第一篇：利用導數證明不等式
利用導數證明不等式
沒分都沒人答埃。。覺得可以就給個好評!
最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然後將這個式子令為一個函數f(x).對這個函數求導，判斷這個函數這各個區間的單調性，然後證明其最大值(或者是最小值)大於0.這樣就能説明原不等式了成立了!
1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)
設函數f(x)=x-ln(x+1)
求導，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..證明：a-a^2>0其中0
f(a)=a-a^2
f'(a)=1-2a
當00;當1/2
因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0
即有當00
3.x>0,證明：不等式x-x^3/6
先證明sinx
因為當x=0時，sinx-x=0
如果當函數sinx-x在x>0是減函數，那麼它一定<在0點的值0，
求導數有sinx-x的導數是cosx-1
因為cosx-1≤0
所以sinx-x是減函數，它在0點有最大值0，
知sinx
再證x-x³/6
對於函數x-x³/6-sinx
當x=0時，它的值為0
對它求導數得
1-x²/2-cosx如果它<0那麼這個函數就是減函數，它在0點的值是最大值了。
要證x²/2+cosx-1>0x>0
再次用到函數關係，令x=0時，x²/2+cosx-1值為0
再次對它求導數得x-sinx
根據剛才證明的當x>0sinx
x²/2-cosx-1是減函數，在0點有最大值0
x²/2-cosx-1<0x>0
所以x-x³/6-sinx是減函數，在0點有最大值0
得x-x³/6
利用函數導數單調性證明不等式x-x²>0，x∈(0,1)成立
令f(x)=x-x²x∈
則f'(x)=1-2x
當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調遞增
當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調遞減
故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值為零
故當x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。
i、m、n為正整數，且1
第二篇：利用導數證明不等式
克維教育（82974566）會考、大學聯考培訓專家鑄就孩子輝煌的未來
函數與導數（三）
核心考點五、利用導數證明不等式
一、函數類不等式證明
函數類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問題轉化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進而構造輔助函數h(x)?f(x)?g(x)，然後利用導數證明函數h(x)的單調性或證明函數h(x)的最小值（最大值）大於或等於零（小於或等於零）。
例1、已知函數f(x)?lnx?ax2?(2?a)x
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）設a?0，證明：當0?x?111時，f(?x)?f(?x)； aaa
（3）若函數f(x)的圖像與x軸交於a、b兩點，線段ab中點的橫座標為x0，
證明：f`(x0)?0
【變式1】已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：恆有1?1?ln(x?1)?x成立。 x?1
x【變式2】（1）x?0，證明：e?1?x
x2
?ln(1?x)(2)x?0時，求證：x?2
二、常數類不等式證明
常數類不等式證明的通法可概括為：證明常數類不等式的問題等價轉化為證明不等式 f(a)?f(b)的問題，在根據a,b的不等式關係和函數f(x)的單調性證明不等式。 例2、已知m?n?e,，求證：n?m
例3、已知函數f(x)?ln(x?1)?
（1）求f(x)的極小值；
（2）若a,b?0，求證：lna?lnb?1?
mnx， 1?xb a
【變式3】已知f(x)?lnx，g(x)?127，直線l與函數f(x)、g(x)的 x?mx?（m?0）22
圖像都相切，且與函數f(x)的圖像的切點的橫座標為1．
（ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（ⅱ）若h(x)?f(x?1)?g?(x)（其中g?(x)是g(x)的導函數），求函數h(x)的最大值； （ⅲ）當0?b?a時，求證：f(a?b)?f(2a)?b?a． 2a
【變式4】求證：
b?ab?lnba?b?aa(0?a?b)
1?x)?x?0(x??1) 【變式5】證明：ln(
ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)【引申】求證： 2?2???2?(n?2,n?n*) 23n2(n?1)
【變式6】當t?1時，證明：1??lnt?t?1 1t
x21(x?1)，各項不為零的數列?an?滿足4sn?f()?1， 【引申】已知函數f(x)?an2(x?1)
1n?11（1）求證：??ln??； an?1nan
（2）設bn??1，tn為數列?bn?的前n項和，求證：t2014?1?ln2014?t2014。 an
第三篇：導數的應用——利用導數證明不等式
導 數 的 應 用-利用導數證明不等式
1、利用導數判斷函數的單調性；
2、利用導數求函數的極值、最值；
