一、指數函數
(一)指數與指數冪的運算
1、根式的概念:一般地,如果,那麼叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈_.
當是奇數時,正數的次方根是一個正數,負數的次方根是一個負數。此時,的次方根用符號表示。式子叫做根式(radical),這裏叫做根指數(radicalexponent),叫做被開方數(radicand)。
當是偶數時,正數的次方根有兩個,這兩個數互為相反數。此時,正數的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號-表示。正的次方根與負的次方根可以合併成±(>0)。由此可得:負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。
注意:當是奇數時,當是偶數時,
2、分數指數冪
正數的分數指數冪的意義,規定:
0的正分數指數冪等於0,0的負分數指數冪沒有意義
指出:規定了分數指數冪的意義後,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數,那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪。
3、實數指數冪的運算性質
1、函數的局部性質——單調性設函數y=f(x)的定義域為I,如果對應定義域I內的某個區間D內的任意兩個變量x1、x2,當x1< x2時,都有f(x1)
高一數學必修一公式【和差化積】2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB【某些數列前n項和】1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圓半徑餘弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是邊a和邊c的夾角弧長公式 l=a_r a是圓心角的弧度數r >0 扇形面積公式 s=1/2_l_r乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根與係數的關係 X1+X2=-b/a X1_X2=c/a 注:韋達定理【判別式】b2-4ac=0 注:方程有兩個相等的實根b2-4ac>0 注:方程有兩個不等的實根b2-4ac<0 注:方程沒有實根,有共軛複數根【兩角和公式】sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)【倍角公式】tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a【半角公式】sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))【降冪公式】(sin^2)x=1-cos2x/2(cos^2)x=i=cos2x/2【萬能公式】令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)
cosa=(1-t^2)/(1+t^2)
tana=2t/(1-t^2)
函數的最值問題
⑴對於二次函數,利用配方法,將函數化為y=(x-a)2 +b的形式,得出函數的最大值或最小值。
⑵對於易於畫出函數圖像的函數,畫出圖像,從圖像中觀察最值。
⑶關於二次函數在閉區間的最值問題
ⅰ判斷二次函數的頂點是否在所求區間內,若在區間內,則接ⅱ,若不在區間內,則接ⅲ。
ⅱ 若二次函數的頂點在所求區間內,則在二次函數y=ax2+bx+c中,a>0時,頂點為最小值,a<0時頂點為最大值;後判斷區間的兩端點距離頂點的遠近,離頂點遠的端點的函數值,即為a>0時的最大值或a<0時的最小值。
ⅲ 若二次函數的頂點不在所求區間內,則判斷函數在該區間的單調性
若函數在[a,b]上遞增,則最小值為f(a),最大值為f(b);
若函數在[a,b]上遞減,則最小值為f(b),最大值為f(a)。