如果能把圓錐曲線的最值問題轉化為含有一個未知量的一元二次方程,利用,解得要求未知量的範圍,然後確定其最值。
例3:直線,橢圓C:。求以橢圓C的焦點F1、F2為焦點,且與直線l有公共點M的橢圓中長軸最短的。
分析:因為直線l與所求橢圓有公共點,可以由方程組得到一個一元二次方程,再利用判別式確定所求橢圓長軸的`最小值。
解:橢圓C的焦點。
說明:直線l與橢圓有公共點,可得方程組,消去一個未知數,得到一個一元二次方程,由一元二次方程有實根的條件得,構造參變數的不等式,確定的最小值,這種解法思路清晰、自然。
有些圓錐曲線的最值問題,可以先轉化成函式問題,然後利用函式的單調性、有界性等性質求最值。
說明:本題把求圓錐曲線最值問題轉化為求三角函式的最值問題,然後利用的有界性得出結果。
一、化為二次函式,求二次函式的最值
依據條件求出用一個引數表示的二次函式解析式,而自變數都有一定的變化範圍,然後用配方法求出限制條件下函式的最值,就可得到問題的解。
例1:曲邊梯形由曲線及直線,x=1,x=2所圍成,試問通過曲線,上的哪一點作切線,能使此切線從曲邊梯形上切出一個最大面積的普通梯形。
分析:先求出適合條件的一條切線方程,再求出這條切線與直線x=1,x=2的交點座標,根據梯形面積公式列出函式關係式,再求最值。
大面積的普通梯形。
說明:如果函式解析式中含有引數,一般要根據定義域和引數的特點分類討論。