引言：導數是研究函數性質的一種重要工具．例如：求函數的單調區間、求函數的最大（小）值、求函數的值域等等．然而，不等式是歷年大學聯考重點考查的內容之一.尤其是在解答題中對其的考查，更是學生感到比較棘手的一個題.因而在解決一些不等式問題時，如能根據不等式的特點，恰當地構造函數，運用導數證明或判斷該函數的單調性, 出該函數的最值；由當該函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恆成立，從而把證明不等式問題轉化為函數求最值問題．然後用函數單調性去解決不等式的一些相關問題，可使問題迎刃而解. 因此，很多時侯可以利用導數作為工具得出函數性質，從而解決不等式問題． 下面具體討論導數在解決與不等式有關的問題時的作用．
三、例題分析
1、利用導數得出函數單調性來證明不等式
x2例1：當x>0時,求證：x?＜ln(1+x) . 2
x2x2'證明：設f(x)= x?－ln(1+x)(x>0), 則f(x)=?． 21?x
'∵x>0,∴f(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上遞減，
x2所以x>0時,f(x)<f(0)=0，即x?－ln(1+x)<0成立． 2
小結：把不等式變形後構造函數，然後用導數證明該函數的單調性，達到證明不等式的目的．
隨堂練習：課本p32：b組第一題第3小題
2、利用導數解決不等式恆成立問題（掌握恆成立與最值的轉化技巧；構造函數證明不等式）
1例２．已知函數f(x)?aex?x2 2
(1)若f(x)在r上為增函數,求a的取值範圍;
(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)>1+x
解：(1)f′(x)＝ aex－ｘ，
∵ｆ（ｘ）在ｒ上為增函數，∴f′(x)≥０對ｘ∈ｒ恆成立，
即ａ≥ｘｅ-ｘ對ｘ∈ｒ恆成立
記ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，則ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x，
當ｘ＞１時，ｇ′（ｘ）＜０，當ｘ＜１時，ｇ′（ｘ）＞０．
知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上為增函數,在(1,+ ∞)上為減函數,
∴g(x)在x=1時,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e,
即a的取值範圍是[1/e, + ∞)
1(2)記f(x)=f(x) －(1+x) =ex?x2?1?x(x?0) 2
則f′(x)=ex-1-x,
令h(x)= f′(x)=ex-1-x,則h′(x)=ex-1
當x>0時, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函數,
又h(x)在x=0處連續, ∴h(x)>h(0)=0
即f′(x)>0 ,∴f(x) 在(0,+ ∞)上為增函數,又f(x)在x=0處連續,∴f(x)>f(0)=0,即f(x)>1+x．
小結：當函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恆成立，從而把不等式的恆成立問題可轉化為求函數最值問題．不等式恆成立問題，一般都會涉及到求參數範圍，往往把變量分離後可以轉化為m?f(x)(或m?f(x))恆成立，於是
，從而把不等式恆成立問題轉化為m大於f(x)的最大值（或m小於f(x)的最小值）
求函數的最值問題．因此，利用導數求函數最值是解決不等式恆成立問題的一種重要方法．
例3．（全國）已知函數f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx
(1)求函數f(x)的最大值；
a?b)?(b?a)ln2. 2
分析：對於（ii）絕大部分的學生都會望而生畏.學生的盲點也主要就在對所給函數用不上.如果能挖掘一下所給函數與所證不等式間的聯繫，想一想大小關係又與函數的單調性密切相關，由此就可過渡到根據所要證的不等式構造恰當的函數，利用導數研究函數的單調性，藉助單調性比較函數值的大小，以期達到證明不等式的目的.證明如下： (2)設0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g(
證明：對g(x)?xlnx求導,則g'(x)?lnx?1. 在g(a)?g(b)?2g(a?b)中以b為主變元構造函數, 2
2設f(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x),則f'(x)?g'(x)?2[g(a?x)]'?lnx?lna?x. 22
當0?x?a時，f'(x)?0,因此f(x)在(0,a)內為減函數.
當x?a時,f'(x)?0,因此f(x)在(a,??)上為增函數.
從而當x?a時, f(x) 有極小值f(a).
因為f(a)?0,b?a,所以f(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(
2a?b)?0. 2又設g(x)?f(x)?(x?a)ln2.則g'(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x).
當x?0時,g'(x)?0.因此g(x)在(0,??)上為減函數.
因為g(a)?0,b?a,所以g(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2. 2
綜上結論得證。
對於看起來無法下手的一個不等式證明，對其巧妙地構造函數後，運用導數研
究了它的單調性後，通過利用函數的單調性比較函數值的大小,使得問題得以簡單解決.
