1.1 集合的含義及其表示
一位漁民非常喜歡數學,但他怎麼也不明白集合的意義,於是他請教數學家:“尊敬的先生,請您告訴我,集合是什麼?”集合是不定義的原始概念,數學家很難回答那位漁民,有一天,他來到漁民的船上,看到漁民撒下魚網,輕輕一拉,許多魚蝦在網上跳動,數學家非常激動,高興地告訴漁民:“這就是集合!”你能理解數學家的話嗎?
基礎鞏固
1、下列說法正確的是()
A.我校愛好足球的同學組成一個集合
B.{1,2,3}是不大於3的自然陣列成的集合
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合
D.數1,0,5,12,32,64, 14組成的集合有7個元素
答案:C
2、若集合A={-1,1},B={0,2},則集合{z|z=x+y,xA,yB}中的元素個數為()
A.5個 B.4個 C.3個 D.2個
答案:C
3、下列四個關係中,正確的是()
A.a{a,b} B.{a}{a,b}
C.a{a} D.a{a,b}
答案:A
4、集合M={(x,y)|xy0,xR,yR}是()
A.第一象限內的點集
B.第三象限內的點集
C.第四象限內的點集
D.第二、四象限內的點集
解析:集合M為點集且橫、縱座標異號,故是第二、四象限內的點集。
答案:D
5、若A={(2,-2),(2,2)},則集合A中元素的個數是()
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
答案:B
6、集合M中的元素都是正整數,且若aM,則6-aM,則所有滿足條件的集合M共有()
A.6個 B.7個 C.8個 D.9個
解析:由題意可知,集合M中包含的元素可以是3,1和5,2和4中的一組,兩組,三組,即M可為{3},{1,5},{2,4},{3,1,5},{3,2,4},{1,5,2,4},{3,1,5,2,4},共7個。
答案:B
7、下列集合中為空集的是()
A.{xN|x2 B.{xR|x2-1=0}
C.{xR|x2+x+1=0} D.{0}
答案:C
8、設集合A={2,1-a,a2-a+2},若4A,則a=()
A.-3或-1或2 B-3或-1
C.-3或2 D.-1或2
解析:當1-a=4時,a=-3,A={2,4,14};當a2-a+2=4時,得a=-1或2,當a=-1時,A={2,2,4},不滿足互異性,當a=2時,A={2,4,-1}。a=-3或2.
答案:C
9、集合P={x|x=2k,kZ},Q={x|x=2k+1,kZ},M={x|x=4k+1,kZ},若aP,bQ,則有()
A.a+bP
B.a+bQ
C.a+bM
D.a+b不屬於P、Q、M中任意一個
解析:∵aP,bQ,a=2k1,k1Z,b=2k2+1,k2Z,a+b=2(k1+k2)+1,k1,k2Z,a+bQ.
答案:B
10、由下列物件組成的集體,其中為集合的是________(填序號)。
①不超過2的正整數;
②高一數學課本中的所有難題;
③中國的高山;
④平方後等於自身的實數;
⑤高一(2)班會考500分以上的學生。
答案:①④⑤
11、若a=n2+1,nN,A={x|x=k2-4k+5,kN},則a與A的關係是________.
解析:∵a=n2+1=(n+2)2-4(n+2)+5,且當nN時,n+2N.
答案:aA
12、集合A={x|xR且|x-2|5}中最小整數為_______.
解析:由|x-2|-5x-2-37,最小整數為-3.
答案:-3
13、一個集合M中元素m滿足mN+,且8-mN+,則集合M的元素個數最多為________.
答案:7個
14、下列各組中的M、P表示同一集合的是________(填序號)。
①M={3,-1},P={(3,-1)};
②M={(3,1)},P={(1,3)};
③M={y|y=x2-1,xR},P={a|a=x2-1,xR};
④M={y|y=x2-1,xR},P={(x,y)|y=x2-1,xR}。
答案:③
能力提升
15、已知集合A={x|xR|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0}中有且僅有一個元素,求a的值。
解析:(1)若a2-1=0,則a=1.當a=1時,x=-12,此時A=-12,符合題意;當a=-1時,A=,不符合題意。
(2)若a2-10,則=0,即(a+1)2-4(a2-1)=0a=53,此時A=-34,符合題意。綜上所述,a=1或53.
16、若集合A=a,ba,1又可表示為{a2,a+b,0},求a2014+b2013的值。
解析:由題知a0,故ba=0,b=0,a2=1,
a=1,
又a1,故a=-1.
a2014+b2013=(-1)2014+02013=1.
17、設正整數的集合A滿足:“若xA,則10-xA”。
(1)試寫出只有一個元素的集合A;
(2)試寫出只有兩個元素的集合A;
(3)這樣的集合A至多有多少個元素?
解析:(1)令x=10-xx=5.故A={5}。
(2)若1A,則10-1=9A;反過來,若9A,則10-9=1A.因此1和9要麼都在A中,要麼都不在A中,它們總是成對地出現在A中。同理,2和8,3和7,4和6成對地出現在A中,故{1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}為所求集合。
(3)A中至多有9個元素,A={1,9,2,8,3,7,4,6,5}。
18、若數集M滿足條件:若aM,則1+a1-aM(a0,a1),則集合M中至少有幾個元素?
