目錄
第一篇:敘述並證明餘弦定理第二篇:餘弦定理證明過程第三篇:餘弦定理及其證明第四篇:餘弦定理證明第五篇:餘弦定理證明過程更多相關範文正文
第一篇:敘述並證明餘弦定理
敘述並證明餘弦定理
餘弦定理(第二餘弦定理)餘弦定理是揭示三角形邊角關係的重要定理,直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題,若對餘弦定理加以變形並適當移於其它知識,則使用起來更為方便、靈活。
直角三角形的一個銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個銳角的餘弦值
編輯本段餘弦定理性質
對於任意三角形,任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的兩倍積,若三邊為a,b,c三角為a,b,c,則滿足性質——
a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosa
b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosb
c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosc
cosc=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)
cosb=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)
cosa=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)
(物理力學方面的平行四邊形定則中也會用到)
第一餘弦定理(任意三角形射影定理)
設△abc的三邊是a、b、c,它們所對的角分別是a、b、c,則有
a=b·cosc+c·cosb,b=c·cosa+a·cosc,c=a·cosb+b·cosa。
編輯本段餘弦定理證明
平面向量證法
∵如圖,有a+b=c(平行四邊形定則:兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|cos(π-θ)
(以上粗體字元表示向量)
又∵cos(π-θ)=-cosθ
∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意:這裡用到了三角函式公式)
再拆開,得c2=a2+b2-2*a*b*cosc
即cosc=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可證其他,而下面的cosc=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosc移到左邊表示一下。
平面幾何證法
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所對的邊為c,∠b所對的邊為b,∠a所對的邊為a
則有bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
根據勾股定理可得:
ac2=ad2+dc2
b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2
b2=(sinb*c)2+a2-2ac*cosb+(cosb)2*c2
b2=(sinb2+cosb2)*c2-2ac*cosb+a2
b2=c2+a2-2ac*cosb
cosb=(c2+a2-b2)/2ac
編輯本段作用
(1)已知三角形的三條邊長,可求出三個內角
(2)已知三角形的兩邊及夾角,可求出第三邊。
(3)已知三角形兩邊及其一邊對角,可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式,推導過程略。)
判定定理一(兩根判別法):
若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個數,c1為c的表示式中根號前取加號的值,c2為c的表示式中根號前取
減號的值
①若m(c1,c2)=2,則有兩解
②若m(c1,c2)=1,則有一解
③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。
注意:若c1等於c2且c1或c2大於0,此種情況算到第二種情況,即一解。
判定定理二(角邊判別法):
一當a>bsina時
①當b>a且cosa>0(即a為銳角)時,則有兩解
②當b>a且cosa<=0(即a為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)
③當b=a且cosa>0(即a為銳角)時,則有一解
④當b=a且cosa<=0(即a為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)
⑤當b二當a=bsina時
①當cosa>0(即a為銳角)時,則有一解
②當cosa<=0(即a為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)
三當a例如:已知△abc的三邊之比為5:4:3,求最大的內角。
解設三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.
由三角形中大邊對大角可知:∠a為最大的角。由余弦定理
cosa=0
所以∠a=90°.
再如△abc中,ab=2,ac=3,∠a=60度,求bc之長。
解由余弦定理可知
bc2=ab2+ac2-2ab×ac·cosa
=4+9-2×2×3×cos60
=13-12x0.5
=13-6
=7
所以bc=√7.(注:cos60=0.5,可以用計算器算)
以上兩個小例子簡單說明了餘弦定理的作用。
編輯本段其他
從餘弦定理和餘弦函式的性質可以看出,如果一個三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方,那麼第三邊所對的角一定是直角,如果小於第三邊的平方,那麼第三邊所對的角是鈍角,如果大於第三邊的平方,那麼第三邊所對的角是銳角。即,利用餘弦定理,可以判斷三角形形狀。同時,還可以用餘弦定理求三角形邊長取值範圍。
解三角形時,除了用到餘弦定理外還常用正弦定理。
第二篇:餘弦定理證明過程
在△abc中,設bc=a,ac=b,ab=c,試根據b,c,a來表示a。 分析:由於國中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題,所以應新增輔助線構造直角三角形,在直角三角形內通過邊角關係作進一步的轉化工作,故作cd垂直於ab於d,那麼在rt△bdc中,邊a可利用勾股定理用cd、db表示,而cd可在rt△adc中利用邊角關係表示,db可利用ab-ad轉化為ad,進而在rt△adc內求解。
解:過c作cd⊥ab,垂足為d,則在rt△cdb中,根據勾股定理可得: a2=cd2+bd2
∵在rt△adc中,cd2=b2-ad2
又∵bd2=(c-ad)2=c2-2c·ad+ad2
∴a2=b2-ad2+c2-2c·ad+ad2=b2+c2
-2c·ad 又∵在rt△adc中,ad=b·cosa ∴a2=b2+c2-2bccosa類似地可以證明b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc
第三篇:餘弦定理及其證明
餘弦定理及其證明
1.三角形的正弦定理證明:
步驟1.
在銳角△abc中,設三邊為a,b,c。作ch⊥ab垂足為點h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到
a/sina=b/sinb
同理,在△abc中,
b/sinb=c/sinc
步驟2.
證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:
如圖,任意三角形abc,作abc的外接圓o.