四、課堂小結
1、利用導數證明不等式或解決不等式恆成立問題,關鍵是把不等式變形後構造恰當的函數，然後用導數判斷該函數的單調性或求出最值，達到證明不等式的目的；
2、利用導數解決不等式恆成立問題，應特別注意區間端點是否取得到；
3、學會觀察不等式與函數的內在聯繫，學會變主元構造函數再利用導數證明不等式；
總之，無論是證明不等式，還是解不等式，我們都可以構造恰當的函數，利用到函數的單調性或最值，藉助導數工具來解決，這種解題方法也是轉化與化歸思想在中學數學中的重要體現．
五、思維拓展
ax2
x?e(x?0)； （2014聯考）已知函數f(x)?e?x?1(x?0)，g(x)?2x（1） 求證：當a?1時對於任意正實數x, f(x) 的圖象總不會在g(x)圖象的上方；
（2） 對於在（0，1）上任意的a值，問是否存在正實數x使得f(x)?g(x)成立？
如果存在，求出符合條件的x的一個取值；否則説明理由。
第四篇：導數的應用——利用導數證明不等式1
導 數 的 應 用
--------利用導數證明不等式
教學目標：1、進一步熟練並加深導數在函數中的應用並學會利用導數證明不等式
2、培養學生的分析問題、解決問題及知識的綜合運用能力； 教學重點：利用導數證明不等式
教學難點：利用導數證明不等式
教學過程：
一、複習回顧
1、利用導數判斷函數的單調性；
2、利用導數求函數的極值、最值；
二、新課引入
引言：導數是研究函數性質的一種重要工具．例如：求函數的單調區間、求函數的最大（小）值、求函數的值域等等．然而，不等式是歷年大學聯考重點考查的內容之一.尤其是在解答題中對其的考查，更是學生感到比較棘手的一個題.因而在解決一些不等式問題時，如能根據不等式的特點，恰當地構造函數，運用導數證明或判斷該函數的單調性, 出該函數的最值；由當該函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恆成立，從而把證明不等式問題轉化為函數求最值問題．然後用函數單調性去解決不等式的一些相關問題，可使問題迎刃而解. 因此，很多時侯可以利用導數作為工具得出函數性質，從而解決不等式問題． 下面具體討論導數在解決與不等式有關的問題時的作用．
三、新知探究
1、利用導數得出函數單調性來證明不等式
x2例1：當x>0時,求證：x?＜ln(1+x) . 2
x2x2'證明：設f(x)= x?－ln(1+x)(x>0), 則f(x)=?． 21?x
'∵x>0,∴f(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上遞減，
x2所以x>0時,f(x)<f(0)=0，即x?－ln(1+x)<0成立． 2
小結：把不等式變形後構造函數，然後用導數證明該函數的單調性，達到證明不等式的目的．
隨堂練習：課本p32：b組第一題第3小題
2、利用導數解決不等式恆成立問題（掌握恆成立與最值的轉化技巧；構造函數證明不等式）
1例２．已知函數f(x)?aex?x2 2
(1)若f(x)在r上為增函數,求a的取值範圍;
(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)>1+x
解：(1)f′(x)＝ aex－ｘ，
∵ｆ（ｘ）在ｒ上為增函數，∴f′(x)≥０對ｘ∈ｒ恆成立，
即ａ≥ｘｅ-ｘ對ｘ∈ｒ恆成立
記ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，則ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x，
當ｘ＞１時，ｇ′（ｘ）＜０，當ｘ＜１時，ｇ′（ｘ）＞０．
知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上為增函數,在(1,+ ∞)上為減函數,
∴g(x)在x=1時,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e,
即a的取值範圍是[1/e, + ∞)
1(2)記f(x)=f(x) －(1+x) =ex?x2?1?x(x?0) 2
則f′(x)=ex-1-x,
令h(x)= f′(x)=ex-1-x,則h′(x)=ex-1
當x>0時, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函數,
又h(x)在x=0處連續, ∴h(x)>h(0)=0
即f′(x)>0 ,∴f(x) 在(0,+ ∞)上為增函數,又f(x)在x=0處連續,∴f(x)>f(0)=0,即f(x)>1+x．
小結：當函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恆成立，從而把不等式的恆成立問題可轉化為求函數最值問題．不等式恆成立問題，一般都會涉及到求參數範圍，往往把變量分離後可以轉化為m?f(x)(或m?f(x))恆成立，於是
，從而把不等式恆成立問題轉化為m大於f(x)的最大值（或m小於f(x)的最小值）
求函數的最值問題．因此，利用導數求函數最值是解決不等式恆成立問題的一種重要方法．
例3．（2014年全國）已知函數f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx
(1)求函數f(x)的最大值；
a?b)?(b?a)ln2. 2
分析：對於（ii）絕大部分的學生都會望而生畏.學生的盲點也主要就在對所給函數用不上.如果能挖掘一下所給函數與所證不等式間的聯繫，想一想大小關係又與函數的單調性密切相關，由此就可過渡到根據所要證的不等式構造恰當的函數，利用導數研究函數的單調性，藉助單調性比較函數值的大小，以期達到證明不等式的目的.證明如下： (2)設0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g(
證明：對g(x)?xlnx求導,則g'(x)?lnx?1. 在g(a)?g(b)?2g(a?b)中以b為主變元構造函數, 2
2設f(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x),則f'(x)?g'(x)?2[g(a?x)]'?lnx?lna?x. 22
當0?x?a時，f'(x)?0,因此f(x)在(0,a)內為減函數.