解析:∵aM,1+a1-aM,1+1+a1-a1-1+a1-a=-1aM,
1-1a1+1a=a-1a+1M,1+a-1a+11-a-1a+1=aM.
∵a0且a1,a,1+a1-a,-1a,a-1a+1互不相等集合M中至少有4個元素。
1.3 交集、並集
若集合A={x|x是6的倍數},B={x|x是4的倍數},則A與B有公共元素嗎?它們的公共元素能組成一個集合嗎?
兩個集合A與B的公共元素能組成一個集合嗎?若能組成一個集合C,則C與A、B的關係如何?
基礎鞏固
1、若集合A={0,1,2,3,4},B={1,2,4}則AB=()
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{1,2} D.{0}
答案:A
2、設S={x||x|3},T={x|3x-51},則ST=()
A. B.{x|-33}
C.{x|-32} D.{x|23}
答案:C
3、已知A,B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集,且AB={3}, AUB={9},則A=()
A.{1,3} B.{3,7,9}
C.{3,5,9} D.{3,9}
答案:D
4、設A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},則AB為()
A.{x=1,或y=2} B.{1,2}
C.{(1,2)} D.(1,2)
解析:AB=x,y4x+y=63x+2y=7={(1,2)}。
答案:C
5、已知集合A={(x,y)|x,yR且x2+y2=1},B={(x,y)|x,yR且x+y=1,則AB的元素個數為()
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
解析:由x2+y2=1,x+y=1x=1,y=0或x=0,y=1,
即AB={(1,0),(0,1)}。
答案:C
6、已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},則(UA)B為()
A.{1,2,4} B.{2,3,4}
C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}
答案:C
7、已知方程x2-px+15=0與x2-5x+q=0的'解分別為M和S,且MS={3},則pq=________.
解析:∵MS={3},
3既是方程x2-px+15=0的根,又是x2-5x+q=0的根,從而求出p,q.
答案:43
8、已知全集S=R,A={x|x1},B={x|05},則(SA)B=________.
解析:SA={x|x1}。
答案:{x|15}
9、設集合A={x||x-a|1,xR},B={x|15},若AB=,則a的取值範圍是________.
解析:∵A={x|a-1a+1},若AB=,則a+11或a-1a0或a6.
答案:{a|a0或a6}
10、設集合A={0,1,2,3,4,5,7},B={1,3,6,8,9},C={3,7,8},那麼集合(AC是________.
答案:{1,3,7,8}
11、滿足條件{1,3}A={1,3,5}的所有集合A的個數是________個。
答案:4
能力提升
12、集合A={x||x|1,xR},B={y|y=x2,xR},則AB為()
A.{x|-11} B.{x|x0}
C.{x|01} D.
解析:∵A={x|-11},B={y|y0}
AB={x|01}。
答案:C
13、若A、B、C為三個集合,且有AB=BC,則一定有()
C.A D.A=
答案:A
14、設全集U={a,b,c,d},A={a,b},B={b,c,d},則UAUB=________
解析:UA={c,d},UB={a},
UAUB={a,c,d}。
答案:{a,c,d}
15、(2013上海卷)設常數aR,集合A={x|(x-1)(x-a)0},B={x|xa-1},若AB=R,則a的取值範圍為________.
解析:當a1時,A={x|x1或xa},
要使AB=R,則a1,a-112;
當a1時,A={x|xa或x1},要使AB=R,則a1,a-1a1.
綜上,a
答案:{a|a2}
16、已知集合A={x||x+2|3,xR},集合B={x|(x-m)(x-2)0},xR},且AB=(-1,n),求m和n的值。
解析:|x+2|-3x+2-51,
A={x|-51},又∵AB=(-1,n),
-1是方程(x-m)(x-2)=0的根,即m=-1,此時B={x|-12},AB=(-1,1),即n=1.
17、設集合P={1,2,3,4},求同時滿足下列三個條件的集合A:
(1)AP;
(2)若xA,則2xA;
(3)若xPA,則2xPA.
解析:∵21=2,22=4,因此1和2不能同時屬於A,也不能同時屬於UA,同樣地,2和4也不能同時屬於A和UA,對P的子集進行考查,可知A只能為:{2},{1,4},{2,3}{1,3,4}。
18、設集合A={x|x+10或x-40},B={x|2aa+2}。
(1)若A,求實數a的取值範圍;
(2)若AB=B,求實數a的取值範圍。
解析:(1)A={x|x-1或x4},
∵A,
2a2+a,a+24或2aa+2,2a-1.
a=2或a-12.
綜上所述,實數a的取值範圍為aa-12或a=2.
(2)∵AB=B,BA.
①B=時,滿足BA,則2aa+22,
②B時,則
2aa+2,a+2-1或2aa+2,2a4.
即a-3或a=2.
綜上所述,實數a的取值範圍為{a|a-3或a=2}。