角的餘角相等。