作直徑bd交⊙o於d.
連線da.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等於∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
a/sina=bc/sind=bd=2r
類似可證其餘兩個等式。
2.三角形的餘弦定理證明:
平面幾何證法:
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所對的邊為c,∠b所對的邊為b,∠a所對的邊為a
則有bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
根據勾股定理可得:
ac^2=ad^2+dc^2
b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2
b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb
b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac
3
在△abc中,ab=c、bc=a、ca=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
下面在銳角△中證明第一個等式,在鈍角△中證明以此類推。
過a作ad⊥bc於d,則bd+cd=a
由勾股定理得:
c^2=(ad)^2+(bd)^2,(ad)^2=b^2-(cd)^2
所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2
=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*cd
因為cosc=cd/b
所以cd=b*cosc
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
題目中^2表示平方。
2
談正、餘弦定理的多種證法
聊城二中魏清泉
正、餘弦定理是解三角形強有力的工具,關於這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教a版教材《數學》(必修5)是用向量的數量積給出證明的,如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量並對向量的等式作同一向量的數量積,這種構思方法過於獨特,不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、餘弦定理從而進一步理解正、餘弦定理,進一步體會向量的巧妙應用和數學中“數”與“形”的完美結合.
定理:在△abc中,ab=c,ac=b,bc=a,則
(1)(正弦定理)==;
(2)(餘弦定理)
c2=a2+b2-2abcosc,
b2=a2+c2-2accosb,
a2=b2+c2-2bccosa.
一、正弦定理的證明
證法一:如圖1,設ad、be、cf分別是△abc的三條高。則有
ad=b•sin∠bca,
be=c•sin∠cab,
cf=a•sin∠abc。
所以s△abc=a•b•csin∠bca
=b•c•sin∠cab
=c•a•sin∠abc.
證法二:如圖1,設ad、be、cf分別是△abc的3條高。則有
ad=b•sin∠bca=c•sin∠abc,(請勿抄襲好範文 網:)
be=a•sin∠bca=c•sin∠cab。
證法三:如圖2,設cd=2r是△abc的外接圓
的直徑,則∠dac=90°,∠abc=∠adc。
證法四:如圖3,設單位向量j與向量ac垂直。
因為ab=ac+cb,
所以j•ab=j•(ac+cb)=j•ac+j•cb.
因為j•ac=0,
j•cb=|j||cb|cos(90°-∠c)=a•sinc,
j•ab=|j||ab|cos(90°-∠a)=c•sina.
二、餘弦定理的證明
法一:在△abc中,已知,求c。
過a作,
在rt中,,
法二:
,即:
法三:
先證明如下等式:
⑴
證明:
故⑴式成立,再由正弦定理變形,得
結合⑴、有
即.
同理可證
.
三、正餘弦定理的統一證明
法一:證明:建立如下圖所示的直角座標系,則a=(0,0)、b=(c,0),又由任意角三角函式的定義可得:c=(bcosa,bsina),以ab、bc為鄰邊作平行四邊形abcc′,則∠bac′=π-∠b,
∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb).
根據向量的運算:
=(-acosb,asinb),
=-=(bcosa-c,bsina),
(1)由=:得
asinb=bsina,即
=.
同理可得:=.
∴==.
(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa,
又||=a,
∴a2=b2+c2-2bccosa.
同理:
c2=a2+b2-2abcosc;
b2=a2+c2-2accosb.
法二:如圖5,
,設軸、軸方向上的單位向量分別為、,將上式的兩邊分別與、作數量積,可知
,
即
將(1)式改寫為
化簡得b2-a2-c2=-2accosb.
即b2=a2+c2-2accosb.(4)
第四篇:餘弦定理證明
餘弦定理證明
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c對邊為c,∠b對邊為b,∠a對邊為a-->
bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知:
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以,cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖,在abc中,三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點,ac所在的直線為x軸建立直角座標系,於是c點座標是(b,0),由三角函式的定義得b點座標是(ccosa,csina).∴cb=(ccosa-b,csina).現將cb平移到起點為原點a,則ad=cb.而|ad|=|cb|=a,∠dac=π-∠bca=π-c,根據三角函式的定義知d點座標是(acos(π-c),asin(π-c))即d點座標是(-acosc,asinc),∴ad=(-acosc,asinc)而ad=cb∴(-acosc,asinc)=(ccosa-b,csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc,同理可證asina=bsinb,∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa,平方得:a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a,即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表示式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得:
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表示式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
第五篇:餘弦定理證明過程
餘弦定理證明過程
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表示式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
2
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c對邊為c,∠b對邊為b,∠a對邊為a-->
bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知:
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以,cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖,在abc中,三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點,ac所在的直線為x軸建立直角座標系,於是c點座標是(b,0),由三角函式的定義得b點座標是(ccosa,csina).∴cb=(ccosa-b,csina).現將cb平移到起點為原點a,則ad=cb.而|ad|=|cb|=a,∠dac=π-∠bca=π-c,根據三角函式的定義知d點座標是(acos(π-c),asin(π-c))即d點座標是(-acosc,asinc),∴ad=(-acosc,asinc)而ad=cb∴(-acosc,asinc)=(ccosa-b,csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc,同理可證asina=bsinb,∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa,平方得:a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a,即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表示式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得:
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表示式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
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