教學目標
1.掌握角的平分線的性質定理和它的逆定理的內容、證明及應用。
2.理解原命題和逆命題的概念和關係,會找一個簡單命題的逆命題。
3.滲透角平分線是滿足【】特定條件的點的集合的思想。
教學重點和難點
角平分線的性質定理和逆定理的應用是重點。
性質定理和判定定理的區別和靈活運用是難點。
教學過程設計
一、角平分錢的性質定理與判定定理的探求與證明
1,複習引入課題。
(1)提問關於直角三角形全等的判定定理。
(2)讓學生用量角器畫出圖3-86中的∠AOB的角
平分線OC.
2.畫圖探索角平分線的性質並證明之。
(1)在圖3-86中,讓學生在角平分線OC上任取一
點P,並分別作出表示P點到∠AOB兩邊的距離的線段
PD,PE.
(2)這兩個距離的大小之間有什麼關係?為什麼?學生度量後得出猜想,並用直角三角形全等的知識進行證明,得出定理。
(3)引導學生敘述角平分線的性質定理(定理1),分析定理的條件、結論,並根據相應圖形寫出表示式。
3.逆向思維探求角平分線的判定定理。
(1)讓學生將定理1的條件、結論進行交換,並思考所得命題是否成立?如何證明?請一位同學敘述證明過程,得出定理2——角平分線的判定定理。
(2)教師隨後強調定理1與定理2的區別:已知角平分線用性質為定理1,由所給條件判定出角平分線是定理2.
(3)教師指出:直接使用兩個定理不用再證全等,可簡化解題過程。
4.理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合。
(1)角平分線上任意一點(運動顯示)到角的兩邊的距離都相等(滲透集合的純粹性).
(2)在角的內部,到角的兩邊距離相等的點(運動顯示)都在這個角的平分線上(而不在其它位置,滲透集合的完備性).
由此得出結論:角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。
二、應用舉例、變式練習
練習1填空:如圖3-86(1)∵OC平分∠AOB,點P在射線OC上,PD⊥OA於D
PE⊥OB於E.∴---------(角平分線的性質定理).
(2)∵PD⊥OA,PE⊥OB,----------∴ OP平分∠AOB(-------------)
例1已知:如圖3-87(a), ABC的角平分線BD和CE交於F.
(l)求證:F到AB,BC和 AC邊的距離相等;
(2)求證:AF平分∠BAC;
(3)求證:三角形中三條內角的平分線交於一點,而且這點到三角形三邊的距離相等;
(4)怎樣找△ABC內到三邊距離相等的點?
(5)若將“兩內角平分線BD,CE交於F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD,CE交於F,如圖3-87(b),那麼(1)~(3)題的結論是否會改變?怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點?共有多少個?
說明:
(1)通過此題達到鞏固角平分線的性質定理(第(1)題)和判定定理(第(2)題)的目的。
(2)此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法:先確定兩條直線交於某一點,再證明這點在第三條直線上。
(3)引導學生對題目的條件進行類比聯想(第(5)題),觀察結論如何變化,培養髮散思維能力。
練習2已知△ABC,在△ABC內求作一點P,使它到△ABC三邊的距離相等。
練習3已知:如圖 3-88,在四邊形 ABCD中, AB=AD, AB⊥BC,AD⊥DC.求證:點 C在∠DAB的平分線上。
例2已知:如圖 3- 89,OE平分∠AOB,EC⊥OA於 C,ED⊥OB於 D.求證:(1)OC=OD;(2)OE垂直平分CD.
分析:證明第(1)題時,利用“等角的餘角相等”可得到∠OEC=∠OED,再利用角平分線的性質定理得到 OC=OD.這樣處理,可避免證明兩個三角形全等。
練習4 課本第54頁的練習。
說明:訓練學生將生活語言翻譯成數學語言的能力。
三、互逆命題,互逆定理的定義及應用
1.互逆命題、互逆定理的定義。
教師引導學生分析角平分線的性質,判定定理的題設、結論,使學生看到這兩個命題的題設和結論正好相反,得出互逆命題、互逆定理的定義,並舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子。教師強調“互逆命題”是兩個命題之間的關係,其中任何一個做為原命題,那麼另一個就是它的逆命題。
2.會找一個命題的逆命題,並判定它是真、假命題。
例3寫出下列命題的逆命題,並判斷(1)~(5)中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題:
(1)兩直線平行,同位角相等;
(2)直角三角形的兩銳角互餘;
(3)對頂角相等;
(4)全等三角形的對應角相等;
(5)如果|x|=|y|,那麼x=y;
(6)等腰三角形的兩個底角相等;
(7)直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。
說明:注意逆命題語言的準確描述,例如第(6)題的逆命題不能說成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”。
3.理解互逆命題、互逆定理的有關結論。
例4 判斷下列命題是否正確:
(1)錯誤的命題沒有逆命題;
(2)每個命題都有逆命題;
(3)一個真命題的逆命題一定是正確的;
(4)一個假命題的逆命題一定是錯誤的;
(5)每一個定理都一定有逆定理。
通過此題使學生理解互逆命題的真假性關係及互逆定理的定義。
四、師生共同小結
1.角平分線的性質定理與判定定理的條件內容分別是什麼?