當x?a時,f'(x)?0,因此f(x)在(a,??)上為增函數.
從而當x?a時, f(x) 有極小值f(a).
因為f(a)?0,b?a,所以f(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(
2a?b)?0. 2又設g(x)?f(x)?(x?a)ln2.則g'(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x).
當x?0時,g'(x)?0.因此g(x)在(0,??)上為減函數.
因為g(a)?0,b?a,所以g(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2. 2
綜上結論得證。
對於看起來無法下手的一個不等式證明，對其巧妙地構造函數後，運用導數研究了它的單調性後，通過利用函數的單調性比較函數值的大小,使得問題得以簡單解決.
四、課堂小結
1、利用導數證明不等式或解決不等式恆成立問題,關鍵是把不等式變形後構造恰當的函數，然後用導數判斷該函數的單調性或求出最值，達到證明不等式的目的；
2、利用導數解決不等式恆成立問題，應特別注意區間端點是否取得到；
3、學會觀察不等式與函數的內在聯繫，學會變主元構造函數再利用導數證明不等式；
總之，無論是證明不等式，還是解不等式，我們都可以構造恰當的函數，利用到函數的單調性或最值，藉助導數工具來解決，這種解題方法也是轉化與化歸思想在中學數學中的重要體現．
五、思維拓展
ax2
x?e(x?0)； （2014聯考）已知函數f(x)?e?x?1(x?0)，g(x)?2x（1） 求證：當a?1時對於任意正實數x, f(x) 的圖象總不會在g(x)圖象的上方；
（2） 對於在（0，1）上任意的a值，問是否存在正實數x使得f(x)?g(x)成立？
如果存在，求出符合條件的x的一個取值；否則説明理由。
第五篇：利用導數證明不等式的常見題型經典
利用導數證明不等式的常見題型及解題技巧
技巧精髓
1、利用導數研究函數的單調性，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年大學聯考的熱點。
2、解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特徵構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵。
一、利用題目所給函數證明
【例1】 已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恆有
1?1?ln(x?1)?x x?1
分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數
1?1，從其導數入手即可證明。 x?1
1x【綠色通道】f?(x)??1??x?1x?1g(x)?ln(x?1)?
∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為增函數
當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數
故函數f(x)的單調遞增區間為(?1,0)，單調遞減區間(0,??)
於是函數f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當x??1時，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0∴ln(x?1)?x （右面得證）， 現證左面，令g(x)?ln(x?1)?11x1?? ?1， 則g?(x)?22x?1(x?1)x?1(x?1)
當x?(?1,0)時,g?(x)?0;當x?(0,??)時,g?(x)?0 ，
即g(x)在x?(?1,0)上為減函數，在x?(0,??)上為增函數，
故函數g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，
1?1?0 x?1
11∴ln(x?1)?1?，綜上可知，當x??1時,有?1?ln(x?1)?xx?1x?1
【警示啟迪】如果f(a)是函數f(x)在區間上的最大（小）值，則有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），
那麼要證不等式，只要求函數的最大值不超過0就可得證． ∴當x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?
2、直接作差構造函數證明
【例2】已知函數f(x)?
圖象的下方；
第 1 頁 共 4 頁 122x?lnx. 求證：在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)?x3的23
分析：函數f(x)的圖象在函數g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問題， 12212x?lnx?x3，只需證明在區間(1,??)上，恆有x2?lnx?x3成立，設2323
1f(x)?g(x)?f(x)，x?(1,??)，考慮到f(1)??0 6
要證不等式轉化變為：當x?1時，f(x)?f(1)，這隻要證明： g(x)在區間(1,??)是增函數即可。
21【綠色通道】設f(x)?g(x)?f(x)，即f(x)?x3?x2?lnx， 32即
1(x?1)(2x2?x?1)則f?(x)?2x?x?= xx2
(x?1)(2x2?x?1)當x?1時，f?(x)= x
從而f(x)在(1,??)上為增函數，∴f(x)?f(1)?