2.三角形的角平分線有什麼性質?怎樣找三角形內到三角形三邊距離相等的點?
3.怎樣找一個命題的逆命題?原命題與逆命題是否同真、同假?
五、作業
課本第55頁第3,5,6,7,8,9題。
課堂教學設計說明
本教學設計需2課時完成。
角平分線是符合某種條件的動點的集合,因此,利用教具,投影或計算機演示動點運動的過程和規律,更能展示知識的形成過程,有利於學生自己觀察,探索新知識,從中提高興趣,以充分培養能力,發揮學生學習的主動性
問題1:你能舉出1~2個例項或實物,說明它們也具有上面所說的特性嗎?
說明:學生自己舉例有助於他們感性地認識中心對稱的意義。然後,教師指出:具有這種特性的圖形叫做中心對稱圖形,並介紹對稱中心,對稱點等概念。
問題2:你能給“中心對稱”下一個定義嗎?
說明與建議:學生下定義會有困難,教師應及時修正,並給出明確的定義,然後指出定義中的三個要點:(l)有一個對稱中心——點;(2)圖形繞中心旋轉180度;(3)旋轉後與另一圖形重合。把這三要點填入引導性材料中的空表內,在頂空格內寫上“中心對稱”字樣,以利於寫“軸對稱”進行比較。
練一練:在圖4.7-3中,已知△ABC和△EFG關於點O成中心對稱,分別找出圖中的對稱點和對稱線段。
說明與建議:教師可演示△ABC繞點O旋轉180度後與△EFG重合的過程,讓學生說出點E和點A,點B和點F,點C和點G是對稱點;線段AB和EF、線段AC和EG,線段BC和FG都是對稱線段。教師還可向學生指出,圖4.7-3中,點A、O、E在一條直線上,點C、O、G在一條直線上,點B、O、F在一條直線上,且AO=EO,BO=FO,CO=GO。
問題3:從上面的練習及分析中,可以看出關於中心對稱的兩個圖形具有哪些性質?
說明與建議:引導學生總結出關於中心對稱的兩個圖形的性質:定理l---關於中心對稱的兩個圖形是全等形;定理2——關於中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經過對稱中心,並且被對稱中心平分。
問題4:定理2的題設和結論各是什麼?試說出它的逆命題。
說明與建議:學生解答此題有困難,教師要及時引導。特別是敘述命題時,學生常常照搬“對稱點”、“對稱中心”這些詞語,教師應指出:由於沒有“兩個圖形關於中心對稱”的前提,所以不能使用“對稱點”、“對稱中心”這樣的詞語,而要改為“對應如”、“某一點”。最後,教師應完整地敘述這個逆命題---如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點,並且被這一點平分,那麼這兩個圖形關於點對稱。
問題5:怎樣證明這個逆命題是正確的?
說明與建議:證明過程應在教師的引導下,師生共同完成。由已知條件——對應點的連線都經過某一點,並且被這一點平分,可以知道:若把其中一個圖形繞著這點旋轉180度,它必定於另一個圖形重合,因此,根據定義可以判定這兩個圖形關於這一點對稱。這個逆命題即為逆定理。根據這個逆定理,可以判定兩個圖形關於一點對稱,也可以畫出已知圖形關於一點的對稱圖形。
練一練:訪畫出圖4.7-4中,線段PQ關於點O的對稱線段P′Q′。
(畫法如下:(1)連結PO,延長PO到P′,使OP′=OP,點P′就是點P關於點O的對稱點,(2)連結QO,延長QO到Q′,使Q′Q=OQ,點Q′就是點Q的對稱點,則PQ′就是線段PQ關於O點的對稱線段。教師應指出:畫一個圖形關於某點的中心對稱圖形,關鍵是畫“對稱點”。比如,畫一個三角形關於某點的中心對稱三角形,只要畫出三角形三個頂點的對稱點,就可以畫出所要求的三角形。)
課本例題
說明:(l)教師應讓學生讀題分析,給每個學生印發一張印有圖4.7-5的紙,讓學生動手畫圖。(2)畫好圖後讓學生總結:畫多邊形的中心對稱圖形只要畫出多邊形各頂點的對稱點,即能畫出所求的對稱圖形。