∴當x?1時 g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，
故在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)?1?0 623x的圖象的下方。 3
【警示啟迪】本題首先根據題意構造出一個函數（可以移項，使右邊為零，將移項後的左式設為函數），
並利用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設f(x)?f(x)?g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法。
3、換元后作差構造函數證明
111 都成立. ?nn2n3
1分析：本題是山東卷的第（ii）問，從所證結構出發，只需令?x，則問題轉化為：當x?0時，恆n【例3】（2014年，山東卷）證明：對任意的正整數n，不等式ln(?1)?
有ln(x?1)?x?x成立，現構造函數h(x)?x?x?ln(x?1)，求導即可達到證明。
【綠色通道】令h(x)?x?x?ln(x?1)， 322332
13x3?(x?1)2
?則h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恆正， x?1x?12
所以函數h(x)在(0,??)上單調遞增，∴x?(0,??)時，恆有h(x)?h(0)?0，
即x?x?ln(x?1)?0，∴ln(x?1)?x?x
對任意正整數n，取x?32231111?(0,??)，則有ln(?1)?2?3 nnnn
【警示啟迪】我們知道，當f(x)在[a,b]上單調遞增，則x?a時，有f(x)?f(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當x?a時，f(x)??(x)，那麼，只要令f(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用f(x)的單調增性來推導．也就是説，在f(x)可導的前提下，只要證明f'(x)?０即可．
4、從條件特徵入手構造函數證明
【例4】若函數y=f(x)在r上可導且滿足不等(版權歸本站)式xf?(x)>－f(x)恆成立，且常數a，b滿足a>b，求
證：．af(a)>bf(b)
【綠色通道】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構造函數 f(x)?xf(x)，
則f(x)? xf?(x)+f(x)>0， 從而f(x)在r上為增函數。 '
?a?b ∴f(a)?f(b) 即 af(a)>bf(b)
【警示啟迪】由條件移項後xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導數，從而可以構造函數f(x)?xf(x)，
求導即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項後xf?(x)?f(x)，要想到
是一個商的導數的分子，平時解題多注意總結。
【思維挑戰】
21、（2014年，安徽卷） 設a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx
求證：當x?1時，恆有x?lnx?2alnx?1，
2、（2014年，安徽卷）已知定義在正實數集上的函數 2
f(x)?52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?a?3alna，22
求證：f(x)?g(x)
3、已知函數f(x)?ln(1?x)?
恆有lna?lnb?1?x，求證：對任意的正數a、b， 1?xb. a
4、（2014年，陝西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數a、b，若a < b，則必有（）
（a）af (b)≤bf (a) （c）af (a)≤f (b)
【答案諮詢】
1、提示：f?(x)?1?
∴（b）bf (a)≤af (b) （d）bf (b)≤f (a) 2lnx2a2lnx，當x?1，a?0時，不難證明??1 xxxf?(x)?0，即f(x)在(0,??)內單調遞增，故當x?1時，
2f(x)?f(1)?0，∴當x?1時，恆有x?lnx?2alnx?1
3a21222、提示：設f(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b則f?(x)?x?2a? x2
(x?a)(x?3a)= (x?0) ?a?0，∴ 當x?a時，f?(x)?0， x
故f(x)在(0,a)上為減函數，在(a,??)上為增函數，於是函數f(x) 在(0,??)上的最小值
是f(a)?f(a)?g(a)?0，故當x?0時，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)
3、提示：函數f(x)的定義域為(?1,??)，f?(x)?11x ??221?x(1?x)(1?x)
∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為減函數
當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為增函數
因此在x?0時,f(x)取得極小值f(0)?0，而且是最小值 x1，即ln(1?x)?1? 1?x1?x
a1bab令1?x??0,則1??1?於是ln?1? bx?1aba
b因此lna?lnb?1? a於是f(x)?f(0)?0,從而ln(1?x)?
xf'(x)?f(x)f(x)f(x)4、提示：f(x)?，f?(x)?，故在（0，+∞）上是減函數，由?0f(x)?2xxx
a?b 有f(a)f(b)?? af (b)≤bf (a)故選（a） ab
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